sciencetalk

flappelap schreef: ↑di 24 aug 2021, 11:22

wnvl1 schreef: ↑ma 23 aug 2021, 23:54 Als je de Einstein vergelijking bekijkt, dan zijn elk van die tensoren op zich wel te begrijpen.

\(R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}\)

De grote moeilijkheid is te begrijpen hoe Einstein er toe gekomen is de linkerkant en de rechterkant van deze vergelijking aan elkaar gelijk te stellen. Ik snap zelf wel elk van die dingen op zichzelf staande, maar het ding als geheel echt begrijpen in al zijn complexiteit is niet evident en ik vrees dat dat nooit zal komen bij mij. Het blijft een vergelijking waarvan ik weel begrijp hoe je ze gebruikt voor simpele gevallen, maar die mysterieus blijft omdat ze toch enigszins uit de lucht komt gevallen.

Einstein gebruikte 4 uitgangspunten: algemene covariantie (het equivalenteprincipe), het correspondentieprincipe, dus dat de vergelijking naar de Poissonvergelijking moet gaan in de Newtonse limiet, dynamica met hoogstens tweede orde afgeleiden, en covariant energiebehoud. Zie ook https://arxiv.org/abs/gr-qc/0103044.

Math-E-Mad-X schreef: ↑di 24 aug 2021, 13:07

Professor Puntje schreef: ↑ma 23 aug 2021, 11:08 Beschouw als het formele object dat in de zin van een abuse of notation achter uitdrukkingen van de vorm \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) schuilgaat de afbeelding van \( \mathbb{F} \cup V^*_p \cup V^{***}_p \cup V^{*****}_p \cup \cdots \, \) naar \( \mathbb{R} \) die argumenten uit \( \mathbb{F} \) met \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) evalueert; die argumenten uit \( V^*_p \) evalueert met de co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \); die argumenten uit \( V^{***}_p \) evalueert met de co-co-co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \), etc.

Ik denk dat ik een eenvoudigere oplossing heb.

Ik maak onderscheid tussen een inwendig tensorproduct en een uitwendig tensorproduct. Het uitwendige tensorproduct is het gewoon het 'normale' tensorproduct \(\otimes\), en kan gezien worden als een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en ook weer een tensor als uitput geeft.

Een tensor zelf is geen multilineaire afbeelding meer, maar niets anders dan een formeel product van vectoren en covectoren, geconstrueerd met het uitwendige tensorproduct.

Het inwendige tensorproduct noteer ik als \(F\) en is ook een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en een tensor als uitput geeft (waarbij ik een reëel getal ook beschouw als een tensor van type (0,0)).

Als v een vector is, en w een covector, dan definieer ik:

\(F(w,v) = w(v)\)

en ook:

\(F(v,w) = w(v)\)

Dit kunnen we nu uitbreiden naar hogere order tensoren. Bijvoorbeeld:

\(F(w \otimes z,v) = w(v)\otimes z\)

waarbij z een willekeurig type tensor kan zijn. Je mag zelf de details uitwerken om dit helemaal netjes gedefinieerd te hebben voor alle mogelijke combinaties van tensoren.

Het handige is dat we de tensoren zelf niet meer als multi-lineaire afbeelding hoeven te beschouwen. In plaats daarvan gebruiken we de afbeelding F, dus dat hele verhaal van de co-co-vectoren hebben we niet meer nodig.

Als je nu in de relativiteitstheorie een uitdrukking van, bijvoorbeeld, de vorm \(g_{\mu\nu} T^\nu\) tegenkomt,
dan moet je dat dus eigenlijk lezen als: \(F(\ \ \sum_{\mu \nu} g_{\mu\nu}\otimes dx^\mu\otimes dx^\nu \ \ , \ \ \sum_{\nu}T^\nu \otimes \frac{\partial}{\partial x^\nu}\ \ )\)

wnvl1 schreef: ↑do 26 aug 2021, 00:49

flappelap schreef: ↑di 24 aug 2021, 11:22

wnvl1 schreef: ↑ma 23 aug 2021, 23:54 Als je de Einstein vergelijking bekijkt, dan zijn elk van die tensoren op zich wel te begrijpen.

\(R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}\)

De grote moeilijkheid is te begrijpen hoe Einstein er toe gekomen is de linkerkant en de rechterkant van deze vergelijking aan elkaar gelijk te stellen. Ik snap zelf wel elk van die dingen op zichzelf staande, maar het ding als geheel echt begrijpen in al zijn complexiteit is niet evident en ik vrees dat dat nooit zal komen bij mij. Het blijft een vergelijking waarvan ik weel begrijp hoe je ze gebruikt voor simpele gevallen, maar die mysterieus blijft omdat ze toch enigszins uit de lucht komt gevallen.

Einstein gebruikte 4 uitgangspunten: algemene covariantie (het equivalenteprincipe), het correspondentieprincipe, dus dat de vergelijking naar de Poissonvergelijking moet gaan in de Newtonse limiet, dynamica met hoogstens tweede orde afgeleiden, en covariant energiebehoud. Zie ook https://arxiv.org/abs/gr-qc/0103044.

Ik heb het artikel gelezen. Het artikel legt wel de Riemann tensor en de Ricci tensor. Maar het lastigste stuk met betrekking tot het echt begrijpen slagen ze wel over. Waar ik vooral de draad kwijt geraak, is wanneer die Ricci tensor omgezet wordt naar de Einstein tensor. Dat is dat "covariant" maken waarnaar je verwijst, denk ik. In de meeste boeken wordt dan gebruik gemaakt van de Bianchi-identiteit. Je doet een aantal bewerkingen met de Ricci tensor en je krijgt dan iets waarvan de covariante afgeleide nul is. Dat gebruik je dan in de Einstein vergelijking.

Probleem dat ik heb is dat je eerst alles probeert te begrijpen op basis van de Riemann / Ricci tensor. Je probeert dat te begrijpen, maar nadien wordt het dan nog eens omgewerkt naar de Einstein tensor. Wiskundig niet zo moeilijk als je het stap voor stap bekijkt, maar daarmee blijf ik met het gevoel zitten dat ik het niet goed begrijp en dat het wonderlijk is dat het allemaal nog werkt.

Misschien is het een betere optie om het te proberen te begrijpen aan de hand van de Einstein–Hilbert actie. Ik moet het nog eens goed bekijken, maar dan vertrek je van een simpele formule met de Ricci scalar voor de actie om uit te komen bij de Einstein tensor en dan zit die kunstgreep met dat covariant maken er niet in hoop ik. Maar moet het nog eens in detail bekijken.

Professor Puntje schreef: ↑do 26 aug 2021, 19:01 https://web.archive.org/web/20100626102 ... 211716.pdf (blz. 12 en verder)

Is dat zoveel anders? Daar moeten ze dat ook op een aparte manier noteren.