sciencetalk

...Maar toch heb ik zo mijn twijfels. Ik ben geen wiskundige en heb geen tijd om de zaak te bestuderen. Daarom heb ik het antwoord elders gezocht en hoop eerdaags daar antwoord van te krijgen. Ik kom misschien koppig over maar als ik twijfel zoek ik antwoord op die twijfel.

Misschien heb je hier iets aan. Het is maar een paar bladzijden en schetst een model waarin (dx)² verwaarloosd mag worden. Pas op dat dit niet de gewone reële getallen zijn (daarin geldt voor alle x ≠ 0 dat x² ≠ 0).

http://publish.uwo.ca/~jbell/invitation%20to%20SIA.pdf

Bartjes antwoord ziet er niet slecht uit, maar is voor mij nogal een grote koek om te verorberen. Ik heb bij een andere instantie antwoord gezocht en kreeg dit als antwoord.

Bartjes antwoord ziet er niet slecht uit, maar is voor mij nogal een grote koek om te verorberen. Ik heb bij een andere instantie antwoord gezocht en kreeg dit als antwoord.

Het antwoord dat je gekregen hebt is min of meer de manier waarop natuurkundigen en technici tegen die zaak aankijken. Zo ben ik dat in mijn elektrotechnische en natuurkunde-studie zelf ook tegen gekomen. Omdat ik die benadering niet bevredigend vond, heb ik mij er verder in verdiept. Het blijkt dan dat men er honderden jaren over heeft gedaan om de zaak logisch sluitend te krijgen. Er is bovendien niet één juiste oplossing, maar er zijn meerdere manieren om "netjes" met infinitesimalen te rekenen.

Ik zou er niet te veel op vertrouwen; "dy/dx = ... niets meer dan lim_{e -> 0} f(x+e)/f(x) = ... "?!

Ik zou er niet te veel op vertrouwen; "dy/dx = ... niets meer dan lim_{e -> 0} f(x+e)/f(x) = ... "?!

Schrijffout moet lim_{e->0} (f(x+e)-f(x))/e zijn.

Ik vermoed het ook, maar ik hoop het vooral want wat er staat is onzin.

@Bartjes

In jouw link wordt er in het begin gepostuleerd dat iedere functie affien is d.w.z. dat ze bestaat uit kleine stukjes rechte volgens de raaklijn, die alleen getransleerd en geroteerd kunnen worden (ik denk dat ik dit goed begrepen heb). Daar heb ik wel moeilijkheden mee. Voor mij is een functie een verzameling punten.

kotje schreef:@Bartjes

In jouw link wordt er in het begin gepostuleerd dat iedere functie affien is d.w.z. dat ze bestaat uit kleine stukjes rechte volgens de raaklijn, die alleen getransleerd en geroteerd kunnen worden (ik denk dat ik dit goed begrepen heb). Daar heb ik wel moeilijkheden mee. Voor mij is een functie een verzameling punten.

Je kan infinitesimalen op een wiskundig deugdelijke manier definiëren, maar dat gaat niet binnen het gebruikelijke systeem van de reële getallen. Voor de gewone reële getallen geldt het zogeheten axioma van Archimedes:

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_Archimedes

Alle "reële" systemen die infinitesimalen bevatten wijken dus op de een of andere manier af van de gebruikelijke reële getallen. Dat moet zo zijn omdat de gebruikelijke reële getallen op grond van het axioma van Archimedes geen infinitesimalen (behalve 0) bevatten. De systemen met infinitesimalen hebben dan ook noodzakelijkerwijs allemaal in het een of andere opzicht wel iets excentrieks. Zolang de zaak logisch maar goed in elkaar steekt, geeft dat niets.

De uitleg die je m.b.t. (dx)² hebt gekregen, komt volgens mij hier op neer:

Laat e een zeer klein getal ongelijk aan 0 zijn. En laat y = f(x) een functie van x zijn. De e-differentiaal d_ey van y is dan een functie van x en van e, met het functievoorschrift:

d_ey = f(x+e) - f(x).

Voor d_ey/d_ex vinden we dan:

d_ey/d_ex = (f(x+e) - f(x))/((x+e) - x)

d_ey/d_ex = (f(x+e) - f(x))/e

Voor e nadert tot 0 krijgen we het gewone differentiaalquotiënt (als dat bestaat).

Stel nu eens dat je voor een zekere y = f(x) hebt dat:

d_ey = g(x).e + h(x,e)
Dan geldt:
Hadden we de term h(x,e) in d_ey al eerder verwaarloosd en pas daarna de limiet van d_ey/d_ex voor e nadert tot 0 genomen, dan hadden we natuurlijk ook de uitkomst g(x) gekregen. Dus als je sowieso van plan bent d_ey door d_ex te delen en er de limiet voor e nadert tot 0 van te nemen, kan je je de fout van het verwaarlozen van h(x,e) permitteren omdat deze door de daaropvolgende bewerkingen weer teniet wordt gedaan. Strikt logisch gesproken deugt dat natuurlijk niet. De juistheid van een afleiding hoort op elk punt onderweg te berusten op de voorafgaande bewerkingen en stellingen, en niet op de erop volgende. Hier zie je dus weer het verschil tussen de zuivere wiskunde en de natuurkunde en techniek.

Zoals al gezegd, als je op enigszins fatsoenlijke manier over dit soort "infinitesimalen" wilt spreken, moet je je je verdiepen in de niet-standaard analyse. Daarvoor moet je wel enige kennis van (wiskundige) logica hebben.

Als je daar geen zin in hebt, dat kan, maar dan kom je niet veel verder dan er op intuïtieve en niet-precieze wijze over praten. En dat heeft weinig met wiskunde te maken.

Phys schreef:Zoals al gezegd, als je op enigszins fatsoenlijke manier over dit soort "infinitesimalen" wilt spreken, moet je je je verdiepen in de niet-standaard analyse. Daarvoor moet je wel enige kennis van (wiskundige) logica hebben.

Als je daar geen zin in hebt, dat kan, maar dan kom je niet veel verder dan er op intuïtieve en niet-precieze wijze over praten. En dat heeft weinig met wiskunde te maken.

Er zijn nog wel andere varianten die minder zwaar op de wiskundige logica steunen. Zoals bijvoorbeeld de omega-analyse van Schmieden en Laugwitz. Maar inderdaad, zonder grondige studie kom je niet veel verder dan welwillende (maar eigenlijk wiskundig onverantwoorde) spielerei.