Integraal uitrekenen

[Yamibas]

Hallo,

Ik probeer deze integraal op te lossen maar ik loop een beetje vast. Ik zal even laten zien wat ik al heb.

Sidenote:

\(a\)

en

\(R_2\)

zijn constante

\(\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} a\sin(\theta)\sqrt{a^2\sin^2(\theta)-a^2-R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Schrijf

\(a^2\)

als

\(a^2\sin^2(\theta)+a^2\cos^2(\theta)\)

. Nu volgt:

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sin(\theta)\sqrt{-\cos^2(\theta)-R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Toepassen substitutie geeft:

\(u = -a^2\cos^2(\theta)-R_2^2\)

en

\(du= 2a^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\)

\(\int \frac{1}{2a^2\cos(\theta)}\sqrt{u}\mbox{ d} u\)

Maar nu heb ik nog de

\(\cos(\theta)\)

over en die kan ik niet kwijt... ik kan het niet echt kwijt ^^. Kan iemand een helpende hand bieden? Alvast bedankt!

[Safe]

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sin(\theta)\sqrt{-a^2\cos^2(\theta)-R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Verder cos(theta) uit je substitutieverg ...

Kan het eigenlijk wel want je hebt onder het wortelteken een negatief getal.

Waar komt de integraal vandaan?

[Yamibas]

Oops zie ik dat ik een foutje heb gemaakt in het overtypen. Ik zal even mijn hele post vervangen:

Hallo,

Ik probeer deze integraal op te lossen maar ik loop een beetje vast. Ik zal even laten zien wat ik al heb.

Sidenote:

\(a\)

en

\(R_2\)

zijn constante.

\(\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} a\sin(\theta)\sqrt{a^2\sin^2(\theta)-a^2+R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Schrijf

\(a^2\)

als

\(a^2\sin^2(\theta)+a^2\cos^2(\theta)\)

. Nu volgt:

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sin(\theta)\sqrt{R_2^2-\cos^2(\theta)} \mbox{ d}\theta\)

Toepassen substitutie geeft:

\(u = R_2^2-a^2\cos^2(\theta)\)

en

\(du= 2a^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\)

\(a\int \frac{1}{2a^2\cos(\theta)}\sqrt{u}\mbox{ d} u\)

Maar nu heb ik nog de

\(\cos(\theta)\)

over en die kan ik niet kwijt... ik kan het niet echt kwijt ^^. Kan iemand een helpende hand bieden? Alvast bedankt!

P.S.: Een mod kan deze tekst ook in even in mijn 1e post zetten alvast bedankt (zie bijlage).

[tempelier]

Hallo,

Ik probeer deze integraal op te lossen maar ik loop een beetje vast. Ik zal even laten zien wat ik al heb.

Sidenote:

\(a\)

en

\(R_2\)

zijn constante

\(\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} a\sin(\theta)\sqrt{a^2\sin^2(\theta)-a^2-R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Schrijf

\(a^2\)

als

\(a^2\sin^2(\theta)+a^2\cos^2(\theta)\)

. Nu volgt:

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sin(\theta)\sqrt{-\cos^2(\theta)-R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Toepassen substitutie geeft:

\(u = -a^2\cos^2(\theta)-R_2^2\)

en

\(du= 2a^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\)

\(\int \frac{1}{2a^2\cos(\theta)}\sqrt{u}\mbox{ d} u\)

Maar nu heb ik nog de

\(\cos(\theta)\)

over en die kan ik niet kwijt... ik kan het niet echt kwijt ^^. Kan iemand een helpende hand bieden? Alvast bedankt!

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sin(\theta)\sqrt{-\cos^2(\theta)-R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Hier zou ik verder gaan met:

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{-\cos^2(\theta)-R_2^2} \mbox{ d}\cos{\theta}\)

Maar volgens mij is de linker vorm niet correct en en ook is zoals al eerder opgemerkt de vorm onder het wortelteken definiet negatief.

Misschien is er al eerder iets mis gegaan?

[Yamibas]

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sin(\theta)\sqrt{-\cos^2(\theta)-R_2^2} \mbox{ d}\theta\)

Hier zou ik verder gaan met:

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{-\cos^2(\theta)-R_2^2} \mbox{ d}\cos{\theta}\)

Maar volgens mij is de linker vorm niet correct en en ook is zoals al eerder opgemerkt de vorm onder het wortelteken definiet negatief.

Misschien is er al eerder iets mis gegaan?

Tempelier over de wortel lees mijn post hierboven en de

\(d\cos(\theta)\)

ja dat moet wel lukken Dat zal ik morgen eens goed uitwerken en dan laat ik het nog horen of het is gelukt. Bedankt .

[tempelier]

Tempelier over de wortel lees mijn post hierboven en de

\(d\cos(\theta)\)

ja dat moet wel lukken Dat zal ik morgen eens goed uitwerken en dan laat ik het nog horen of het is gelukt. Bedankt .

Succes maar kijk wel ook even naar hoe je a onder het wortel teken vandaan gehaald hebt dat is volgens mij niet geheel corect.

\(R_2^2\)

komt er niet ongeschonden van af.

[Safe]

Het volgende heb ik in een vorige post ook al verbeterd:

\(a\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sin(\theta)\sqrt{R_2^2-a^2\cos^2(\theta)} \mbox{ d}\theta\)

Stel eens, met de hint van Tempelier, u=cos(theta).

Daarna is nog een substitutie nodig.

[Yamibas]

Succes maar kijk wel ook even naar hoe je a onder het wortel teken vandaan gehaald hebt dat is volgens mij niet geheel corect.

\(R_2^2\)

komt er niet ongeschonden van af.

Die a is wel correct die komt voor het wortel tekenen vandaan ik ben vervolgens alleen (weer) vergeten a^2 in het wortelteken te zetten (slecht van me...).

Ik heb wat foutjes eruit gehaald en alles verbeterd en zo ver uitgewerkt. Dit is te vinden in de bijlage van deze post. Nu zie ik zo alleen niet welke substitutie je bedoelt . Wel heb ik in mijn calculus boek nog wat standaard oplossing voor integraal gevonden maar deze bevat geen scalair veelvoud van

\(u^2\)

dus ik weet niet of ik deze mag gebruiken. Het betreft de onderstaande formule:

\(\int\sqrt{b^2-u^2}\mbox{ d}u = \frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2}+\frac{b^2}{2}\arcsin\left(\frac{u}{b}\right) + C\)

met

\( b > 0 \mbox{ en } |u| < b\)

Alvast bedankt.

[tempelier]

Die a is wel correct die komt voor het wortel tekenen vandaan ik ben vervolgens alleen (weer) vergeten a^2 in het wortelteken te zetten (slecht van me...).

Ik heb wat foutjes eruit gehaald en alles verbeterd en zo ver uitgewerkt. Dit is te vinden in de bijlage van deze post. Nu zie ik zo alleen niet welke substitutie je bedoelt . Wel heb ik in mijn calculus boek nog wat standaard oplossing voor integraal gevonden maar deze bevat geen scalair veelvoud van

\(u^2\)

dus ik weet niet of ik deze mag gebruiken. Het betreft de onderstaande formule:

\(\int\sqrt{b^2-u^2}\mbox{ d}u = \frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2}+\frac{b^2}{2}\arcsin\left(\frac{u}{b}\right) + C\)

met

\( b > 0 \mbox{ en } |u| < b\)

Alvast bedankt.

De laatste beschouw ik als een standaard integraal, maar daar kunnen andere natuurlijk anders over denken.

Het lijkt me dat je er zo goed als bent immmers:

\(u = \cos (....)\)

Alles staat er al volgens mij je hoeft het alleen maar uit de verschillende post bij elkaar te vegen.

[Yamibas]

Volgens mij mis ik iets of is het iets dat ik zelf heb gezegd?

Is het gewoon

\(u=\cos(\theta)\)

en dan de standaard integraal toepassen en dat mag het het scalaire veelvoud van

\(u\)

en dan is het klaar?

[tempelier]

Volgens mij mis ik iets of is het iets dat ik zelf heb gezegd?

Is het gewoon

\(u=\cos(\theta)\)

en dan de standaard integraal toepassen en dat mag het het scalaire veelvoud van

\(u\)

en dan is het klaar?

Ja je integreert dan naar

\(\cos (\theta)\)

maar kijk even terug daar staat een kleine verschrijving.

[Yamibas]

Sorry maar ik krijg geen verschrijvingen gevonden. Zou je deze even uit kunnen wijzen?

[Yamibas]

Of bedoel je de kleine verschrijving hierin:

\(\int\sqrt{b^2-u^2}\mbox{ d}u = \frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2}+\frac{b^2}{2}\arcsin\left(\frac{u}{b}\right) + C\)

Dat dat de a in het bovenstaande een b moet zijn?

\(\int\sqrt{b^2-u^2}\mbox{ d}u = \frac{u}{2}\sqrt{b^2-u^2}+\frac{b^2}{2}\arcsin\left(\frac{u}{b}\right) + C\)

Maar in mijn bijgevoegd PDF'je zie ik er echt geen staan.

[Safe]

Je kan dit opvatten als een standaardintegraal, maar kan je dit ook afleiden?

Dat bedoelde ik met: er is nog een substitutie nodig ...

[Yamibas]

Nee ik zie deze afleiding zo niet maar een duw in de goede richting zou fijn zijn misschien dat ik het dan wel zie .