Luchtwrijving

[Badshaah]

Hallo

Ik heb over dit probleem erg lang nagedacht maar ik kan de oplossing maar niet vinden. Het gaat over een voorwerp die je horizontaal gericht afschiet en de vraag is dan wat de horizontale snelheid is op tijdstip t. De luchtwrijving zorgt er dan voor dat de snelheid van het voorwerp afneemt. Mijn idee is als volgt:

Er is maar één kracht die op het voorwerp werkt en dat is de luchtwrijving.

\(F_{res}=cv^2\)

Waarbij

\(c=\frac{1}{2}C_wA\rho\)

.

Als het voorwerp wordt afgeschoten heeft het een kinetische energie die daarna alleen maar afneemt. Echter, de kinetische energie en de energie die verloren gaat door de luchtwrijving moeten opgeteld altijd hetzelfde zijn:

\(\int cv^2 ds+\frac{1}{2}mv^2=E_{tot}\)

Ik heb geen idee hoe ik deze vergelijking kan oplossen aangezien v de hele tijd verandert en dus de integraal niet zomaar op te lossen is. Ik zou het erg waarderen als iemand mij met deze probleem helpt.

NB: Ik weet niet zeker of de vergelijking die ik heb opgesteld klopt.

[physicalattraction]

Het klopt wel wat je gezegd hebt, ik denk alleen dat ik het zelf niet met een energiebalans zou uitrekenen.

Maar voordat ik verder ga: weet je al wat differentiaalvergelijkingen zijn?

[Badshaah]

Ja ik weet wat differentiaalvergelijkingen zijn.

De volgende vergelijking moet volgens mij ook gelden:

\(F_{res}=-cv^2=ma\)

Als je deze differentiaalvergelijking oplost voor v, dan krijg je de volgende formule:

\(v=\frac{m}{ct}\)

Verder loop ik een beetje vast...

Of is dit niet de goeie aanpak?

[physicalattraction]

Die eerste vergelijking geldt inderdaad. Maar daarna stel je hier dat

\(a = \frac{v}{t}\)

, maar dat geldt alleen als de versnelling constant is. Je moet de meer algemenere vergelijking beschouwen:

\(\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{-c}{m} v^2\)

. Lukt het je om deze vergelijking op te lossen, dusdanig dat je de snelheid als functie van tijd weet?

[Badshaah]

Ik heb die vergelijking goed opgelost denk ik:

\(\frac{dv}{dt}=-\frac{c}{m}v^2\)

\(\frac{dt}{dv}=-\frac{m}{cv^2}\)

\(dt=-\frac{m}{cv^2}dv\)

\(t+K=\frac{m}{cv}\)

\(v=\frac{m}{c(t+K)}\)

Of doe ik hier iets fouts?

[physicalattraction]

Dat ziet er wel goed uit. Voor t naar oneindig gaat de snelheid v inderdaad naar 0, net zoals je verwacht. Je kunt K nog bepalen aan de hand van de beginvoorwaarde, mocht je dat willen, maar anders ben je er nu.

[Badshaah]

De snelheid is dus niet afhankelijk van de beginsnelheid?

[Morzon]

Je hebt een eerste orde lineaire diff. vergelijking, dus heb je ook een rand(begin)voorwaarde nodig,.

bijv

\(v(t=0)=v_b\)

Dus je oplossing wordt dan?

[Badshaah]

Als

\(v(0)=v_b=\frac{m}{cK}\)

, dan

\(K=\frac{m}{cv_b}\)

en wordt de oplossing:

\(v(t)=\frac{m}{c(t+\frac{m}{cv_b})}\)

Als het goed is dit dus de horizontale snelheid van een voorwerp die je afschiet met beginsnelheid vb op tijdstip t?