Lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde

[Professor Puntje]

Als je de afgeleide van het rechter lid neemt krijg je toch de integrant...?

[Professor Puntje]

Op deze site kun je de stappen zien waarmee je de integraal oplost: https://www.integral-calculator.com/

Vul in: "1/(sqrt(a^2 + x^2))"

[ukster]

Beide integralen zijn fout!

Integralen 496 keer bekeken

[ukster]

Mmmm.. Mijn uitkomsten zijn dus fout??

Vreemd...het gebeurt niet vaak dat de Maple Integral Tutor dergelijke fouten maakt.

Alhoewel??... Symbolab geeft wel weer mijn gegeven uitkomsten

[Professor Puntje]

Gewoon even differentiëren om te zien of het klopt...

[aadkr]

[wnvl1]

Dat is de oplossing van het tweede stuk van de integraal met de wortel in de noemer. Dat wordt vaak beschouwd als een basisintegraal die je vanbuiten leert, daarmee dat ze ineens de oplossing neerschrijven.

[aadkr]

Sorry Professor Puntje.
Je bericht van 20 april 2025 , 12:39
Als ik je code intik krijg ik een foutmelding.
"Invaled caracter:
Maar ik kan nu de integraal afleiden.
de code moet zijn
1/sqrt(a^2+x^2)

[Professor Puntje]

Heb je het zonder de aanhalingstekens geprobeerd?

[aadkr]

[Professor Puntje]

Eens zien of ik er iets mee kan. Het gaat hierover:

\( (x y^3 + 2x^2y - y^2) \, \mathrm{d}x \, + \, (x^2 y^2 + 2x^3y - 2x^2) \, \mathrm{d}y = 0 \)

En de vraag is allereerst om hiervoor een integrerende factor f(xy) te vinden. We willen dus dat:

\( \frac{\partial}{\partial y} [ f(xy) (x y^3 + 2x^2y - y^2)] = \frac{ \partial }{ \partial x} [ f(xy) (x^2 y^2 + 2x^3y - 2x^2)] \)

\( f'(xy) x (x y^3 + 2x^2y - y^2) + f(xy) (3x y^2 + 2x^2 - 2y) = f'(xy) y (x^2 y^2 + 2x^3y - 2x^2) + f(xy) (2x y^2 + 6x^2y - 4x) \)

\( f'(xy) (x^2 y^3 + 2x^3y - xy^2) + f(xy) (3x y^2 + 2x^2 - 2y) = f'(xy) (x^2 y^3 + 2x^3y^2 - 2x^2y) + f(xy) (2x y^2 + 6x^2y - 4x) \)

\( f'(xy) ((x^2 y^3 + 2x^3y - xy^2) - (x^2 y^3 + 2x^3y^2 - 2x^2y)) + f(xy) ((3x y^2 + 2x^2 - 2y) - (2x y^2 + 6x^2y - 4x) ) = 0 \)

\( f'(xy) (2x^3y - xy^2 - 2x^3y^2 + 2x^2y) + f(xy) (x y^2 + 2x^2 - 2y - 6x^2y + 4x) = 0 \)

Doe ik hier iets verkeerd? Voor welke f heb je dat?

[aadkr]

[Professor Puntje]

Daar zie ik een exponent die er eerst niet was...

[Professor Puntje]

Nu nog eens proberen met de extra exponent:

\( (x y^3 + 2x^2y^2 - y^2) \, \mathrm{d}x \, + \, (x^2 y^2 + 2x^3y - 2x^2) \, \mathrm{d}y = 0 \)

De vraag is opnieuw allereerst om hiervoor een integrerende factor f(xy) te vinden. We willen dus dat:

\( \frac{\partial}{\partial y} [ f(xy) (x y^3 + 2x^2y^2 - y^2)] = \frac{ \partial }{ \partial x} [ f(xy) (x^2 y^2 + 2x^3y - 2x^2)] \)

\( f'(xy) x (x y^3 + 2x^2y^2 - y^2) + f(xy) (3x y^2 + 4x^2y - 2y) = f'(xy) y (x^2 y^2 + 2x^3y - 2x^2) + f(xy) (2x y^2 + 6x^2y - 4x) \)

\( f'(xy) (x^2 y^3 + 2x^3y^2 - xy^2) + f(xy) (3x y^2 + 4x^2y - 2y) = f'(xy) (x^2 y^3 + 2x^3y^2 - 2x^2y) + f(xy) (2x y^2 + 6x^2y - 4x) \)

\( f'(xy) ((x^2 y^3 + 2x^3y^2 - xy^2) - (x^2 y^3 + 2x^3y^2 - 2x^2y)) + f(xy) ((3x y^2 + 4x^2y - 2y) - (2x y^2 + 6x^2y - 4x) ) = 0 \)

\( f'(xy) (- xy^2 + 2x^2y) + f(xy) (x y^2 - 2x^2y - 2y + 4x) = 0 \)

Laat: u = xy & v = 2x-y. Dan:

\( f'(u) u v + f(u) (-u v + 2v) = 0 \)

Riskante stap i.v.m. delen door nul:

\( f'(u) + f(u) (-1 + \frac{2}{u}) = 0 \)

[Professor Puntje]

Probeer:

\( f(u) = e^{g(u)} \)

Zodat:

\( e^{g(u)} g'(u) \, + \, e^{g(u)} (-1 + \frac{2}{u}) = 0 \)

\( g'(u) \, + \, (-1 + \frac{2}{u}) = 0 \)

\( g'(u) = 1 - \frac{2}{u} \)