[wiskunde] Complexe getallen: los vergelijking op: (z^2)(i+(Z^2)=-6

[Erikzzzz]

Ik ben begonnen met versimpelen. Dat geeft (z^4)+i(z^2)+6=0. Wellicht ga ik hier al de verkeerde kant op. Ik heb de antwoorden er zijn 4 wortels. Ik heb alleen geen idee hoe ik daar kom. Ik kan niet delen, ik kan niet kwadraat afsplitsen, ik heb via wolfram gevonden dat er gesubsidieerd kan worden maar daarna wordt het daar ook niet duidelijk. Ik vraag mij af of substitutie de beste methoden is.

Hoe kan ik deze vergelijk het beste oplossen? (welke methode/richting kan ik het beste gebruiken + waarom) alvast bedankt

[Th.B]

Dit is een zgn. bikwadratische vergelijking in z. Met u = z^2 moet je er toch wel uit kunnen komen..?

[Erikzzzz]

Net een heel stuk getypt en toen ging er iets fout..

Goed ik heb substitutie gedaan x=z^2 nulpunten voor x: 2i en -3i als ik met 2i loop ik vast, namelijk: z^2-2i=0 dit zou moeten factoren naar (z-(1+i))(z+(1+i))=0 maar hoe kom ik daar..? welke algoritme/werkmethode kan ik gebruiken?

alvast bedankt

[Safe]

2i=(1+i)^2, ga dat na!

[Drieske]

Opmerking moderator

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.

[Erikzzzz]

Goed ik begrijp hieruit dat ik van te voren had moeten weten (door ervaring dus) dat dat 2i=(1+i)^2 als ik dat had geweten had ik de factor kunnen achterhalen. Goed dit weet ik nu. Bedankt voor de hulp

[Safe]

Een aantal malen heb je gezien dat je z=x+iy kan gebruiken, ik zou zeggen zorg dat je daar in thuis raakt!

[WernerP]

In het algemeen is er een "mooie" methode om uit elk complex getal a+bi de twee vierkantswortels te trekken.

Stel

\((x+yi)^2 = a + bi\)

Dan krijg je na uitwerking

\(x^2-y^2+2xyi=a+bi\)

Dit levert de vergelijkingen

\(\left\{\begin{array}{l}

x^2-y^2=a\\

2xy=b

\end{array}

\right .\)

op, en na kwadratering van de tweede vergelijking en vermenigvuldiging met een min

\(\left \lbrace\begin{array}{l}

x^2-y^2=a\\

(x^2).(-y^2)=-\dfrac{b^2}{4}

\end{array}

\right .\)

\(x^2\)

en

\(-y^2\)

zijn dus oplossingen van de resolvente vierkantsvergelijking

\(\lambda^2 - a\lambda -\dfrac{b^2}{4} = 0 \)

Deze vergelijking heeft automatisch twee reële wortels die bovendien een verschillend teken hebben (waarom)?

De positieve van de twee is

\(x^2\)

, de negatieve

\(-y^2\)

. Hieruit kan men 2 waarden voor x en 2 voor y vinden. Dan is het nog een kwestie om te zien welke x-waarde bij welke y-waarde hoort. Hiertoe kan je kijken naar het teken van

\(xy=\dfrac{b}{2}\)

Postscriptum: hoe zet ik die accolades voor het stelsel juist? Ik probeerde

\left \lbrace

\begin{array}{l}

(stelsel)

\end{array}

\right .

maar het resultaat ziet er niet uit.

[Safe]

In het algemeen is er een "mooie" methode om uit elk complex getal a+bi de twee vierkantswortels te trekken.

Niet erg handig ...

[Drieske]

maar het resultaat ziet er niet uit.

Helaas zit er in die tex-codes wat bugs. Een van de bugs is: begin zo weinig mogelijk op een nieuwe lijn. Ik heb dat nu bij jou aangepast en nu ziet het er wel uit.

PS: ikzelf vind de \begin{cases}\end{cases} ook wel zeer handig voor stelsels (al is het daarvoor niet per se bedoeld).

[Flisk]

Ken je het complexe vlak waar voor geldt: a+ib =

\(\sqrt{a^2+b^2}(cos(bgtan\frac{b}{a})+isin(bgtan\frac{b}{a}))\)

?

Als je dit kent en je mag een rekenmachine gebruiken bestaat er nog een makkelijke methode om wortels en machten te berekenen.

De methode van Werner P werkt ook heel goed anders.

Nu in dit voorbeeld is dit niet echt nodig, maar als je echt een algemene methode zoekt.

[mathfreak]

Mag je een grafisch rekenmachine met tan^-1 (boogtangens) functie gebruiken? Dan is er een vrij gemakkelijke methode die je bijna altijd kunt gebruiken.

Ken je het complexe vlak waar voor geldt: a+ib =

\(\sqrt{a^2+b^2}(cos(bgtan\frac{b}{a})+isin(bgtan\frac{b}{a}))\)

?

Gewoon uitgaan van z = x+iy werkt makkelijker.