[wiskunde] logaritmen Bewijs

[Snoopy100]

Ik moet de volgende gelijkheid bewijzen:

a^(log b) = b^(log a)

kan iemand mij helpen beginnen?

alvast bedankt!

[Safe]

Neem een links en rechts de log (grondtal a). Wat krijg je dan links? Als je dit begrijpt dan kan je natuurlijk ook de log (grondtal b) nemen.

[Drieske]

Zeg

\(x = a^{\log (b)}\)

en

\(y = b^{\log (a)}\)

. Wat kun je dan zeggen over log(x) en log(y)?

[Snoopy100]

Via de methode van Safe:

linkerlid: log (a^(logb)

rechterlid: log (b^(loga)

dan mag de macht voorop:

linkerlid: log b * log a

rechterlid: log a * log b

dus die twee zijn gelijk ik weet wel niet of mijn methode klopt??

[Drieske]

Die klopt (en is exact gelijk aan mijn methode hoor ). Het grondtal waarmee je werkt, maakt ook niets uit, denk ik. Alleen moet je nog begrijpen waarom er geldt: als log(x) = log(y), dan geldt x = y. Kun je dat uitleggen?

[Snoopy100]

Eeuum....geen idee eigenlijk :s

[Drieske]

Laten we het dan eerst intuïtief aanpakken. Als je de grafiek van log(x) bestudeert. Wat voor grafiek is dit dan (stijgend/dalend/...)? Neemt ze voor 2 verschillende punten op de x-as dezelfde waarde aan?

[Snoopy100]

We moeten de grafiek nog leren in de les...

[Drieske]

Hmm... Heb je dan wel al een paar eigenschappen gezien? Een manier om het nog te bewijzen: je weet log(x) = log(y), of nog log(x) - log(y) = 0. Dit is dan weer hetzelfde als log(x/y) = 0. Zie je hoe verder te gaan?

Misschien is wat ik hierboven vraag trouwens dan wel gewoon buiten je bereik (al vind ik de opgave dan wel slecht gekozen).

[Snoopy100]

Ja tuurlijk, de eigenschappen hebben we al gezien:

-log van een product

-log ve quotient

-log ve macht

-verandering van grondtal

+ de gevolgen hebben we ook al gezien.

[Drieske]

Dus mijn 'berekening' snap je tot hier? Kun je zelf verdergaan?

[Snoopy100]

en wat moet ik dan precies doen, omzetten naar een bepaald grondtal? Of...

[Drieske]

We willen bekomen dat als log(x) = log(y), dat dan ook x = y. Immers heb je dat nodig in jouw vraagstuk. Akkoord?

Ik had nu dit gedaan: log(x) = log(y), dit is hetzelfde als log(x) - log(y) = 0 en met je rekenregel voor quotiënt zie je dat dit weer hetzelfde is als log(x/y) = 0. Kun je hiermee verder?

[Safe]

en wat moet ik dan precies doen, omzetten naar een bepaald grondtal? Of...

De hint is (was): neem de log grondtal a van links en rechts.

Vb:

\(a^x\)

Neem de log (grondtal a):

\(^a\log a^x=...\)

[Snoopy100]

nee, niet echt...