[wiskunde] inverse Z transformatie

[moernoo]

Hallo iedereen,

Is er soms iemand die mij de uitwerking van volgende 2 inverse Z transformaties zou kunnen bezorgen, want ik zie het écht niet... (kheb de oplossing er telkens bijgeplaatst)

bedankt !

[TD]

Per definitie hebben we voor de Z-transformatie:

\(\mathcal{Z}\left{ {a^n } \right} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{a}{z}} \right)^n = \frac{z}{{z - a}}} \)

Door de lineariteit van de Z-tr is de tweede dan eenvoudig:

\(\frac{{2z}}{{3z - 4}} = \frac{2}{3}\left( {\frac{z}{{z - \frac{4}{3}}}} \right) \to \mathcal{Z}^{ - 1} \left{ {\frac{2}{3}\left( {\frac{z}{{z - \frac{4}{3}}}} \right)} \right} = \frac{2}{3}\mathcal{Z}^{ - 1} \left{ {\frac{z}{{z - \frac{4}{3}}}} \right} = \frac{2}{3}\left( {\frac{4}{3}} \right)^n \)

De tweede kan je bijvoorbeeld ontbinden in machtreeks en kijken naar de 1/coëfficiënten.

Je vindt dan: 0,0,0,5,0,0,0,25,0,0,0,125,0,0,... hetgeen direct het resultaat levert.

[moernoo]

De tweede kan je bijvoorbeeld ontbinden in machtreeks en kijken naar de 1/coëfficiënten.  

Je vindt dan: 0,0,0,5,0,0,0,25,0,0,0,125,0,0,... hetgeen direct het resultaat levert.

dit snap ik precies niet zo direct... (ontbinden in machtreeks ... ? )

De andere oplossing daarentegen wel ! bedankt

Bart

[TD]

Ik weet natuurlijk niet op welke manier je de Z-transformatie gezien hebt en welke methoden je kent op de inverse transformatie te bepalen. Hoe moet je dit normaal doen?

[moernoo]

we hebben zoiets gezien in de zin van:

1e methode: met de uitbreiding van de stelling van de beginwaarde

2e methode: met de staartdeling, deling volgens stijgende machten

3e methode: splits F(z)/z in partiele breuken en gerbruik formularium

...

Bart

[TD]

Ik ben niet zeker wat je met de tweede methode bedoelt, maar werkt die hier niet?

[moernoo]

ik dacht van niet aangezien graad teller < graad noemer

maar is het veel werk om u methode even te beschrijven? ziet er wel interessant uit

[TD]

Het idee is om de Z-transformatie F(z) te herschrijven via x = 1/z, zodat je hier krijgt:

\(F\left( z \right) = \frac{{z^3 }}{{z^4 - 5}} \to z = \frac{1}{x} \to F\left( x \right) = \frac{{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3 }}{{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4 - 5}} = \frac{x}{{1 - 5x^4 }}\)

Nu kan je de Taylorreeks van F(x) ontwikkelen rond 0, je krijgt dan:

\(x + 5x^5 + 25x^9 + 125x^{13} + \ldots\)

Waaruit je direct het voorschrift haalt (hou rekening met de machten natuurlijk).

[moernoo]

hm, Taylorreeks hebbek wel al eens van gehoord, maar moetek eens terug opzoeken

maar wat zou jij dan aanraden van methode bij dan weer bevoorbeeld:



Bart

[TD]

De breuk herschrijven naar inverse transformaties uit de tabel (althans, mijn tabel):

\(\frac{{z^2 }}{{\left( {z - 1} \right)^3 }} = \frac{1}{2}\frac{{z^2 + z}}{{\left( {z - 1} \right)^3 }} + \frac{1}{2}\frac{z}{{\left( {z - 1} \right)^2 }}\)

Dat geeft:

\(\mathcal{Z}^{ - 1} \left{ {\frac{{z^2 }}{{\left( {z - 1} \right)^3 }}} \right} = \frac{1}{2}\mathcal{Z}^{ - 1} \left{ {\frac{{z\left( {z + 1} \right)}}{{\left( {z - 1} \right)^3 }}} \right} + \frac{1}{2}\mathcal{Z}^{ - 1} \left{ {\frac{z}{{\left( {z - 1} \right)^2 }}} \right} = \frac{{n^2 }}{2} + \frac{n}{2}\)

[moernoo]

bedankt,

ik snap u redering ivm da laatste wel, maar ik zou er denk ik nooit zelf hebben kunnen opkomen, zelfs nu ik het weet vind ik het nog vergezocht

ik verondrstel dat daar buiten ervaring en inzicht, geen verdere regeltjes voor zijn of zo zeker? (dit alles in verband die breuk omvormen)

Bart

[TD]

Met de tabel in je achterhoofd kun je natuurlijk wel zien waar je naartoe moet werken. Verder help ervaring inderdaad bij het sneller 'zien', zoals dat ook is bij integralen enz. Wat soms helpt is breuksplitsen...

[Lethy]

hey! ik heb ook een oefening op inverse Z die mij ooit was gesteld op een examen, maar ben er nogaltijd niet uit hoe deze moest uitgewerkt worden;

3z

-------

z²+1

heeft er iemand tijd en zin om deze even uit te werken?

bedankt!

[Safe]

3z

-------

z²+1

Schrijf z^2+1=(z-i)(z+i) en pas breuksplitsing toe ...

[Lethy]

ach natuurlijk.. bedankt