Stelling van Rouché

[Drieske]

Dat is correct. Zie je een verband met jouw opgave?

[Energyfellow]

Ik zie dat x = 2 en dat y = -2 maar dat is waarschijnlijk niet de correcte oplosmethode.

[Drieske]

Nee, ik bedoel dat het volstaat om een oplossing te vinden voor de eerste n (hier 2) vergelijkingen en deze oplossing moet ook aan de andere vergelijkingen voldoen.

[Energyfellow]

Misschien even ter verduidelijking, die n, dat is toch de n van mijn (m * n) stelsel?

[Drieske]

De n is de n van "n onbekenden". Sorry voor die onduidelijkheid.

[Energyfellow]

Waarschijnlijk is mijn redenering fout maar mijn rang is de waarde van mijn eerste onbekende?

In dit geval dan:

x + 5y = -8 zou dan moeten worden:

5y = -8 -x

<=> 5y = -8 - 2

<=> 5y = -10

<=> y = -10 / 5

<=> y = -2.

[Drieske]

Jaja, je oplossing klopt hoor. Maar mijn punt is gewoon dat je niet met alle vergelijkingen rekening dient te houden met het zoeken van een oplossing, maar enkel met evenveel vergelijkingen als je onbekenden hebt. Snap je?

[Energyfellow]

Snap je?

Niet echt ...

[Drieske]

Wel, je weet dat je groot stelsel (met alle vergelijkingen) een unieke oplossing heeft (dat is niet steeds zo, maar nu wel). Je weet ook dat de beperking tot de eerste 2 vergelijkingen ook een unieke oplossing heeft (ook dat is niet algemeen zo, maar nu wel). Bijgevolg moet dat toch dezelfde oplossing zijn?

[Energyfellow]

Nu ik al die gegevens heb, bevat de Stelling dan geen algemene oplossingsmethode?

[Drieske]

Wat bedoel je met algemene oplossingsmethode? Je kunt uiteraard steeds je matrix gaan rijherleiden in "bovendriehoeks" vorm. Ik zet het tussen aanhalingstekens omdat je geen vierkante matrix hebt, dus je strikt genomen ook geen bovendriek kunt hebben, maar je begrijpt wat ik bedoel, wsl?

[Energyfellow]

Wat ik bedoel is het volgende, de Methode van Gauss laat ons toe een bovendriehoeksmatrix te vormen en door achterwaartse substitutie onze onbekenden te vinden.

Bij de methode van Gauss-Jordan maken we onze matrix canoniek en lezen onze onbekenden af in de laatste kolom.

Bij de methode van Cramer bereken we de determinant, ... waardoor de uitkomsten ook onze onbekenden zijn.

Bij de methode van de inverse matrix maken we onze matrix invers, ... en lezen we de waarde van de onbekenden af in de matrix die we uiteindelijk uitkomen.

Nu, we hebben onze rang en we weten dat x een unieke waarde heeft en dat y een unieke waarde heeft. Mijn vraag is nu wat dan de volgende stap zou zijn om je onbekenden te vinden?

[Drieske]

Je zult nog steeds Gauss ofzo moeten gebruiken om je oplossingen te vinden. Rouché is gewoon een vlotte manier om te vinden of en hoeveel oplossingen je hebt.

[Energyfellow]

Dries,

Bedankt, dat verklaart inderdaad veel .

Dus als mijn rangen aan elkaar gelijk zijn heeft elke onbekende één unieke oplossing.

Als mijn rangen niet aan elkaar zijn, dan heb ik geen oplossing.

Wanneer heb ik dan oneindig veel oplossingen?

[Drieske]

Correctie: als de rangen gelijk zijn aan elkaar én gelijk aan het aantal onbekenden, is er een unieke oplossing. Als ze aan elkaar gelijk zijn, maar niet gelijk aan het aantal onbekenden, heb je oneindig veel oplossingen.