Oefening integralen

[Joran]

Ik heb een probleempje met deze oefening:

Bereken de inhoud van het lichaam dat onstaat bij wenteling om de x-as van de vlakke figuur begrensd door de krommen met de gegeven vergelijkingen.

\( f(x) = 4x-x^2 ; g(x) = x \)

de twee grafieken snijden in (0,0) en (3,3) en f(x) snijdt de x-as in (0,0) en (0,4) dus ik dacht om eerst de formule van de inhoud van een omwentelingslichaam toe te passen op g(x) voor het interval [0,3] om daarna de formule toe te passen op f(x) voor het interval [3,4]. Mijn uitkomst is echter fout. Is mijn methode juist?

[Rov]

Je moet alleen de oppervlakte begrensd door de twee functie integreren, jij integreert teveel. Je moet slecht integreren van 0 tot 3. Welke oppervlakte? Die begrensd door de twee functie. De oppervlakte begrensd door twee functies f(x) en g(x) wordt gegeven door

\( \int \left| f(x) - g(x) \right| dx\)

Omdat beide functie toch positief zijn op het interval [0,3] mogen die absolute waarde strepen weg. Als je ook nog eens onmiddellijk het wentelen erbij doet krijg je dit:

\(\pi \int\limits_0^3 \left( f(x) - g(x) \right)^2dx = \pi \int\limits_0^3 \left( 4x-x^2 - x \right)^2dx = \pi \int\limits_0^3 \left( 3x - 4x^2\right)^2dx\)

Trouwens, er is een topic speciaal voor oefeningen op integralen omdat dit soort oefeningen nog al vaak terug komt:

http://sciencetalk.nl/forum/index.php?s...&start=1000

[Joran]

Ah oké bedankt ik zie het nu , maar bedoel jij daar niet eigenlijk

\( 3x-x^2 ipv 3x-4x^2 ? \)

[Rov]

Inderdaad, goed gezien.