Moeilijke som

[dirkwb]

Wat is de onderstaande som?

\( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+8 \sin^2 (\frac{k \pi}{n} )} \)

[thermo1945]

Wat is de onderstaande som?

\( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+8 \sin^2 (\frac{k \pi}{n} )} \)

Een intuïtieve benadering: als n groot is, het gemiddelde van sin² gelijk aan 1/2. Vervang in die som die sin² gelijk door 1/2. Nu is je probleem vereenvoudigd.

[dirkwb]

Er staat nergens dat n groot is.

[bertrand]

Volgens mij is dat

\(\frac{n}{3}\)

[dirkwb]

Volgens mij is dat

\(\frac{n}{3}\)

Laat 's zien hoe je eraan komt. Want als ik dat uitreken met waardes dan komt dat er niet uit.

[EvilBro]

Wat is de onderstaande som?

Ik kom er nog niet uit. Kun je aangeven met welk onderwerp je bezig bent zodat de context misschien een hint geeft naar de oplosmethode?

Een intuïtieve benadering: als n groot is, het gemiddelde van sin² gelijk aan 1/2. Vervang in die som die sin² gelijk door 1/2. Nu is je probleem vereenvoudigd.

Je probleem is ook niet meer je oorspronkelijke probleem. Ik denk dat je je intuitie eens moet controleren met daadwerkelijke cijfers...

Volgens mij is dat

\(\frac{n}{3}\)

Dat is de asymptoot waar het geheel heengaat.

\(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1 + 8 sin^2(k \frac{\pi}{n})} = \frac{n}{\pi} \frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1 + 8 sin^2(k \frac{\pi}{n})}\)

Hierin kunnen we een Riemann som herkennen, voor grote \(n\) zal dus gelden:

\( \approx \frac{n}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1 + 8 sin^2(t)} dt = \frac{n}{\pi} \frac{\pi}{3} = \frac{n}{3}\)

waarbij Maxima voor mij de integraal heeft opgelost.

[dirkwb]

Ik kom er nog niet uit. Kun je aangeven met welk onderwerp je bezig bent zodat de context misschien een hint geeft naar de oplosmethode?

Er is geen context, dit is simpelweg een wiskundeopgave.

[EvilBro]

Er is geen context, dit is simpelweg een wiskundeopgave.

Hoe heet het vak of boek waar deze opgave bijhoort?

Ik heb trouwens de som met wat gonio alsvolgt geschreven:

\(1 + \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3 + \sqrt{8} \cos(k \frac{\pi}{n})}\)

Ik zie nog niet echt of dit helpt, maar misschien kietelt het iemand anders op de juiste manier...

[Klintersaas]

Als zelfs grote wiskundige geesten als EvilBro en dirkwb er niet uitkomen, wie ben ik dan om een poging te wagen. Toch hoop ik dat mijn armzalige pogingen iemand mogelijk één of ander briljant inzicht geven.

Ik heb de som handmatig uitgerekend voor de eerste 5 gehele waarden van n, te beginnen met 1:

• Voor
  \(n = 1\)
  is de gevraagde som 1;
• Voor
  \(n = 2\)
  is de gevraagde som
  \(\frac{10}{9}\)
  ;
• Voor
  \(n = 3\)
  is de gevraagde som
  \(\frac{9}{7}\)
  ;
• Voor
  \(n = 4\)
  is de gevraagde som
  \(\frac{68}{45}\)
  ;
• Voor
  \(n = 5\)
  is de gevraagde som
  \(\frac{55}{31}\)
  .

Vervolgens probeerde ik enige regelmaat te ontdekken in de rij:

\(1,\ \frac{10}{9},\ \frac{9}{7},\ \frac{68}{45},\ \frac{55}{31},\ \cdots\)

Ik kan helaas niets vinden en ook Sloane helpt me er niet uit. Iemand anders?

[Heezen]

interessant, zelfs mathematica weet het niet.. ( En dat zegt wat )

[Klintersaas]

Ik ben echt benieuwd. Waarschijnlijk gaat de wiskunde die erachter zit mijn pet te boven, maar dat zal me niet beletten om naar een oplossing te zoeken.

[Burgie]

Onder voorbehoud van fouten kom ik voorlopig uit op

\(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{5-4 \cos \left( \frac{2 k \pi}{n} \right)}\)

.

Deze som komt me zo bekend voor, maar ik kan hem maar niet thuisbrengen...

[Phys]

Het lijkt te maken te hebben met Fourierreeksen, maar daar heb je doorgaans te maken met oneindige sommen.

Daarom ben ik ook nog steeds benieuwd naar het antwoord op de vraag

Er is geen context, dit is simpelweg een wiskundeopgave.

Hoe heet het vak of boek waar deze opgave bijhoort?

Er is altijd wel *een* context. Ik neem tenminste aan dat je geen boek gebruikt waarin bijv. opgaven over Fourierreeksen, Kansberekening, Galoistheorie en vectorrekening tegelijkertijd in staan

[dirkwb]

@Burgie: is jouw som hetzelfde als die van Evilbro?

Hoe heet het vak of boek waar deze opgave bijhoort?Er is altijd wel *een* context.

Deze keer niet: deze som komt van een wiskunde-olympiade.

Ik neem tenminste aan dat je geen boek gebruikt waarin bijv. opgaven over Fourierreeksen, Kansberekening, Galoistheorie en vectorrekening tegelijkertijd in staan

Nou, eigenlijk bijna wel . In het boek van functionaalanalyse komt een beetje van alles voorbij, behalve kansberekening en een groot deel van galoistheorie(een vak wat ik overigens niet heb gevolgd).

[Burgie]

@Burgie: is jouw som hetzelfde als die van Evilbro?

Niet gecontroleerd, maar na controle met Maple blijkt mijn som ook wel

\(\frac{n}{3}\)

Het lijkt te maken te hebben met Fourierreeksen, maar daar heb je doorgaans te maken met oneindige sommen.

Daarom ben ik ook nog steeds benieuwd naar het antwoord op de vraag

Ik had er inderdaad ook al m'n cursus "Systeem- en Signaalanalyse" bijgenomen.

Ik heb een déjà-vu Ik heb deze som nog opgelost... hij komt me gewoon te bekend voor.