Lineaire afbeeldingen.

[Bert F]

Ik heb hier een opgave bij me liggen waar ik niet volledig uitgeraak wie helpt mij een beetje verder?



Ik zou als volgt starten. de eerste ruimte kan er geen zijn gewoon omwille van het feit dat een vector verschillend van nul opgeteld met een matrix met alleen nullen op zijn spoor niet noodzakelijk opnieuw een matrix levert met nullen op zijn spoor.

De tweede is wel een ruimte omwille van het feit dat de determinant afbeelding multilinaeir is dus ook linaeir.

De derde zal ook wel een ruimte zijn al weet ik niet hoe ik dit formeel kan stellen.

Dan zegt men dat mijn injecties wilt hebben tussen v en w die bestaan dus niet omwille van het feit dat v niet bestaat.

Moest mijn redenering kloppen zou er alleen nog overblijven de bijecties van w naar u maar hoe begin je hier aan? Spijtig heb ik hier ook geen oplossingen van dus als iemand even hier na zou willen kijken?

Groeten Dank bij voorbaat.

[evilbu]

Dit zijn interessante oefeningen. Als je al enkele jaartjes hiermee vertrouwd bent ruik je echter "niet lineariteit" van een kilometer ver.

1. zeker lineair!

herinner u Sp(A + B) = Sp( A) +Sp (B)

en Sp( k A) = k Sp(A)

van het feit dat een vector verschillend van nul opgeteld met een matrix met alleen nullen op zijn spoor niet noodzakelijk opnieuw een matrix levert met nullen op zijn spoor.

Dit houdt gewoon geen steek. Je hebt geen nullen op je spoor, spoor is een getal, om te beginnen

2. geen ruimte!!

Jij zegt multilineair. Precies. Determinanten zijn multilineair, niet lineair.

Het is absoluut niet zo dat

\(\det (A+ B)= \det(A) + \det( B) \)

3. Zeker, je moet enkel dit weten:

\((A+B)^t= A^t+B^t \)

\((k A )^t = k A^t\)

dan deel b :

tja omdat W geen vectorruimte is schiet enkel nog

b III over :

U is een driedimensionele ruimte, V is achtdimensioneel, je kan dus nooit een surjectie hebben van de kleinste naar de grootste

Tja, wat had je ook verwacht, van zodra je een surjectie hebt, is elk reëel veelvoud ervan ook en heb je er oneindig veel! Het zou me verbazen als je die moest gaan opschrijven. Beetje onnozele vraag, ik wist al op voorhand dat het antwoord wel "geen" zou zijn.

[Bert F]

waarom is 2 geen ruimte? multilimeair is dat ook niet automatisch linaeir?

is

\(A=-^tA\)

dit altijd zo?

Waarom is die ene ruimte achtdimensionaal?

Groeten Dank bij voorbaat.

[EvilBro]

waarom is 2 geen ruimte?

Omdat in het algemeen niet geldt \(\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)\)

multilimeair is dat ook niet automatisch linaeir?

multilineariteit betekent dat de betrekkingen lineair zijn op elke kolom afzonderlijk, maar niet op de matrix als geheel. multilineariteit is 'zwakker' dan lineair zijn.

is

\(A=-^tA\)

dit altijd zo?

Nee. Doe het volgende eens: Schrijf een matrix uit in \(a_{ij}\) termen en stel deze dan gelijk aan zijn negatieve getransponeerde. Je zult zien dat je een matrix overhoudt met drie 'vrijheidsgraden'.

Waarom is die ene ruimte achtdimensionaal?

De matrix bevat 9 componenten. Hiervan zijn er 8 vrij te kiezen (de 'derde' op de diagonaal wordt bepaald door de andere twee op de diagonaal).

[evilbu]

Ik zou niet zeggen dat multilinear zwakker is dan lineair. Het heeft dan ook weer andere eigenschappen. Het is gewoon IETS ANDERS.

Natuurlijk is niet elke matrix gelijk aan het tegengestelde van zijn getransponeerde! De eenheidsmatrix is al een tegenvoorbeeld!!

[Bert F]

Quote:  

Waarom is die ene ruimte achtdimensionaal?  

De matrix bevat 9 componenten. Hiervan zijn er 8 vrij te kiezen (de 'derde' op de diagonaal wordt bepaald door de andere twee op de diagonaal).

nee dat zie ik niet we hebben:



waar ik denk dat je de zaken op de groene stip junt kiezen dus zijn er dat toch 6?

[TD]

Als het spoor 0 moet zijn, dan kan je n-1 van de n diagonaalelementen nog kiezen, het n-de ligt dan vast omdat de som 0 moet zijn.

Hier: kies er twee van de drie en het derde moet het tegengestelde zijn van de som van de andere twee.

[Bert F]

bedoelen ze dan met het spoor niet allemaal nul?

[TD]

Nee, het spoor is de som van de diagonaalelementen, dat staat ook letterlijk in de opgave!

[Bert F]

idd dat had ik zeker moeten zien.

hoe kun je nu linaeire surjectie bepalen? van U naar V?

[evilbu]

dan deel b :  

tja omdat W geen vectorruimte is schiet enkel nog  

b III over :  

U is een driedimensionele ruimte, V is achtdimensioneel, je kan dus nooit een surjectie hebben van de kleinste naar de grootste  

Tja, wat had je ook verwacht, van zodra je een surjectie hebt, is elk reëel veelvoud ervan ook en heb je er oneindig veel! Het zou me verbazen als je die moest gaan opschrijven. Beetje onnozele vraag, ik wist al op voorhand dat het antwoord wel "geen" zou zijn.

Ik ga niet twee keer hetzelfde uitleggen

[Bert F]

Ik ga niet twee keer hetzelfde uitleggen

Moet ook niet ik begrijp nu dat de ene idd een achtdimensionale is en ik denk dat die andere een driedimensionale moet zijn omwille van het feit dat zijn getransponneerde gelijk moet zijn.

Begrijp je ook wel dat je dat een flauwe vraag vindt maar ik zou niet weten hoe ik hier formeel kan op antwoorden. Zie je?

Groeten.