[wiskunde] Een lijn die een exponentiële grafiek precies driemaal snijdt... help (klas 6 VWO)

[Paasbaas]

Dit is de opdracht:

Bereken alle waardes a waarvoor geldt dat lijn y=a(x-1)

de grafiek f(x) precies driemaal snijdt.

4ln(x)

------- = f(x)

1+ ln²(x)

(hier een link naar de grafiek)

Zou iemand mij met deze opdracht kunnen helpen?

Alvast bedankt!

[Safe]

Door welk punt gaat de lijn y=a(x-1) ?

Kan je een lijn tekenen zo dat de grafiek van f, 0 keer snijdt?

Idem 1 keer snijdt?

Idem 2 keer snijdt?

Idem 3 keer snijdt?

Voor welke a raakt de lijn de grafiek van f?

[Paasbaas]

de lijn raakt hem in ieder geval in 1 punt, namelijk (1,0)

y=a(x-1)=0

x=1 of a=0

f(x) = 0

x = 1 want ln(1) = 0

Dus ze raken elkaar altijd minimaal in een punt.

maar hoe moet je daarna verder??

[Safe]

Ok! We zeggen wel snijden, dus de lijn en de grafiek hebben altijd één punt gemeenschappelijk.

Pak nu je geo-driehoek, leg deze op je grafiek zodat de lijn langs je geo-drhk (die je niet tekent) door (1,0) ...

Wat is de rc van de lijnen (die je zo zou kunnen tekenen) met alleen dit punt gemeenschappelijk met de grafiek van f.

Welke rc van de lijn lijkt twee ptn te geven

En welke drie ...

[Paasbaas]

De rc van f(x) in dat punt is dus f(1) = 4

want:

4+4ln(x)^2

------------ = f'(x)

x(1+ln(x)^2)^2

Dat is de rc van de raaklijn in dat punt.

4 dus.

De vergelijking van die raaklijn is dan: y=4x+b

b = -4

volgens:

0=4*1+b (punt 1,0)

-4=b

y=4x-4

dus

a=4 in de vergelijking: y_a=a(x-1)

Deze lijn lijkt f(x) tweemaal te snijden

maar ik kan de vergelijking om dat te bewijzen maar niet oplossen:

f(x) = y_a

[Safe]

a=4 in de vergelijking: y_a=a(x-1)

Deze lijn lijkt f(x) tweemaal te snijden

maar ik kan de vergelijking om dat te bewijzen maar niet oplossen:

f(x) = y_a

Deze lijn raakt de grafiek van f, dus maar 1 ipv 3 snijptn.

Voor welke a snijdt de lijn de grafiek nu driemaal (gebruik je geo-drhk) ...

[Paasbaas]

als de rc van de raaklijn in (1,0) kleiner wordt

dus a kleiner

[Paasbaas]

dus a moet in ieder geval kleiner zijn dan 4

oke!

[Safe]

Je moet wel de grenzen van de waarden van a geven, dus ...<a<...

Ga eens na, wat (bv) a=-.5, a=0, a=.5 betekent in bovenstaande zin.

[Paasbaas]

Ik geloof dat ik het heb!

Als x steeds kleiner wordt, wordt y van zeer negatief tot steeds minder negatief. Maar omdat x niet nul kan zijn want

ln(0) mag niet, want e^x kan nooit 0 zijn, is de lijn y=0 een soort asymptoot. Niet helemaal, want f(x)=0 bij x=1.

Dus de lijn van y=a(x-1)

is dan 0.

Dat is alleen als x=1 of a=0.

x=1 hebben we al gezien,

maar a is de rc en als die 0 is y ook 0.

Dus ik denk dat de grenzen van a:

0 < a < 4 zijn

Klopt het wat ik gezegd heb?

[Safe]

Prima!

En wat vond je nu moeilijk ...

Alleen is f(0) geen 0 ...

Heb je al het begrip limiet (wiskundig) geleerd? Zo nee, staat dat 'op het programma'?