De stelling van Pythagoras (een vermoeden)

[Herman Bastiaans]

Graag wil ik een oud onderwerp oud de kast halen en er een nieuw jasje aan geven. Om maar gelijk met de deur in huis te vallen, ik vind geen van de bewijzen van de stelling van Pythagoras een bewijs en ik vind het ook een natuurkundige stelling. Dan krijg ik het commentaar ‘wat heb je tegen een plaatjesbewijs?’. Wat ik ooit heb geleerd en me altijd is bijgebleven is dat een plaatje nooit een bewijs kan leveren en daar sta ik helemaal achter.

Het volgende verhaal neem ik even letterlijk over van een forum waar ik dit eerder heb gepost met prima commentaar dat na een tijdje jammer genoeg ophield.

Stel je wilt een definitie geven van de afstand d(X,Y) (voor het gemak van RxR naar R tussen een punt P=(a,b) en de oorsprong O=(0,0) z.d.d. na spiegeling over een lijn y=qx (Alles even eenvoudig gehouden) de afstand hetzelfde blijft dus d(P,O)= d(P’,O) (Voor de bepaling van het spiegelbeeld is de stelling van Pythagoras niet nodig) dan geldt als mogelijkheid d((a,b),(0,0)) = f(a^2 + b^2) met f als willekeurige functie. d((a,b),(0,0)) voldoet dus aan de eis (Na enig rekenwerk). Maar nu andersom, als een afstandsfunctie

d((a,b),(0,0)) invariant is (Ik weet niet of deze term hier passend is) t.a.v. de spiegeling over een lijn geldt dan dat d((a,b),(0,0)) = f(a^2 + b^2) (Het vermoeden) of zijn er misschien meerdere mogelijkheden en is de eis dat d((a,b),(0,0)) invariant is t.a.v. een lijnspiegeling wellicht niet voldoende?

Het abstracte verhaal staat natuurlijk in verband met het dagelijks leven. Als ik mijn fiets oppak en draai (Rotatie) of verplaats (Translatie) dan neem ik zonder meer aan dat de lengte van de spaken nog hetzelfde is. Spiegelen is wel een beetje lastig met de fiets. De meetlat ondergaat natuurlijk wel dezelfde handeling dus die is eigenlijk niet onafhankelijk.

Is het ook niet zo dat als we het bovenstaande verhaal in gedachte nemen de stelling van Pythagoras eigenlijk een natuurkundige stelling is en niet een wiskundige en hoort hij daarom niet in de eerste plaats thuis in de natuurkundeles? Heeft iemand een idee hoe het bewijs te leveren dat f(a^2 + b^2) de enige oplossing is of misschien niet? Een bijkomende eis is natuurlijk dat als b=0 dat d((a,b),(0,0))=d((a,0),(0,0))=a dus dan wordt f(x)=x^1/2 ofwel d((a,b),(0,0)) =

(a^2 + b^2)^1/2. Is het bovenstaande verhaal misschien al helemaal bekeken en beschreven en uitgewerkt of raak ik hier iets nieuws met dit vermoeden?

Elke reactie is welkom.

[Drieske]

Graag wil ik een oud onderwerp oud de kast halen en er een nieuw jasje aan geven. Om maar gelijk met de deur in huis te vallen, ik vind geen van de bewijzen van de stelling van Pythagoras een bewijs

Leg je dan eens uit waarom niet? En om meteen in te pikken:

Dan krijg ik het commentaar ‘wat heb je tegen een plaatjesbewijs?’. Wat ik ooit heb geleerd en me altijd is bijgebleven is dat een plaatje nooit een bewijs kan leveren en daar sta ik helemaal achter.

Het volgende verhaal neem ik even letterlijk over van een forum waar ik dit eerder heb gepost met prima commentaar dat na een tijdje jammer genoeg ophield.

Een plaatje is inderdaad geen bewijs. Wie beweert dat met een plaatje iets onomstotelijk vaststaat, overdijft. Wel is het zo dat dergelijke plaatjes vaak (en steeds vaker) gebruikt worden in het middelbaar. De reden hiervoor is vaak zo simpel als het maar kan: veel leerlingen hebben moeite met Wiskunde, en al helemaal met abstract denken, of blind rekenwerk. Geen van beiden overtuigt hen van de waarheid van een stelling. Een plaatje daarentegen, op een paar figuren geprobeerd, wél. Nu terug naar het bewijs: er zijn genoeg bewijzen van Pythagoras die géén plaatjesbewijs zijn. Neem er eens een paar hiervan en geef aan waar ze falen.

en ik vind het ook een natuurkundige stelling.

Waarom? Overigens, Wiskunde en Fysica gaan vaak hand in hand. Fysica is één van de belangrijkste toepassingsgebieden voor Wiskunde.

[Safe]

De st is zeker niet natuurkundig. het is juist deze stelling die de Griekse wiskundigen op het spoor zette van 'nieuwe' getallen (welke?).

[Marko]

Het is me niet duidelijk wat je hier beschrijft. Zou je een en ander grafisch kunnen weergeven?

[Herman Bastiaans]

<sub>@ Drieske,

Eigenlijk kom ik met 2 dingen.



1e Ik vind de bewijsvoering van de stelling van Pythagoras niet goed,

2e Ik kom met een definitie van afstand waar de s. v. P. in de vorm van een vermoeden uitrolt.



Je reageert op het 1e punt en niet of nog niet op het 2e punt, het vermoeden.

Je zegt dat op de middelbare school steeds meer gebruik van plaatjes wordt gemaakt om de stof toegankelijker te maken.

Een plaatje is ook als eerste kennismaking heel doeltreffend om inzicht te krijgen waar het over gaat.

Het zal toch zeker zo zijn dat de leerlingen die voor de exacte vakken kiezen en hier in verder studeren wel de betere bewijsvoering onder ogen krijgen.

Ik vind de huidige uitleg van Pythagoras natuurkunde en mijn benadering wiskunde. Dit moet duidelijk worden uit hoe ik het onderwerp benader.

Je zegt dat er wel degelijk goede bewijzen zijn van de stelling. Wat is dan volgens jou wel een echt bewijs? Hier kan ik dan wat makkelijker op in gaan.

Stel een bewijs maakt gebruik van een oppervlakte van een vierkant, neem het vierkant A, B, C , D met

A=(0,0), B=(5,1), C=(4,6), D=(-1,5)

Er is wel uit te komen dat de lijnen door A en B en door B en C loodrecht op elkaar staan zonder de s.v.P. maar hebben we hier eigenlijk een vierkant? De afstand tussen A en B moet dan gelijk zijn aan de afstand tussen B en C. Nu, we hebben dan een definitie van afstand nodig. We weten dus eigenlijk nog niet eens dat het hier om een vierkant gaat laat staan dat we weten wat de oppervlakte is. Het lijkt mij een logische volgorde om eerst een definitie van afstand te geven en vervolgens een definitie van afstand.

Je kunt dus niet de s.v.P. bewijzen door gebruik te maken van oppervlakte.</sub>

[mathfreak]

Het is wel degelijk mogelijk om de stelling van Pythagoras te bewijzen door gebruik te maken van oppervlakten. Het traditionele bewijs in Boek I, Propositie 47 van de Elementen van Euclides is wat dat betreft een van de bekendste voorbeelden van zo'n bewijs. Hierbij wordt tevens gebruik gemaakt van de meetkundige eigenschappen van een vierkant. Jij laat in jouw voorbeeld een belangrijk meetkundig aspect (onderlinge loodrechtheid van de zijden) buiten beschouwing. Tevens beweer je dat er sprake moet zijn van een expliciet afstandsbegrip, terwijl de stelling volgens Euclides juist niet-metrisch van aard is.

Als jij wilt weten wat volgens jou een echt bewijs is wil ik die vraag eerst aan jou stellen: wat is volgens jou de definitie van een wiskundig bewijs?

[Herman Bastiaans]

<sub>Dat laatste moet natuurlijk zijn.

'Het lijkt mij een logische volgorde om eerst een definitie van afstand te geven en vervolgens een definitie van oppervlakte'</sub>

[Bartjes]

Als je de stelling geheel los van onze voorstellingen van punten, lijnen, vlakken etc. wilt opzetten zou je het met analytische meetkunde en/of vectorrekening kunnen proberen.

[Drieske]

_{'Het lijkt mij een logische volgorde om eerst een definitie van afstand te geven en vervolgens een definitie van oppervlakte'}

En waarom denk jij dat die definitie er niet is? Of: wat ontbreekt er aan die definitie?

[Bartjes]

Als je de stelling geheel los van onze voorstellingen van punten, lijnen, vlakken etc. wilt opzetten zou je het met analytische meetkunde en/of vectorrekening kunnen proberen.

Ik heb er nog eens over nagedacht, maar de stelling van Pythagoras zit bij de analytische meetkunde en de vectorrekening al in de definitie van lengte ingebakken.

Er zijn ook meerdere vormen van meetkunde, en in sommige geldt de stelling van Pythagoras wel en in andere niet. Een algemeen geldig bewijs van de stelling van Pythagoras is dan ook niet mogelijk. In de meetkundige systemen waarin de stelling van Pythagoras wel geldt zit deze stelling in de axioma's verankerd. Je kunt die stelling in zulke systemen dus bewijzen juist omdat je door het aanvaarden van de axioma's van die systemen impliciet ook de stelling van Pythagoras accepteert.

Uiteindelijk vindt men de stellig van Pythagoras natuurlijk aanvaardbaar omdat deze met de dagelijkse ervaring overeenstemt. In die zin is de keuze voor een bepaald meetkundig systeem afhankelijk van de toepassingen die je voor ogen hebt. En dat is dan de natuurkundige kant van de zaak.

Het strikt formeel bewijzen van meetkundige stellingen is wel mogelijk, maar blijkt in de praktijk toch zeer lastig omdat hierbij onze meetkundige intuïtie voortdurend in de weg zit. Vooral wanneer we plaatjes als hulpmiddel gebruiken. Zelfs een groot wiskundige als Hilbert had daar moeite mee:

http://en.wikipedia....rie#Application

[Herman Bastiaans]

@ Safe, je doelt natuurlijk op de irrationale getallen. Bij mijn aanpak van de stelling van Pythagoras kom je hier ook op.

Maar dan moeten we hierop in gaan en niet alleen blijven hangen op het punt dat ik vind dat de huidige bewijzen geen bewijzen zijn.

Even een ideetje hierover. Als in de natuur alleen sprake is van afstand in de zin van afstand tussen 2 objecten of 2 deeltjes en afstand is gekwantiseerd dan hebben die Pythagoreeërs toch een punt dat afstand uitgedrukt moet worden in rationale getallen.

Hieronder wat Wikipedia over de irrationale getallen zegt.

‘Nog belangrijker dan deze stelling was echter het uitgangspunt van de Pythagoreeërs dat alles bestaat uit verhoudingen van (gehele) getallen. Geleidelijk drong tot hen door dat er met "hun" driehoek iets niet klopte. Wanneer de korte zijden ervan even lang zijn lukt het met geen mogelijkheid de verhouding tussen de lengte van een korte en van de lange zijde in getallen uit te drukken. Na lang denken vonden zij bewijs dat dit onmogelijk is. Een triomf voor het verstand, een debacle voor een doctrine. Met alle macht probeerden zij deze inbreuk geheim te houden. Volgens de overlevering is iemand die dit toch bekendmaakte om het leven gebracht.

Een ander gevolg was dat de Grieken aan de meetkunde de voorkeur gaven boven de rekenkunde. Pas in de zeventiende eeuw, met de komst van René Descartes, zouden getallen weer de overhand krijgen.’

Hopelijk mogen we tegenwoordig onze ideeën ongestraft naar buiten brengen.

[tempelier]

Je vindt de bewijzen voor Phytagoras geen bewijzen.

Dan zijn er twee mogelijkeden:

1. Je hebt zelf een bewijs dat wel correct is.

2. De propositie van Phytagoras geld niet in de Euclidische meetkunde.

Aan dat laatste zit nogal wat vast, want heel veel zaken zitten aan deze stelling gekoppeld.

Kortom dan moet deze hele meetkunde herschreven worden.

[Bartjes]

@ Herman Bastiaans

Ik krijg nu toch langzamerhand de indruk dat je dit topic niet begonnen bent om iets over de huidige wiskunde op te steken, maar om je eigen ideeën te promoten. Dat mag wel - mits goed onderbouwd - maar daarvoor hebben we Theorieontwikkeling.

[Safe]

@ Safe, je doelt natuurlijk op de irrationale getallen. Bij mijn aanpak van de stelling van Pythagoras kom je hier ook op.

Ok, laat die aanpak dan maar eens zien ...

[Herman Bastiaans]

@ Marko

Misschien kan ik eerst aan de hand van een paar voorbeelden duidelijk maken wat mijn verhaal is.

Ik ga uit van R².

Stel je hebt 2 punten, de oorsprong=(0,0) en een punt (7,1). We gaan deze punten spiegelen over de lijn l: y= ½x. De lijn m loodrecht op l door (7,1) is m: y=-2x+15. De beeldpunten worden (0,0) en (5,5). Wat blijkt?

(7-0)²+(1-0)²=(5-0)²+(5-0)².

Nog een voorbeeld.

Stel je hebt 2 punten (8,6) en (0,0) en je spiegelt deze over de lijn l: y=1/3x De loodlijn van l door (8,6) is m: y=-3x+30.

De beeldpunten worden (0,0) en (10,0). Wat blijkt weer?

(8-0)²+(6-0)²=(10-0)²+(0-0)².

Dit geldt voor elk tweetal punten P=(a,b) en Q=(c,d) gespiegeld over een willekeurige lijn. P`=(a`,b`) en Q`=(c`,d`).

Dus, (c-a)²+(d-b)²=(c`-a`)²+(d`-b`)² maar ook voor een willekeurige funtie f.

f((c-a)²+(d-b)²)=f((c`-a`)²+(d`-b`)²)

Nu kunnen we dit prima gebruiken als definitie voor afstand tussen 2 punten P en Q in het platte vlak.

Je kunt zelfs voor f kiezen f(x)=K, dan zijn alle afstanden gelijk aan K.

Als we nu naar het tweede voorbeeld kijken dan komt het beeldpunt op de x-as en we willen natuurlijk de definitie van afstand volgen in R¹ nml de afstand tussen de punten P=(a) en Q=(b) is |b-a|.

We kiezen dus voor f: f(x)=x^½.

De s.v.P. rolt dus uit 2 eisen die we stellen aan afstand in R².

1^e De afstand moet na spiegelen over een lijn hetzelfde zijn en

2^e De afstands definitie moet die volgen van die in R¹.

De vraag is wel, is dit hier de enige mogelijkheid?

Het een en ander vereist natuurlijk wel een wiskundige opbouw om tot het vermoeden te komen. B.v. wat is een rechte lijn, wat is de definitie van een loodlijn en wat is definitie van een lijnspiegeling, etc.?