Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

Ik ga weer verder met mijn studie van de tensor-rekening, en in dit topic stel ik mijn vragen daarover.

[Professor Puntje]

Hoe pas je Einsteins sommatieconventie toe op (Z_abc + Z_cab + Z_bca)X^aX^bX^c ? Hoe schrijf je dat met somtekens?

[wnvl1]

Ik denk

$$3\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}Z_{ijk}X^iX^jX^k$$

[Professor Puntje]

Dat moet er volgens mijn leerboek inderdaad uitkomen. Maar het gaat mij nu eerst om de interpretatie van (Z_abc + Z_cab + Z_bca)X^aX^bX^c . De a's, b's en c's komen daar elk drie keer laag en maar één keer hoog voor, en ik weet niet hoe ik op die ongebruikelijke vorm de Einstein sommatieconventie toe moet passen...

[Professor Puntje]

Zo misschien?:

\(\)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} (Z_{abc} + Z_{cab} + Z_{bca})X^aX^bX^c \)

[flappelap]

Zo misschien?:

\(\)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} (Z_{abc} + Z_{cab} + Z_{bca})X^aX^bX^c \)

Ja. Maar bedenk dat de term

\(X^aX^bX^c \)

symmetrisch is in het verwisselen van a,b, en c; je contraheert immers met 3 dezelfde (!) vectoren X. Er geldt dus (sommatieconventie!)

\( Z_{abc} X^a X^b X^c = Z_{acb} X^a X^b X^c = Z_{bac} X^a X^b X^c = Z_{bca} X^a X^b X^c = Z_{cab} X^a X^b X^c = Z_{cba} X^a X^b X^c \)

Alle 6 permutaties van de indices a,b,c leveren dus dezelfde contractie op; de uitkomst zal dus hetzelfde getal of scalair zijn. Je som wordt dus gelijk aan

\( 3Z_{abc} X^a X^b X^c \)

Als je dit lastig vindt, kun je het eerst proberen in te zien met een contractie tussen een tweederangs tensor en twee vectoren X:

\( Z_{ab} X^a X^b = Z_{ba} X^b X^a = Z_{ba} X^a X^b \)

Bij het eerste is-teken herlabel ik de dummy-indices; a wordt b en b wordt a. Bij het tweede is-teken draai ik vervolgens X^a en X^b weer om; dat mag, want de componenten van een vector commuteren en dus maakt de volgorde niet uit. In een contractie als deze speelt dus alleen het symmetrische deel van de tensor Z een rol; het antisymmetrische stuk valt weg uit de contractie.

[flappelap]

Dat moet er volgens mijn leerboek inderdaad uitkomen. Maar het gaat mij nu eerst om de interpretatie van (Z_abc + Z_cab + Z_bca)X^aX^bX^c . De a's, b's en c's komen daar elk drie keer laag en maar één keer hoog voor, en ik weet niet hoe ik op die ongebruikelijke vorm de Einstein sommatieconventie toe moet passen...

Je hebt 3 termen, maar in elke term komen a,b,c slechts 1 keer laag en 1 keer hoog voor. In sommen maakt het dus niks uit dat je a,b,en c meerdere keren gebruikt; in producten heb je dan echter een probleem, want je weet dan immers niet welke componenten je moet contraheren. Er is dus niks ongebruikelijks aan

[Professor Puntje]

Zo dan?

\(\)

\( (Z_{abc} + Z_{cab} + Z_{bca})X^aX^bX^c \)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} (Z_{abc} + Z_{cab} + Z_{bca})X^aX^bX^c \)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} (Z_{abc} X^aX^bX^c + Z_{cab} X^aX^bX^c + Z_{bca} X^aX^bX^c) \)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{abc} X^aX^bX^c + \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{cab} X^aX^bX^c + \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{bca} X^aX^bX^c \)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{abc} X^aX^bX^c + \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{cab} X^cX^aX^b + \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{bca} X^bX^cX^a \)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{abc} X^aX^bX^c + \sum\limits^n_{c=1} \, \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} Z_{cab} X^cX^aX^b + \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} \, \sum\limits^n_{a=1} Z_{bca} X^bX^cX^a \)

\( \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{abc} X^aX^bX^c + \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{abc} X^aX^bX^c + \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{abc} X^aX^bX^c \)

\( 3 \sum\limits^n_{a=1} \, \sum\limits^n_{b=1} \, \sum\limits^n_{c=1} Z_{abc} X^aX^bX^c \)

\( 3 Z_{abc} X^aX^bX^c \)

[flappelap]

Ja, dat ziet er prima uit.

[Professor Puntje]

Nu de wiskundige achtergrond van de "transformatie-definitie" van tensoren. Een (r,s)-tensor \( T^{i_1i_2...i_r}_{j_1j_2...j_s} \) is wiskundig gezien een multi-lineaire functionaal van \( (V^*)^r \times V^s \) naar \( \mathbb{R} \). Hierin is V een n-dimensionale vectorruimte. (We bekijken hier alleen het eindig-dimensionale geval.) Onder de componenten \( T^{i_1i_2...i_r}_{j_1j_2...j_s} \) van de tensor \( T \) ten opzichte van de (duale) basis \( \mathbf{\hat{e}^1}, \mathbf{\hat{e}^2}, ... , \mathbf{\hat{e}^n} \) van V* en de basis \( \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, ... , \mathbf{e_n} \) van V verstaan we dan onderstaande beelden:

\(\)

\( T^{i_1i_2...i_r}_{j_1j_2...j_s} = T( \mathbf{\hat{e}^{i_1}} , \mathbf{\hat{e}^{i_2}} , ... , \mathbf{\hat{e}^{i_r}} , \mathbf{e_{j1}}, \mathbf{e_{j2}}, ... , \mathbf{e_{j_s}} ) \)

\(\)

Laat nu \( \mathbf{\hat{e'}^1}, \mathbf{\hat{e'}^2}, ... , \mathbf{\hat{e'}^n} \) een nieuwe basis van V* zijn en \( \mathbf{e'_1}, \mathbf{e'_2}, ... , \mathbf{e'_n} \) een nieuwe basis van V. Dan zijn er matrices \( ( A^q_p ) \) en \( ( B^p_q ) \) zodat:

\(\)

\( \mathbf{\hat{e'}^j} = \sum\limits_{i=1}^n \mathrm{A}^j_i \, \mathbf{\hat{e}^i} = \mathrm{A}^j_i \, \mathbf{\hat{e}^i} \)

\( \mathbf{e'_j} = \sum\limits_{i=1}^n \mathrm{B}^i_j \, \mathbf{e_i} = \mathrm{B}^i_j \, \mathbf{e_i} \)

\(\)

Dus als componenten van \( T \) ten opzichte van de nieuwe bases van V* en V vinden we dan:

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = T( \mathbf{\hat{e'}^{i'_1}} , \mathbf{\hat{e'}^{i'_2}} , ... , \mathbf{\hat{e'}^{i'_r}} , \mathbf{e'_{j'1}}, \mathbf{e'_{j'2}}, ... , \mathbf{e'_{j'_s}} ) \)

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = T( \mathrm{A}^{i'_1}_i \, \mathbf{\hat{e}^i} , \mathrm{A}^{i'_2}_i \, \mathbf{\hat{e}^i} , ... , \mathrm{A}^{i'_r}_i \, \mathbf{\hat{e}^i} , \mathrm{B}_{j'_1}^i \, \mathbf{e_i}, \mathrm{B}_{j'_2}^i \, \mathbf{e_i}, ... , \mathrm{B}_{j'_s}^i \, \mathbf{e_i} ) \)

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = \mathrm{A}^{i'_1}_i \, \mathrm{A}^{i'_2}_i \, ... \mathrm{A}^{i'_r}_i \, T( \mathbf{\hat{e}^i} , \mathbf{\hat{e}^i} , ... , \mathbf{\hat{e}^i} , \mathbf{e_i}, \mathbf{e_i}, ... , \mathbf{e_i} ) \, \mathrm{B}_{j'_1}^i \, \mathrm{B}_{j'_2}^i \, ... \mathrm{B}_{j'_s}^i \)

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = \mathrm{A}^{i'_1}_{i_1} \, \mathrm{A}^{i'_2}_{i_2} \, ... \mathrm{A}^{i'_r}_{i_r} \,\,\, T^{i_1i_2...i_r}_{j_1j_2...j_s} \,\,\, \mathrm{B}_{j'_1}^{j_1} \, \mathrm{B}_{j'_2}^{j_2} \, ... \mathrm{B}_{j'_s}^{j_s} \)

\(\)

En dan moeten we de A's en B's nog in partiële afgeleiden omzetten, maar waarom eigenlijk?

[Professor Puntje]

Met de indices en de sommatieconventie is aan het eind van mijn vorige post een en ander mis gegaan, maar ik zag dat te laat om het nog helemaal te kunnen corrigeren. Zo moet het (hopelijk) wel:

Als componenten van \( T \) ten opzichte van de nieuwe bases van V* en V vinden we dan:

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = T( \mathbf{\hat{e'}^{i'_1}} , \mathbf{\hat{e'}^{i'_2}} , ... , \mathbf{\hat{e'}^{i'_r}} , \mathbf{e'_{j'1}}, \mathbf{e'_{j'2}}, ... , \mathbf{e'_{j'_s}} ) \)

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = T( \mathrm{A}^{i'_1}_{i_1} \, \mathbf{\hat{e}^{i_1}} , \mathrm{A}^{i'_2}_{i_2} \, \mathbf{\hat{e}^{i_2}} , ... , \mathrm{A}^{i'_r}_{i_r} \, \mathbf{\hat{e}^{i_r}} , \mathrm{B}_{j'_1}^{j_1} \, \mathbf{e_{j_1}}, \mathrm{B}_{j'_2}^{j_2} \, \mathbf{e_{j_2}}, ... , \mathrm{B}_{j'_s}^{j_s} \, \mathbf{e_{j_s}} ) \)

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = \mathrm{A}^{i'_1}_{i_1} \, \mathrm{A}^{i'_2}_{i_2} \, ... \mathrm{A}^{i'_r}_{i_r} \, T( \mathbf{\hat{e}^{i_1}} , \mathbf{\hat{e}^{i_2}} , ... , \mathbf{\hat{e}^{i_r}} , \mathbf{e_{j_1}}, \mathbf{e_{j_2}}, ... , \mathbf{e_{j_s}} ) \, \mathrm{B}_{j'_1}^{j_1} \, \mathrm{B}_{j'_2}^{j_2} \, ... \mathrm{B}_{j'_s}^{j_s}\)

\(\)

\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = \mathrm{A}^{i'_1}_{i_1} \, \mathrm{A}^{i'_2}_{i_2} \, ... \mathrm{A}^{i'_r}_{i_r} \,\,\, T^{i_1i_2...i_r}_{j_1j_2...j_s} \,\,\, \mathrm{B}_{j'_1}^{j_1} \, \mathrm{B}_{j'_2}^{j_2} \, ... \mathrm{B}_{j'_s}^{j_s} \)

\(\)

[flappelap]

Hoe transformeren basisvectoren als je van coordinaten wisselt, x-->x' ?

[Math-E-Mad-X]

En dan moeten we de A's en B's nog in partiële afgeleiden omzetten, maar waarom eigenlijk?

Nee, nu val je opnieuw in dezelfde valkuil dat je 'vectoren' verwart met 'raakvectoren'.

Wat je nu gedefinieerd hebt is puur het wiskundige begrip tensor.

Voordat je naar partiële afgeleiden gaat kijken, moet je eerst gaan kijken naar begrippen als manifolds en (co-)raakruimten. De elementen van die (co-)raakruimten zijn (co-)raakvectoren en daarmee kun je dan weer tensoren gaan bouwen die overeenkomen met wat natuurkundigen tensoren noemen.

[Professor Puntje]

Juist - ik vond het al vreemd dat er in kromlijnige coördinatenstelsels zoiets als basisvectoren zouden bestaan, maar die zitten dus voor punten p van de manifold in de raakruimte V_p en daaraan duale co-raakruimte V*_p aan punten p van de manifold.

[flappelap]

De snelste route om je vraag te beantwoorden is middels de formele definitie van een raakvector als differentiaaloperator. De coördinaten basis wordt dan gevormd door partiële afgeleiden, waarvan de transformatie wordt gegeven door de kettingregel.