Temperatuur elektrische kabel bepalen

[Deupie]

De vraag is heel eenvoudig. Hoeveel warmte wordt er door een elektrische kabel gemaakt zodat bepaald kan worden hoeveel warmte in de ruimte afgevoerd kan worden.

Ik ben met behulp van een groot aantal formules niet tot de gewenste rekenmethode gekomen. Voordat ik begon heb ik eerst eens gekeken wat er allemaal bekend is:

1. Ontwikkelde warmte in elektrische kabel wordt afgegeven aan omgevingslucht. Energie gaat nooit verloren.
2. Isolatie veroorzaakt hogere temperatuur in de elektrische kabel en wordt eerst verwaarloost.
3. Bekend is hoeveel ampère maximaal door de elektrische kabel mag bij een vastgestelde omgevingstemperatuur.
4. Bij een hogere omgevingstemperatuur neemt de Ohmse weerstand toe.
5. Door kabellengte zal spanningsverlies optreden. Dit verlies zal ergens moeten blijven.
6. Een één aderige kabel heeft geen warmte beïnvloeding van andere aders.
7. De wijze waarop de kabel wordt gelegd heeft invloed op de temperatuur van de elektrische kabel. De geperforeerde plaat met een één aderige kabel en een kabelafstand van minimaal één kabel dik, heeft de gunstigste situatie.
8. Temperatuur van de elektrische kabel ligt in het bereik van de isolatie. Anders zou de isolatie smelten.
9. Temperatuur van de elektrische kabel is lager dan het smeltpunt van het kabel materiaal.
10. Machinekamer wordt de lucht minimaal 15x per uur vervangen. Volume van machinekamer is constant.
11. In de machinekamer is de luchtsnelheid niet overal constant. Bij de blowers zal de luchtsnelheid veel hoger zijn dan op dode hoeken waar alleen convectie plaats vindt.

Gegevens:

1. Elektrische kabel is gemaakt van koper, dus het volgende is bekend:

Soortelijke warmte bij constante druk (Cp, 1.013 bar en 21°C) : 0.029 kJ/mol*K

Soortelijke warmte bij constante volume (Cv, 1.013 bar en 21°C): 0.02 kJ/mol*K

Soortelijke warmte bij constante volume (Cv, 0-100°C): 710 J/kg*K

Soortelijke weerstand (ρ, bij 20°C): 1,72.10^-8Ωm

Weerstandstemperatuurcoëfficiënt (α, bij 0°C): 4.26 * 10^-3 K^-1

2. 3 fase motor aangesloten op 440V, In = 7.8A en Imax = 10A, cos phi = 0.8

3. Kabel: 4 mm² met een lengte van 5 meter tussen schakelkast en motor junctionbox. Isolatie XLPE (max temperatuur 90°C)

4. Omgevingstemperatuur in machinekamer maximaal 50°C. Machinekamer koeling werkt normaal.

Uitwerking:

Stroom door de kabel

I_kabel = In / cos phi = 7.8A / cos 0.8 = 9.75A

Weerstand in de kabel (IEC 60092)

R_kabel = 2 * L * R / d

R_kabel = 2 * 5m * 0.0175Ω / 4 = 0,04375Ω

Weerstand in de kabel bij 20°C

R_20°= 2 * L / π/4*d² * ρ



R_{20°= 2 * 5 / (}π/4* 0.004) * 1.72 * 10^-8= 0.027Ω

ΔR = 2 * R_kabel - R_{20° = 2*0.04375 - 0.027 = 0.0605}Ω

Temperatuursverschil is nu te bepalen:

ΔT = ΔR / α * 2 * R_kabel = 0.0605 / 0.00426 * 0.04375 = 161.3 K

Eind temperatuur is 161.3K + 293.15K = 454.45K ( 181.3°C)

De isolatie zou gaan smelten (max. 90°C), in de praktijk heb ik deze terugkoppeling niet gekregen dus moet hier ergens een fout zitten. Ik vind hem niet,wie kan me helpen?

[Fred F.]

Je moet eerst berekenen hoeveel warmte (in Watt) er in de draad geproduceerd wordt.

Dat is natuurlijk: Q₁ = I² * R

En daarvoor moet je R juist berekenen, dus niet zoals jij rommelt met allerlei getallen.

De metaaldraad zal een (evenwichts)temperatuur T bereiken zodanig dat zijn warmteverlies Q₂ (door de isolatie en zijn buitenluchtlaag) precies gelijk is aan de geproduceerde warmte Q₁.

Daarvoor moet je de warmteoverdrachtscoefficient (de U-waarde in W/m².^oC) van metaaldraad, via isolatie naar de omgevingslucht berekenen voor verschillende draadtemperaturen. Daarbij speelt straling en natuurlijke convectie aan de buitenkant van de isolatie een rol. Dat allemaal berekenen om de juiste U te verkrijgen is eigenlijk het moeilijkste want om dat zelf te doen moet je je eerst verdiepen in de theorie van warmteoverdracht.

Dus samengevat:

Warmteproductie Q₁ = I² * R

Warmteverlies Q₂ = U.A.(T - T_o)

Bij evenwicht is Q₁ = Q₂ dus T = ....

A = buitenoppervlak draadisolatie, m²

T_o = omgevingsluchttemperatuur, ^oC

[Deupie]

Dank je Fred F voor de hint, ik ga eerst me verdiepen in de warmteoverdracht. Natuurlijke convectie lijkt me minder van belang omdat de ruimte 15x per uur wordt ververst met lucht dus is er een luchtstroming. Ik ga kijken of ik eruit kom.

[Moab]

Meestal neemt men aan dat de eigen weerstand van een kabel constant is,

en men vergeet , of verwaarloost , het feit dat de specifieke weerstand van het geleidermateriaal

afhankelijk is van de temperatuur.

\(R=R_{0}\left ( 1+\alpha \Delta T \right )\)

Ro = referentieweerstand

α = soortelijke temperatuurscoëfficient

en de temperatuurstijging

\(\Delta T = \frac{RI^{2}\Delta t}{c_{v}S}\)

\(\Delta t =\)

de tijd is dat de stroom door de kabel vloeit

RI² : de opgewekte energie in de kabel

S :de sectie van de kabel

cv :de volumetrische warmtecapaciteit van het geleidermateriaal volgens

tabel 3,45 J/K m mm² voor Cu

in de praktijk nemen kabels zelf ook een deel reactief vermogen op.

en spreken we daarbij van de Impedantie van kabels

handberekeningen kunnen complex zijn en misschien daarom dat er

ook zo veel programma's in omloop zijn

dit is een handig online tool

http://hto.power.schneider-electric.com ... oltageDrop

[Deupie]

Beste Moab,

Dank je voor je antwoord, ik ga er mee aan de slag.

De tool is inderdaad handig voor het bepalen van de situatie waarin de kabel ligt en wat voor spanningsval wordt gekregen.

[Deupie]

Beste Moab,

Misschien kun je me een richting aangeven. Ik ben bezig met de berekening maar ik krijg de eenheid niet goed uit de ΔT.

De formule waar het omgaat:

ΔT=RI²Δt

c_vS

Δt = de tijd dat de stroom door de kabel vloeit, ik reken in seconden.

RI² = opgewekte energie in de kabel, geen probleem; ik reken in Watt

c_v = Volumetrische warmtecapaciteit, voor Cu 3.45 J/K m mm²Oke

S = sectie van de kabel, ik begrijp de doorsnede ik reken met mm²

Ga ik nu de eenheden bepalen dan kom ik niet op (zuiver) Kelvin uit:

ΔT=RI² * Δt = Watt * seconde = Watt * seconde * K * m * mm² = K * m

c_{v *}S J * mm² Watt * seconde * mm²

K*m*mm²

De formule heb ik sporadisch gevonden op internet maar helaas geen voorbeeld van een berekening. Dus mijn vraag is klopt dat ik ΔT in K * m krijg?

[mathfreak]

ΔT is een temperatuursverschil en heeft dus net als de absolute temperatuur de Kelvin als eenheid.

[Fred F.]

Vergeet die ΔT formule maar, want daar heb je niks aan.

Het is zoals ik in bericht #2 geschreven heb: De metaaldraad zal een (evenwichts)temperatuur T bereiken zodanig dat zijn warmteverlies Q₂ (door de isolatie en zijn buitenluchtlaag) precies gelijk is aan de geproduceerde warmte Q₁.

[Deupie]

Dank je Fred F. ga ik weer even verder naar het bericht 2 en het doorlezen van convectie en straling. Leuk stuk!

[Moab]

Nu ik toch bezig ben met kortsluitberekeningen voor meerdere bedrijven,

kan ik jouw huiswerkje erbij nemen , kwestie van afwisseling

Impedantie 4 mm² kabel (pvc isolatie)

Weerstand R

eenvoudig regeltje 18,5 < X > de lengte < / > Sectie in mm² < = > R in mOhm

\(\frac{\left ( 18.5 \times 5 \right )}{4}=23,1 m\Omega \)

Inductantie X

als regel nemen we 0,13 < X > lengte < = > X in mOhm

want volgens kabelfabricant ( L = 0,36 mH / Km )

\(\omega L \rightarrow 2\times \pi \times f\times 0.36=113 m\Omega /Km = 0,11 m\Omega /m\)

X = 0,13 x 5 = 0.65 (verwaarloosbaar voor korte kabels)

Impedantie Z

\(Z = \sqrt{R^{2}+X^{2}}= \sqrt{23,1^{2}+0,65^{2}}=23,11 m\Omega\)

correctiefactoren >

plaatsing (0.98 volgens tabel)

omgevingstemperatuur(40°) (0.9 volgens tabel)

Z word nu

\(\frac{23,11}{0,98\times 0,9}= 26,20 m\Omega\)

vermogensverlies in kabel

\(I^{2}\times Z=10^{2}\times 0.026= 2.6 W\)

Warmteontwikkeling kabel in 1 sec bij In = 10 A in Kelvin/meter

\(\Delta T_{K}= \Delta T _{C}\)

\(\Delta T=\frac{26,2\times 10^{2}\times 1}{3,45\times 4}= 0,18^{\circ}/meter/sec\)

Zal de kabel nu blijven opwarmen met 0.18° per seconde ?

natuurlijk niet

zodra de temperatuur van de kabel de buitentemperatuur overschrijd gebruiken we een formule die Fred F al eerder heeft gepost.

\(\frac{Q}{t}=\frac{\kappa A\left ( T_{kabel}-T_{Omg} \right )}{d}=\frac{0.03\times 5,6\times 10^{-3}\left ( 55-40 \right )}{1\times 10^{-3}}= 2,5 J/s = 8,6 BTU/uur\)

=(warmteverlies kabel)

Vergeet die ΔT formule maar, want daar heb je niks aan.

Het is zoals ik in bericht #2 geschreven heb: De metaaldraad zal een (evenwichts)temperatuur T bereiken zodanig dat zijn warmteverlies Q₂ (door de isolatie en zijn buitenluchtlaag) precies gelijk is aan de geproduceerde warmte Q₁.

maar de juiste(evenwichts)temperatuur T berekenen is meer complex

dan mijn eenvoudig en simpel rekenvoorbeeld. (+eventuele rekenfouten )

ik hoop dat het nu duidelijk is dat de kabel

niet meer "Watt" kan afgeven aan de omgeving

dan de "Watt" die hij zelf "produceert".

[Fred F.]

Ik heb niet veel verstand van electriciteitsberekeningen, dus ik neem de door Moab berekende 2,6 W hier over als zijnde juist.

De uitdaging is nu om de U-waarde te bepalen van de geïsoleerde kabel. Ik zal jullie (nog) niet lastig vallen met allerlei berekeningen daarvoor, maar schat nu even dat de U-waarde ruwweg 12 W/m².K zal zijn in stilstaande lucht (betrokken op het buitenoppervlak).

Ik weet niet hoe dik de geïsoleerde kabel is, maar stel dat dat 6 mm is, dan is het buitenoppervlak A van 5 m kabel gelijk aan 0,094 m² .

Dat betekent dat: (T - To) = 2,6 W / (12 W/m².K * 0,094 m²) = 2,3 K = 2,3 ^oC

De koperader zal dus ongeveer 2 graden warmer zijn dan de omgevingslucht, gebaseerd op mijn aannames.

Nou kan men, indien gewenst, er een hoop tijd in steken om exact te bepalen wat U werkelijk is. Dat hangt af van de luchtsnelheid in de ruimte (ik heb met stilstaande lucht gerekend), de stromingsrichting t.o.v. de kabel (langs of dwars of schuin), het temperatuursverschil tussen kabeloppervlak en omgeving, emissiecoefficient (straling) van het kabelbuitenoppervlak. De isolatiedikte heeft weinig invloed op de U-waarde, maar natuurlijk wel op A.

[Deupie]

Heren,

Hartelijk dank! Ik ga wel verder met het lezen van het boek dat door Fred F is geadviseerd, hoofdstuk 8. Maar dit geeft al aardig inzicht in de warmteontwikkeling.

Nog wel een leuke site gevonden waar een deel van de berekening staat: http://wiki.xtronics.com/index.php/Wire-Gauge_Ampacity#Watts_generated_in_a_Wire

Maar zoals gewoonlijk snappen de Amerikanen de conversie van inch naar metrisch niet helemaal.