[Mechanica] Zwaartekracht

[stemc2]

Je berekent bijvoorbeeld de potentiële energie voor elk punt op een symmetrie-as. De negatieve afgeleide van die functie is dan de component van de kracht langs die symmetrie-as. En omdat het een symmetrie-as is, is de grootte van die component meestal gelijk aan de grote van de kracht.

[Jan van de Velde]

De evenaardiameter toe laten nemen zou overigens niets uitmaken (=zelfde situatie met grotere R).

Ik weet het niet, want de zwaartekracht is afhankelijk van de afstand in het kwadraat. Maar voorlopig zouden we dat kunnen aannemen, en dan daarna dezelfde berekening maken voor een aanvankelijk grotere bol, en zien of een (vermoedelijk) omslagpunt ligt op dezelfde verhouding pooldiameter/evenaardiameter.

[ZVdP]

@ ZvdP: Kun je je scriptje eens posten?

Mijn Matlab code:

Verborgen inhoud

Code: Selecteer alles

function gravity

	%gravity at pole=(0,a,0)

	function res=fpole(x,y,z,a)

		res=1/(x^2+(a-y)^2+z^2)*(a-y)/sqrt(x^2+(a-y)^2+z^2);   %|F|*[(pole-r)*1y]/|pole-r|

		if isnan(res)||res<0				 %remove errors due to y~=a

			res=0;

		end

	end



	%gravity at equator (1,0,0)

	function res=feq(x,y,z)

		res=1/((1-x)^2+y^2+z^2)*(1-x)/sqrt((1-x)^2+y^2+z^2); %|F|*[(equator-r)*1x]/|equator-r|

		if isnan(res)||res<0				  %remove errors due to x~=1

			res=0;

		end

	end



grid=0.05;		  %grid for earth

agrid=grid;		 %grid for a

aVector=0:agrid:1;  %vector with values for a

count=0;			%index for vectors

gpole=zeros(1,length(aVector));  %vector for gravity at pole

geq=zeros(1,length(aVector));	%vector for gravity at equator

% hold on;



for a=aVector

	count=count+1;

	for x=-1:grid:1

		for y=-a*sqrt(1-x^2):grid:a*sqrt(1-x^2)   %ellips: x^2+y^2/a^2=1

			for z=-real(sqrt(1-x^2-y^2/a^2)):grid:real(sqrt(1-x^2-y^2/a^2)) %ellipsoid: x^2+y^2/a^2+z^2=1

				gpole(count)=gpole(count)+fpole(x,y,z,a);

				geq(count)=geq(count)+feq(x,y,z);

				%plot3(x,z,y);

			end

		end

	end

end

plot(aVector,gpole,aVector,geq);

end

[Rogier]

Nog even terugkomend hierop, naar aanleiding van Jan's berichtje:

Ik weet het niet, want de zwaartekracht is afhankelijk van de afstand in het kwadraat. Maar voorlopig zouden we dat kunnen aannemen, en dan daarna dezelfde berekening maken voor een aanvankelijk grotere bol, en zien of een (vermoedelijk) omslagpunt ligt op dezelfde verhouding pooldiameter/evenaardiameter.

Als er een omslagpunt zou zijn, maar dat lijkt niet het geval? (zoals ZVdP's numerieke methode aantoont)

[Jan van de Velde]

(zoals ZVdP's numerieke methode aantoont)

Ik zie even niet wat die aantoont, en ben onmachtig om de algoritmes te beoordelen (wat overigens geen motie van wantrouwen behelst).

Maar als die aarde uiteindelijk een heel platte ellips is geworden wil het er bij mij niet in dat bolletje 1 nog steeds netto een grotere zwaartekracht ondervindt dan bolletje 2, omdat bolletje 1 voornamelijk tegelijkertijd naar links én rechts wordt getrokken (wat elkaar dus vectorieel opheft) en bolletje 2 alleen nagenoeg naar rechts (in dit tweedimensionale plaatje)

zwaartekracht 425 keer bekeken

[ZVdP]

Dan zullen we dat eens versimpeld proberen uit te rekenen.

In het limiet geval krijgen we een rechte met een bepaalde (lijn)massadichtheid in kg/m.

Naamloos 424 keer bekeken

De zwarte lijn stelt de massa voor. Deze heeft lengte L.

We berekenen nu de zwaartekracht waar de zwarte bolletjes staan. Beide op een afstand Y van de massa.

Laten we die nu eens analytisch uitdrukken:

-Ik stel alle constantes op 1 zodat F=1/r²

-De lijn ligt volgens de x-richting.

Geval 1:

\(F=\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\cos\theta}{Y^2+x^2}dx\)

waarbij theta de hoek is tussen de rode lijn en de verbindingslijn tussen x en Y; ik projecteer de grootte van de kracht (1/r²) op de rode lijn.

Cos= aanliggend/hypothenusa

\(\cos\theta=\frac{Y}{\sqrt{x^2+Y^2}}\)

\(F=\int_{-L/2}^{L/2}\frac{Y}{(Y^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{L}{Y*\sqrt{L^2/4+Y^2}}\)

Geval 2:

\(F=\int_Y^{Y+L}\frac{1}{x^2}dx=\frac{L}{Y(L+Y)}\)

Dit geeft volgende resultaten:

gravity 423 keer bekeken

Dus de zwaartekracht is dus blijkbaar groter in geval 1.

Tenzij ik ergens een rekenfout gemaakt heb, wat ik allesbehalve uitsluit.

[physicalattraction]

Ik dacht je nog even rekenfout betrapt te hebben, maar ik was het zelf die een rekenfoutje maakte. Ik kan nu in ieder geval geen fout in ZVdP's berekening vinden. Bij mij druist het ook niet, zoals bij Jan, tegen mijn intuïtie in moet ik zeggen.