vectormeetkunde

[aadkr]

Het is mij gelukt.
Hartelijk dank Ukster en Redcat.
aad

[aadkr]

[RedCat]

Dit lijkt me correct.
Wat moet er volgens u veranderd worden?

[aadkr]

[RedCat]

In het kort:
U berekent niet \(E_2^{-1}\) maar \(E_2^{-1}\cdot E_1^{-1}\).
NB: de inverse van elke matrix wordt steeds afgeleid vanuit die individuele matrix.

Uigebreid antwoord:
Elke elementaire rij-operatie \(r\) wordt steeds vertaald door één elementaire matrix \(E\) = de betreffende elementaire rij-operatie toegepast op de eenheidsmatrix \(I\).
Hier werken we 2 dimensionaal, dus \(I = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\)

De transformatie van A naar I gaat in 3 stappen:

(1) \(r_2 \rightarrow r_2+2r_1\) levert
\(E_1=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right]\)
Dit geeft voor E1*A:
\(E_1\cdot A = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 \\ -2 & 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 \\ 0 & -2 \end{array} \right] \)


(2) \(r_2 \rightarrow -\frac{1}{2}r_2\) levert
\(E_2=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right]\)
Dit geeft voor E2*(E1*A):
\(E_2\cdot \left( E_1\cdot A \right) = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\)


(3) \(r_1 \rightarrow r_1 + 3r_2\) levert
\(E_3=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\)
Dit geeft voor E3*(E2*(E1*A)):
\(E_3\cdot \left( E_2 \cdot \left( E_1\cdot A\right) \right) = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I\)


Ofwel (want matrixvermenigvuldiging is associatief):

\(E_3\cdot E_2 \cdot E_1\cdot A = I \)



De inverse van elk van deze drie elementaire matrices kunt u berekenen via:
- inventeren van de betreffende elementaire matrix,
of via
- omzetten van elke inverse operatie naar een matrix.
Bij elk van de bovenstaande elementaire matrices hoort steeds precies één enkele inverse matrix (die bovendien ook weer elementair is).

Ik kom uit op:
\(E_1^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array} \right]\)
\(E_2^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right]\)
\(E_3^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\)


We hebben nu dus:
\(E_3\cdot E_2 \cdot E_1\cdot A = I \)
en de drie inverse elementaire matrices.

Om A uit te drukken in elementaire matrices kunnen we linksvermenigvuldigen met steeds de betreffende inverse:

\(E_3^{-1}\cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E_1 \cdot A = E_3^{-1}\cdot I\)
ofwel
\(E_2 \cdot E_1 \cdot A = E_3^{-1}\)

\(E_2^{-1} \cdot E_2 \cdot E_1 \cdot A = E_2^{-1} \cdot E_3^{-1}\)
ofwel
\(E_1 \cdot A = E_2^{-1} \cdot E_3^{-1}\)

\(E_1^{-1} \cdot E_1 \cdot A = E_1^{-1} \cdot E_2^{-1} \cdot E_3^{-1}\)
ofwel
\(A = E_1^{-1} \cdot E_2^{-1} \cdot E_3^{-1}\)

[aadkr]

RedCat , hartelijk bedankt vooruw uitleg.
Het is me nu duidelijk
hoogachtend
aad