Het geheugen van een Collatz reeks, deel 2

[Regor]

Maar er zou ook moeten kunnen uitgesloten worden dat in de C rij op een bepaald ogenblik (niet noodzakelijk als startgetal) een oneven getal van de vorm (4k+3) voorkomt en verder ook steeds oneven getallen van deze vorm (éénmaal deelbaar door 2)

[WillemB]

Ik heb er een probleem mee dat je de mogelijke invloed van \( \mathcal{B} \) negeert. Zie:

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } \)

Volgens mij negeer ik het niet, immers \( \mathcal{B} \) staat in de teller samen met \( \mathcal{A} \)
en \( \mathcal{D} \) staat in de noemer.

Dus focus ik op \( \mathcal{D} \) immers deze wordt steeds groter,
Moet nog even nader bekijken maar lijkt erop dat \( \mathcal{B} \) niet significant genoeg is tov 3 ^{\( \mathcal{A} \)}

Je zou dus ook een vergelijking kunnen opstellen waarbij noemer=teller om te zien hoever \( \mathcal{D} \) moet oplopen.

Heel grof even als voorbeeld 2^{\( \mathcal{A} \) +\( \mathcal{D} \)} = 3^{\( \mathcal{A} \)}
levert een verhouding op van (\( \mathcal{A} \) + \( \mathcal{D} \)) : \( \mathcal{A} \) = 1,6 : 1

[WillemB]

Maar er zou ook moeten kunnen uitgesloten worden dat in de C rij op een bepaald ogenblik (niet noodzakelijk als startgetal) een oneven getal van de vorm (4k+3) voorkomt en verder ook steeds oneven getallen van deze vorm (éénmaal deelbaar door 2)

Dat zou kunnen, ik heb er naar binair naar gekeken, een blok oneven getallen, is binair een blok van een aantal éénen ( 1111111...)
maar zodra dit blok met drie wordt vermenigvuldigd, ontstaan er ineens aan het eind een aantal even punten (0....)

Blijkbaar wordt een reeks oneven door het vermenigvuldigen met drie toch weer regelmatig deelbaar door 2.

Heb dat eens getest met bijv 4095 , de eerste 12 keer is oneven, maar daarna komen toch weer de even getallen eraan.
Je kan het ook testen met 1.048.575, deze is 20 keer achter elkaar oneven, maar ook hierna komen er weer even getallen

[Regor]

@WillemB,

Dank U,
Verbazend dat oneven getallen van de vorm (4n+3) zoveel keer na elkaar konden voorkomen.
(Had mij maar beperkt tot een paar eenvoudige C rijen).
De onvoorspelbaarheid is blijkbaar DE uitdaging!

Temeer dat ik vermoed dat een oneven getal uit eender welke groep oneven getallen (meerdere keren deelbaar door 2) ....kan leiden tot een oneven getal van de vorm (4k+3)

[WillemB]

Ik probeer het volgende, geef maar aan wat nog niet goed bewezen is,

Stel er is een Collatz reeks die niet naar 1 gaat. (Het stop getal = 1.)
Stel er is geen Collatz reeks waarin oneindig oneven voorkomt
Stel in elke Collatz reeks komt regelmatig even en oneven voor, en/of clusters van even en oneven.

Gevolg, deze reeks zal dan oneindig doorlopen.
Gevolg, lim \( \mathcal{D} \) => ∞

Als \( \mathcal{D} \) => ∞ zal de willem-breuk <1 worden.
Dit is in tegenspraak met het uitgangspunt dat de reeks niet naar 1 kan gaan.

Dus de stelling dat er een Collatz reeks bestaat, die niet naar 1 gaat is onjuist.

[Professor Puntje]

We zien dat voor een verkorte Collatz-rij die geheel uit oneven getallen bestaat x+1 in elk geval voor alle n deelbaar moet zijn door 2ⁿ, hetgeen voor eindige x onmogelijk is. Dus bestaan er geen legitieme verkorte Collatz-rijen met enkel oneven termen.

Hieruit volgt nog iets meer:

Iedere met een oneven startterm beginnende verkorte Collatz-rij heeft minstens één even term. Maar een met een even startterm beginnende verkorte Collatz-rij heeft automatisch minstens één even term. Dus iedere verkorte Collatz-rij (of die nu met een oneven of een even startterm begint) heeft minstens één even term.

[Professor Puntje]

En klopt dit ook nog?

Iedere verkorte Collatz-rij heeft minstens één even term, noem zo'n term t₁ en noem de op t₁ volgende term v₁. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₁ weer minstens één even term. Noem zo'n term t₂ en noem de op t₂ volgende term v₂. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₂ weer minstens één even term. Noem zo'n term t₃ en noem de op t₃ volgende term v₃. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₃ weer minstens één even term. Ad infinitum. Dus iedere verkorte Collatz-rij heeft oneindig veel even termen.

[Regor]

Ok, U beschouwd het getal 1 niet als het begin van een lus ..... omdat U per definitie 1 neemt als stopgetal, maar het is wel degelijk een lus.
Bijgevolg zou men het vermoeden van Collatz kunnen omschrijven als een "oneindige rij", repeterend in een lus 1/4/2/1.... en waarschijnlijk de enige rij !
Maar C zou ook een lus kunnen maken bij een ander oneven getal, en repeterend oneindig lang worden, en dat moet nog bewezen worden denk ik..... (zoals (3n-1) repeterend wordt voor ondermeer 5 en voor 7)

Dus kan U volgens mij niet besluiten met "Dus de stelling dat er een Collatz reeks bestaat, die niet naar 1 gaat is onjuist."

[Regor]

@PP,

Ik denk dat dat idd. klopt want de C rij is oneindig.
Kunstmatig laat men hem stoppen bij de eerste maal 1 (stopgetal).

[Professor Puntje]

Het laten stoppen van de rij introduceert onnodige moeilijkheden in de bewijsvoering, het Collatz-vermoeden is op zich al lastig genoeg.

[Regor]

@PP,

Mee eens ..... men moet de C beschouwen als een oneindige rij met een lus bij 1.

[Regor]

Wat ikzelf een belangrijk punt vind is ..... de implicatie van het ogenblik dat de C rij tot een oneven getal leidt, kleiner dan het startgetal.
Men zou daaraan meer belangstelling moeten besteden.... vermoed ik.
Dan is men alvast verlost van de oneindigheid.

[Professor Puntje]

Een verkorte Collatz-rij kan ook niet enkel uit even termen bestaan want dan zou de startterm oneindig vaak door 2 deelbaar moeten zijn.

[WillemB]

Als je de het repeteer (lus) moment bij 1 wil vermijden, kan ik ook het bewijs omzetten, naar
het moment dat de willem-breuk < T₀ oftewel wanneer T_(0,n) < T₀
Dat wordt ook als bewijs geaccepteerd.


Dan kan ik dezelfde bewijs voering toepassen op \( \mathcal{D} \)

Zowel stoppen bij 1 als repeteer moment worden beide gebruikt in de definities.
de meesten stoppen bij 1.

[Professor Puntje]

We vinden ook nog:

Iedere verkorte Collatz-rij heeft minstens één oneven term, noem zo'n term t₁ en noem de op t₁ volgende term v₁. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₁ weer minstens één oneven term. Noem zo'n term t₂ en noem de op t₂ volgende term v₂. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₂ weer minstens één oneven term. Noem zo'n term t₃ en noem de op t₃ volgende term v₃. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₃ weer minstens één oneven term. Ad infinitum. Dus iedere verkorte Collatz-rij heeft oneindig veel oneven termen.