volume van een kubus - negatieve machten

[Beautiful Nightmare]

Hallo,

Ik vind natuurkunde erg interessant, maar heb me er door een beperking met het lezen van cijfers (dyscalculie) nooit echt in kunnen verdiepen. Ik lees graag artikelen en boeken over natuurkunde, met name kosmologie - als ik dat even onder natuurkunde mag scharen. Echter loop ik zoals te verwachten is soms tegen een probleem aan dat een leerling op de lagere school waarschijnlijk zonder moeite begrijpt, maar ik helaas niet

Ik lees nu het boek "The hidden reality" van Brian Greene. In dit boek komt op een gegeven moment, in een stuk over het bepalen van de mate waarin het heelal uitdijdt, een kubus met ribben ter grootte van de Planck-lengte langs (voor diegenen die willen weten welke passage: bladzij 141). Deze lengte wordt gesteld op:

10^-33 cm

Het volume van deze kubus wordt gesteld op:

10^-99 cm³

Voor zover ik deze notatie snap, komt dit neer op respectievelijk:

-een 0 gevolgd door een decimaal teken gevolgd door 32 nullen gevolgd door een 1;

en:

-een 0 gevolgd door een decimaal teken gevolgd door 98 nullen gevolgd door een 1.

Als ik nu even naar een kubus kijk met zijden van 2 cm, dan is het volume daarvan:

2³ cm = 8 cm³

Dus het volume van een kubus is zijde 1 x zijde 2 x zijde 3. Het volume van een kubus, laat mij dit zien, is altijd groter dan de zijde lang is. Excuus als ik dit krom verwoord, ik hoop dat duidelijk is wat ik bedoel.

Wat ik niet snap, is dat in het geval van de notatie met negatieve machten, het volume van een kubus veel kleiner lijkt te zijn dan de zijde.

Kan iemand me uitleggen welke fout ik maak bij deze gedachtengang? Heb ik iets verkeerd genoteerd, uitgerekend of geïnterpreteerd?

Dank!

[Typhoner]

Het volume van een kubus, laat mij dit zien, is altijd groter dan de zijde lang is. Excuus als ik dit krom verwoord, ik hoop dat duidelijk is wat ik bedoel.

Het is krom, in die zin dat je twee getallen met verschillende eenheden aan het vergelijken bent (lengte vs. volume). Een tweede krom iets is de "altijd", want je toont later duidelijk aan dat dit niet het geval is voor lengtes kleiner dan 1 lengte-eenheid.

[Safe]

Als ik nu even naar een kubus kijk met zijden van 2 cm, dan is het volume daarvan:

2³ cm = 8 cm³

Het volume van een kubus, laat mij dit zien, is altijd groter dan de zijde lang is.

En als je zijde van 1/2 cm neemt ...

[Beautiful Nightmare]

Hartelijk dank voor de reacties! Ik snap de kwestie alleen nog steeds niet, want er is geen uitleg, alleen een demonstratie van dat mijn aanname fout is (en dat wist ik eigenlijk al, want daarom stelde ik de vraag).

Jullie geven beide een reactie rond de lengte-eenheid. Maar een zijde van 1/2 cm is toch gelijk aan een zijde van 5 mm? En een zijde van 10^-33 cm is toch gelijk aan 1 Plancklengte (uitgaand van het stuk waarop ik dit baseer)?

Het blijft dan toch gewoon zo dat als ik de derde macht neem van een grondgetal, het resultaat groter moet zijn dan dat grondgetal? De eenheid maakt toch helemaal niet uit voor de waarde die de berekening geeft? (ik bedoel hiermee dat ik dit altijd gedacht heb, dit duidelijk een foute gedachte is, en ik nu het gevoel heb nog minder te begrijpen. Ik bedoel dus niet te zeggen dat ik gelijk heb hiermee en jullie niet. Ik wil dus geen discussie uitlokken, ik accepteer wat jullie (en Brian Greene) aangeven. Maar ik begrijp het niet.)

Dus als mijn kubus een zijde heeft van 0,5 cm:

0,5 cm x 0,5 cm x 0,5 cm = 5 mm x 5 mm x 5mm = 125 mm³

en inderdaad, als ik dit in cm houd, dan:

0,5 cm x 0,5 cm x 0,5 cm = 0,125 cm³

Wat doe/begrijp ik nu verkeerd? Waarom is in mm de uitkomst "125" hoger dan het grondgetal "5" maar in cm de uitkomst "0,125" juist lager dan grondgetal "0,5"? Welk principe, of welke stap, zie ik over het hoofd? Ik zeg dit in het volle besef dat 125 mm³ en 0,125 cm³ hetzelfde betekenen - en nog snap ik het niet.

[Safe]

\(2^3=8\)

\(1^3=1\)

\(\left(\frac 1 2\right)^3=\frac 1 8\)

Kies zelf nog wat vb ...

Kan je een regel formuleren?

[Typhoner]

Het blijft dan toch gewoon zo dat als ik de derde macht neem van een grondgetal, het resultaat groter moet zijn dan dat grondgetal?

niemand heeft je ooit gezegd dat dit moet, en het experiment toont duidelijk aan dat dit inderdaad niet geldt. Een derdemacht van een getal is getal*getal*getal, en als een getal kleiner is dan 1 gaat het resultaat kleiner zijn. Dat is de consequentie van die wiskundige bewerking: 0,8*0,8*0,8 betekent "80 % van 0,8, en daar 80% van".

Het enige verband dat altijd geldt is dat een kleinere lengte tot een kleiner volume leidt. Wat je dan doet is getallen vergelijken met dezelfde dimensie: als lengte 1 < lengte 2 dan is volume 1 < volume 2

Jij probeert in feite de vergelijking "als lengte 1 < volume 1 moet ook lengte 2 < volume 2" te maken.

[Beautiful Nightmare]

Opnieuw dank! Ik begin het te zien.

niemand heeft je ooit gezegd dat dit moet, en het experiment toont duidelijk aan dat dit inderdaad niet geldt.

Ik heb geleerd dat machtsverheffen een vermenigvuldiging is die een andere notatie heeft, en een vermenigvuldiging een optelsom is die een andere notatie heeft. Ik weet nu niet of dat nog wel juist is. Ik kan wiskunde bijna alleen intuitief begrijpen als het simpel is (moet voor het meeste nog op mijn vingers tellen). Ik word bij deze net wat ingewikkeldere dingen dus al bedonderd door mijn intuitie en heb niet het vermogen om te zien hoe en wat de juiste manier is, ook al weet ik wel dat ik iets fout doe.

Dus ook al zie ik aan het experiment dat ik een fout heb in mijn uitgangspositie, ik kan die fout zelf niet identificeren zodra er getallen bij komen kijken die wat verder gaan dan simpele bewerkingen rond de getallen 1 t/m 15, of 20 ofzo.

Een derdemacht van een getal is getal*getal*getal, en als een getal kleiner is dan 1 gaat het resultaat kleiner zijn. Dat is de consequentie van die wiskundige bewerking: 0,8*0,8*0,8 betekent "80 % van 0,8, en daar 80% van".

Als je het zo zegt, vraag ik me af waarom ik zoiets simpels niet begrijp als het op een andere manier genoteerd wordt. Ik ga in elk geval proberen een dergelijke omzetting te maken als ik weer begin te twijfelen.

Het enige verband dat altijd geldt is dat een kleinere lengte tot een kleiner volume leidt. (...) Jij probeert in feite de vergelijking "als lengte 1 < volume 1 moet ook lengte 2 < volume 2" te maken.

Ja, ik geloof dat ik dat als vaste aanname in mijn hoofd had zitten, maar dan als:

"als volume 1 > lengte 1, dan volume 2 > lengte 2"

(Of is dat exact hetzelfde als jouw formulering?)

Ik heb ook een beetje de verwachting dat "alles" uitlegbaar is en dat is misschien helemaal niet zo. Ik begreep namelijk wel dat, maar niet waarom 10x10>10, maar tegelijk 0,1x0,1<0,1 . Voor mij is en blijft dat onherleidbaar, ook al weet ik dat het zo is. Misschien vraag ik wel te veel als ik hoop dat iemand mij het waarom kan uitleggen.

Dus dit:

\(2^3=8\)

\(1^3=1\)

\(\left(\frac 1 2\right)^3=\frac 1 8\)

Kies zelf nog wat vb ...

Kan je een regel formuleren?

gaat helaas mijn pet te boven. Zo'n regel kan ik niet formuleren ook al zie ik de trend waarin je met de helft van het voorgaande grondgetal een uitkomst krijgt die 1/8 is van de vorige uitkomst - als ik mijn woorden dit keer goed heb gekozen, tenminste. Welke regel is dat?

Heel erg bedankt voor de moeite die jullie nemen!

[Beautiful Nightmare]

"Zo'n regel kan ik niet formuleren ook al zie ik de trend waarin je met de helft van het voorgaande grondgetal een uitkomst krijgt die 1/8 is van de vorige uitkomst - als ik mijn woorden dit keer goed heb gekozen, tenminste. Welke regel is dat?"

O wacht! ik zie nog wel -ineens- dat de 8 in 1/8 een 3e machtsverhouding heeft met de 2 in 1/2 ("de helft"). Of is dit niet relevant?

[Fuzzwood]

De helft van de helft is een kwart. De helft van een kwart is een achtste. Dat staat eigenlijk in die laatste regel die je aanhaalt

[Safe]

Ik heb ook een beetje de verwachting dat "alles" uitlegbaar is en dat is misschien helemaal niet zo. Ik begreep namelijk wel dat, maar niet waarom 10x10>10, maar tegelijk 0,1x0,1<0,1 . Voor mij is en blijft dat onherleidbaar, ook al weet ik dat het zo is. Misschien vraag ik wel te veel als ik hoop dat iemand mij het waarom kan uitleggen.

Als je een getal a (kies zelf) vermenigvuldigt met een ander getal groter dan 1, wat kan je dan zeggen van dat resultaat:

1. groter dan a

2. gelijk aan a

3. kleiner dan a

Zelfde vraag als je a vermenigvuldigt met 1

Zelfde vraag als je a vermenigvuldigt met een getal kleiner dan 1

[Beautiful Nightmare]

De helft van de helft is een kwart. De helft van een kwart is een achtste. Dat staat eigenlijk in die laatste regel die je aanhaalt

Ok, hier heb ik even over moeten nadenken. Ik weet alleen niet zeker naar welke laatste regel je precies verwijst, want in mijn enthousiasme voor mijn plotse epifanie heb ik 2 posts geplaatst waar bij beide de laatste regel van toepassing kan zijn.

Zoals je dit zegt, vind ik het namelijk helder, maar ik kan niet goed zien hoe dit past in mijn beeld. Ik raak in de war omdat ik nu de relatie met de derdemacht niet zie: de helft van de helft klinkt voor mij als een ander soort bewerking. Maar, je zegt dit vast niet voor niks, lijkt me, dus ik denk dat ik nog beter moet nadenken.

Ging dit om mijn regel

...de trend waarin je met de helft van het voorgaande grondgetal een uitkomst krijgt die 1/8 is van de vorige uitkomst

of

ik zie nog wel -ineens- dat de 8 in 1/8 een 3e machtsverhouding heeft met de 2 in 1/2 ("de helft").

of slaat het op beide?

Als je een getal a (kies zelf) vermenigvuldigt met een ander getal groter dan 1, wat kan je dan zeggen van dat resultaat (...)

Goed, dit is een som die simpel genoeg lijkt, voor mij, om zonder terugkerende verwarring een idee te hebben van het antwoord en dan ook een aantal keer echt uit te voeren met grotere getallen. Ik wil hier ook een tijd mee bezig zijn, want ik ga het vast alleen maar onthouden als ik vandaag elk uur even terugkom en een nieuw getal neem.

Voor de zekerheid: ik ga ook breuken en negatieve getallen voor a nemen. Ik ga er gezien je formulering en wat ik tot nu toe van jullie heb geleerd van uit dat dit volledig mogelijk is binnen deze "opgave".

Ik heb ook zelf verder nagedacht over "waarom". Intuitief en foutief zeg ik: "als volume 1 > lengte 1, dan volume 2 > lengte 2". Ik kom tot deze gedachtengang op grond van hoe ik altijd de verschillen tussen de verschillende bewerkingen (vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen...) heb gezien.

Dus ik dacht: als ik nou inzie dat een getal tussen 0 en 1 een breuk is, dan moet ik toch snappen dat ik bij

0,5³

in feite een breuk, een "deling", herhaaldelijk uitvoer. En als je herhaaldelijk deelt, moet het uitkomst wel kleiner worden dan het grondgetal.

Dus dat probeer ik me ook voor ogen te houden.

Enorm bedankt. Ik zal later nog even antwoorden op "wat kan je dan zeggen van dat resultaat" want ik wil flink gaan oefenen zodat ik eindelijk een goed verwoord antwoord kan geven!

[Benm]

Je kant het op die manier doen inderdaad, of je doet wat je ook deed met het voorbeeld van een halve centimeter: je gaat rekenen met milimeters, waardoor volume als getal groter is dan de zijdes.

Er is strict genomen geen reden dat je dat met een planck lengte niet zo kunnen doen, als je maar een kleinere eenheid kiest (dat die natuurkundig niet bestaat doet aan het rekenwerk niets af). Ik stel voor: De deciplanck, gelijk aan 10E-36 meter.

Een kubus met zijden van 1 plancklengte (=10 deciplanklengte) heeft dan een volume van 1000 deciplanklengte^3.

[Beautiful Nightmare]

Nou, ik heb sinds mijn schooltijd niet meer zo veel gerekend!

Ik heb een paar goede tips gekregen om een getal als 10^-33 op een andere manier te schrijven. Ik heb geoefend met het omzetten daarvan, met het uitrekenen van volumes in die verschillende schrijfwijzen, en heb geprobeerd regels te formuleren uit wat ik eerder in dit topic nog zag als een eenvoudige opgave.

Het is me jammer genoeg niet gelukt mijn 'intuitief begrip' te veranderen van hoe groot het volume van een kubus is als de zijdes 10^-33 (of vergelijkbaar) zijn. Ik blijf kortom verwachten dat dit geen 10^-99 moet zijn, maar 10^-11. Natuurlijk weet ik dat dat niet klopt, maar ik wilde graag af van dat foute intuitieve gevoel/een nieuw intuitief gevoel opbouwen.

Het lukt me niet goed om te doen wat Benm schreef m.b.t. de deciplanck. Ik zie de logica, maar kan het niet goed toepassen. Het komt omdat ik bij 'deci' wel weet dat er iets met een factor 10 is, maar wat ook al weer? Moest ik nou delen door 10 of vermenigvuldigen? Hoe vaak ik ook opzoek en uitvoer wat dit is, ik onthou het niet. Tegen de tijd dat ik heb vastgesteld (centimeter-->decimeter-->meter) dat 'deci-eenheid' een tiende is van 'eenheid' ben ik de getallen zelf weer kwijt; haal ik die terug, dan zit ik opnieuw met "o ja, en nu dat deci weer, ****, weer vergeten."

Aan mijn geheugen ligt het niet direct: ik ervaar dit bijna uitsluitend met getallen in bewerkingen. Een niet-gebruikt telefoonnummer jarenlang onthouden lukt me wel (maar ik kan een datum dan weer niet goed onthouden als er niet ook een dag van de week bij genoemd wordt).

Het is me ook niet gelukt regels op te stellen. Dat ging hierom:

Als je een getal a (kies zelf) vermenigvuldigt met een ander getal [noot BN: b] groter dan 1, wat kan je dan zeggen van dat resultaat:

1. groter dan a

2. gelijk aan a

3. kleiner dan a

Zelfde vraag als je a vermenigvuldigt met 1

Zelfde vraag als je a vermenigvuldigt met een getal kleiner dan 1

Ik had er een stuk of 3 halfslachtig geformuleerd, en toen begon ik in de war te raken omdat ik de getallen niet meer uit elkaar kon houden - was dit nou a, of was dit nou b? Maakte dat wel uit? Was a nou kleiner dan 1, of moest b groter dan 1 zijn? Dan moest ik weer terugkijken en vergat ik weer in welke stap ik bezig was, welke regel ik probeerde op te stellen...

Het ligt niet aan de uitleg, de tips of aan de opgave. Ik heb blijkbaar dyscalculie, en ik heb daar zo'n genoeg van. Maar 't is niet anders. Het lukt me niet getallen in gedachten te manipuleren als de waarde van het getal te hoog is, of als er getallen bij betrokken zijn die onderling een verschil hebben dat te hoog is - laat ik zeggen dat als een getal grofweg hoger dan 10 is, of het verschil tussen 2 getallen is meer dan 10, ik er niet meer uitkom.

En als ik het op papier zet, kom ik meestal wel bij de juiste uitkomst, maar als ik dan naar de oorspronkelijke formulering kijk, slaat de twijfel toch toe. Heb ik het echt wel goed gedaan? Ik kan dat niet beoordelen, dan.

Goed. Het was een benadering die niet werkt voor mij. Misschien vind ik ooit nog eens een manier die beter werkt. Allemaal erg bedankt dat jullie op dit basisniveau wilden aanschuiven om mij te helpen!

[Benm]

Discalculie zou ik het niet direct noemen: je lijkt best handig te zijn met het rekenen aan getallen. Met een som als 5 x 250 heb je geen probleem, maar met 0.5 kwadraat wel.

Als je er iets aan wilt doen dan denk ik dat het handig is om te wennen aan het rekenen met exponenten. 5x250 is een simpel sommetje, maar doe het eens in notatie:

5 x 10^0 keer 2.5 x 10^2, met antwoord 1.25 x 10^3.

als je dat consequent kunt met getallen groter dan 1, dan is het ook te leren met kleine getallen. Stel dat je moest oplossen:

5 x 10^0 x 2.5 x 10^-2, dan is het antwoord 1.25 x 10^-1

Het verschil in die 10^3 en 10^-1 is in de exponent 4, precies zoals het verschil in de opgave 10^+2 en 10^-2 was.

Wellicht lijkt het absurd om simpele sommen aan te pakken door alles te zien als een getal maal een macht van 10, maar het geeft aan de andere kant misscien inzicht om te werken met getallen kleiner dan 1 zonder dat het je veel meer moeite kost dan werken met getallen groter dan 1.

[king nero]

O wacht! ik zie nog wel -ineens- dat de 8 in 1/8 een 3e machtsverhouding heeft met de 2 in 1/2 ("de helft"). Of is dit niet relevant?

Dit is eigenlijk de clou van de zaak...

een breuk tot een macht is hetzelfde als teller tot die macht / noemer tot die macht.

(wil iemand dat eens in latex zetten aub?)

dus als de noemer vergroot (tot de derde macht bijvoorbeeld) (en met de teller = 1), wordt het totale getal (dus de volledige breuk) kleiner...