Limiet naar oneindig (ln, e, x in macht)

[VincentW.]

Beste forummers,

Tijdens het oefenen ben ik op deze limiet 'gestoten' ( ) maar ik kan hem niet uitwerken. Hieronder een uitwerking, een (deels?) foute uitwerking dus waarschijnlijk:

(Limiet naar +oneindig)

\(\lim (x \rightarrow \infty) (\ln(e+\frac{1}{x})^{\sqrt{1+x^2}}\)

Eerst neem ik de natuurlijke logaritme

\(\lim (x \rightarrow \infty) (\ln(\ln(e+\frac{1}{x})^{\sqrt{1+x^2}})\)

Vervolgens vorm ik om zodat ik iets in de vorm van 0/0 krijg (Eerst de macht binnen de logaritme buitengezet)

\(\lim (x \rightarrow \infty) \frac{(\ln(\ln(e+\frac{1}{x})}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}})\)

Aangezien ln(ln(e) = ln(1) = 0 en noemer =0

Toepassing van Hopital

\(\lim (x \rightarrow \infty) \frac{\frac{1}{\ln(e+\frac{1}{x})} \frac{e-\frac{1}{x^2}}{e+\frac{1}{x}}}{x(1+x^2)^{-3/2}}\)

Nu vanaf hier kan ik het nog verder uitwerken maar ik geraak niet op de uiteindelijke uitkomst die blijkt te zijn:

\( e^{\frac{1}{e}}\)

Als ik het juist heb is het ook zo dat die ln(e +1/x) eigenlijk er uit kan worden gehaald omdat - voor de limiet naar +oneindig - dat die ln = 1 maar als ik dit toepas dan verandert mijn uitkomst, want als ik dan bijvoorbeeld die tussenstap ingeef in wolframalpha, dan geeft die een ander resultaat aan... Hoe komt dit eigenlijk?

In ieder geval al dank bij voorbaat

[In physics I trust]

Je kan toch eenvoudig gebruik maken van de rekenregel van de logaritme dat je de macht ervoor mag plaatsen? De limiet van de ln(e+1/x) wordt 1; de eenvoudige limiet van de wortel blijft over. Zie je?

[VincentW.]

Dus, als ik je goed begrijp blijft

\(\lim (x \rightarrow oneindig) \sqrt{1+x^2}\)

over?

Zoja, dan is dit toch gewoon +oneindig en e^(+oneindig) = + oneindig

Niet?

[In physics I trust]

Ja, dat is wat ik bekom; en Wolfram ook denk ik.

[VincentW.]

Eigenaardig want wolfram komt bij mij toch echt wel e^1/e uit.

link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%...as+x-%3E+%2Binf

[In physics I trust]

Je hebt gelijk; verkeerd ingegeven in wolfram (ln vergeten). Ik kijk zo naar waarom het niet klopt.

Waarom ik iets anders uitkwam: omdat ik de wortel in de macht bij het argument had genomen, die hoort dus bij de totale ln.

[In physics I trust]

Nou, wat kom jij dan uit?

Ik krijg dat die

\(lim_{x \to \infty} ln(ln(***))= \frac{1}{e}\)

[Safe]

\(\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\ln\left(e+\frac{1}{x}\right)\right)^{\sqrt{1+x^2}}\)

Is dit de limiet die je bedoelt?

[Drieske]

Wat Safe vraagt is natuurlijk een zeer belangrijke en terechte vraag. Toch één zaak die mij opviel (uitgaande van die limiet etc.). Hier:

Toepassing van Hopital

\(\lim (x \rightarrow \infty) \frac{\frac{1}{\ln(e+\frac{1}{x})} \frac{e-\frac{1}{x^2}}{e+\frac{1}{x}}}{x(1+x^2)^{-3/2}}\)

gaat er iets mis. Je afgeleide klopt niet volledig. Zie je wat en waarom?

[VincentW.]

@Safe: ja, dat was de limiet die ik bedoelde, ik vond alleen niet goed hoe ik hem in de correcte vorm kreeg in Latex.

Ik heb hem trouwens gevonden dankzij de hint van Drieske, in die afleiding zit inderdaad een fout, d(e)/dx = 0 en niet e natuurlijk. Ik zal waarschijnlijk ergens iets verwisseld hebben met de het feit dat d(e^x)/dx = e^x ofzo

Dus de uitwerking:

\(lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln(e+\frac{1}{x})} \frac{\frac{-1}{x^2}}{e+\frac{1}{x}}}{x(1+x^2)^{-3/2}}\)

\(lim_{x \to \infty} \frac{(1+x^2)^{3/2}}{x^3ln(e+\frac{1}{x}) (e+\frac{1}{x})} = (\frac{0}{0})\)

Nog een hopital (en ook ineens ln(e+1/x) weggewerkt want dat is gewoon 1 en die e+1/x wordt ook gewoon e+0 = e dus.

\(lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3\sqrt{1+x^2}(2x)}{2}}{3ex^2}\)

Wat vereenvoudigen

\(lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{1+x^2}}}{ex}\)

X uit de vkw halen

\(lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x. \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}}{ex}\)

Vereenvoudigen (vkw wordt 1)

\(lim_{x \to \infty} (\frac{1}{e}) = L = \frac{1}{e} \)

Aangezien eerst de LN genomen was

\(e^L = e^{\frac{1}{e}\)

Dat zou het moeten zijn lijkt me zo?

Iedereen bedankt voor de hulp

[Safe]

Een beetje slordig ... , en eenmaal l'Hopital volstaat.

[VincentW.]

In welke zin slordig? Ik zie wel net dat die 0/0 dus oneindig/oneindig en dat per ongeluk de limiet niet voor de hele term staat, dat was ook niet echt de bedoeling. Zonder die 2e maal hopital? Dat is dan gewoon ineens de x uit de vkw halen en dan schrappen, zeker?

[Drieske]

Zonder die 2e maal hopital? Dat is dan gewoon ineens de x uit de vkw halen en dan schrappen, zeker?

Dat is inderdaad het idee... Beetje ruimer opgeschreven:

\((1 + x^2)^{3/2} = (x^2(1 + \frac{1}{x^2}))^{3/2} = x^3 (1 + \frac{1}{x^2})^{3/2}\)

. Daar kun je mee verder?

[Safe]

Ik zou het zo opschrijven:

@Safe: ja, dat was de limiet die ik bedoelde, ik vond alleen niet goed hoe ik hem in de correcte vorm kreeg in Latex.

Dus de uitwerking:

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln(e+1/x)} \cdot \frac{1}{e+1/x}\cdot -\frac {1}{x^2}}{-x(1+x^2)^{-3/2}}\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(1+x^2)^3}}{x^3(e+1/x)\ln(e+1/x)} = \)

[VincentW.]

Jah ik had hem dan ook zoals Safe geschreven en dan verder uitgewerkt, praktisch hetzelfde als Drieske

Zal het hieronder maar even zetten, kwestie dat mensen met gelijkaardige problemen er ook nog iets aan hebben;

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(1+x^2)^3}}{x^3(e+1/x)\ln(e+1/x)} \)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{(1+x^2)\sqrt{(1+x^2)}}{ex^3} \)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2)\sqrt{(1+x^2)}+\sqrt{(1+x^2)}}{ex^3} \)

x uit de wortel halen

\(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3\sqrt{(1/x^2+1)}+x\sqrt{(1/x^2+1)}}{ex^3} \)

Wortels worden vkw(1)=1

\(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+x}{ex^3} \)

Opsplitsen van de breuk

\(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{ex^3} + \frac{x}{ex^3}\)

2e breuk wordt 0

\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e}=1/e \)

Zo staat het wat beter denk ik , heb het nogal snel getypt dus hoop dat er geen kleine foutjes in zitten