Partial fractions (La place transformatie)

[mischa_mis123]

De functie:

y''+2y'+2y=e^(-t) y(0)=0 y'(0)=1

Nu ben ik al aardig ver met de opgave maar ik loop vast bij het 'breuksplits' (partial fractions) gedeelte. Dit gedeelte heb ik rood gemaakt.

Persoonlijk denk ik dat ik de verkeerde aanname heb gemaakt bij de breuken welke in het rood onderstreept zijn. Echter heb ik geen idee hoe ik nu verder moet.

Het zou echt super zijn als iemand me verder kan helpen!

[Arie Bombarie]

Je hebt gevonden:

\(Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2+1}+\frac{1}{(s+1)((s+1)^2+1)}\)

Ben je in staat om de Laplace inverse te berekenen van de volgende functie:

\(G(s)=\frac{1}{s^2+1}+\frac{1}{s(s^2+1)}\)

Zo ja, kan je dan door gebruik te maken van de volgende relatie:

\(L\left \{ e^{at}f(t) \right \}=F(s-a)\)

de inverse Laplace getransformeerde vinden van Y(s)?

[mischa_mis123]

Arie, Harstikke bedankt voor je antwoord!

Er is me weer het een en ander duidelijker geworden.

Echter heb ik nog wel een vraag over:

\(Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2+1}+\frac{1}{(s+1)((s+1)^2+1)}\)

Over het 2e gedeelte hiervan twijfel ik.

Voordat deze 2e opgelost kan worden heb ik deze eerst als volgt opgeschreven: (1/s)*(1/((s^2) + 1))

Hierdoor wordt dit lijkt me (gezien

\(
L\left \{ e^{at}f(t) \right \}=F(s-a)
\)

[/color] ) dit: e^(-t)*t*sin(t)

Het geheel wordt nu lijkt me:

Y(t)=e^(-t)*sin(t)+e^(-t)*t*sin(t)

Echter ik weet dat hier iets fout aan is want het antwoord in het boek is:

e^(-t)*(1-cos(t)+sin(t)

Waar ik de mis in ga is me onduidelijk

[Arie Bombarie]

Ik zie niet precies wat je gedaan hebt.

Allereerst, de Laplace inverse van

\(F(s) = \frac{1}{s}\)

is

\(f(t) = 1\)

en niet

\(f(t) = t\)

.

Voor multiplicaties in het Laplace domein geldt:

\(L^{-1}\left \{ F(s)G(s) \right \}=\int_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau)d\tau\)

Oftewel, normaal gesproken:

\(L^{-1}\left \{ F(s)G(s) \right \}\neq f(t)g(t)\)

De Laplace inverse van

\(\frac{1}{s(s^2+1)}\)

kan je vinden door middel van breuksplitsen:

\(G(s)=\frac{1}{s(s^2+1)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+1}\)

Succes!