Delen door nul

[venra]

(x,X) + (y,Y) = (x+y,X+Y)

(x,X) . (y,Y) = (x.y,X.Y)

Je doet eigenlijk niks vernieuwends.

Wat jij doet is gewoon de functie's meenemen in de rugzak van dat getal.

Daarbij maak je het moeilijker dan nodig.

Stel ik heb een functie (de x'en en y'en komen niet overeen met de jouwe):

y = 2*(5x - 5)

Stel nu ik wil y weten voor x=1, dan zou jij noteren:

[0; 2*(5*1 - 5)] of [0; 2*(5-5)] of [0; 2*0] geen idee



Volstaat de functie op zich dan niet gewoon?

Jij wil extra informatie in een rugzakje stoppen, maar die informatie staat volledig beschreven in die functie zelf.

Want ja, als je de informatie wil bewaren is het toch de bedoeling om er verder mee te rekenen?

En waarmee kan dat beter dan met de vergelijking?

[Bartjes]

Jij wil extra informatie in een rugzakje stoppen, maar die informatie staat volledig beschreven in die functie zelf.

Want ja, als je de informatie wil bewaren is het toch de bedoeling om er verder mee te rekenen?

En waarmee kan dat beter dan met de vergelijking?

Dat is inderdaad de bedoeling. Dat wil zeggen: ik wil niet de functie in het rugzakje stoppen, maar wel de berekening van de functiewaarde. Zolang alles op rolletjes loopt is dat onzinnig, want dan is het alleen de uitkomst die we zoeken (en de precieze berekening is vervolgens niet meer interessant). Maar als er onverhoopt een deling van nul door nul optreedt, kan je met mijn "getallen" en het pseudo-quotiënt vaak toch nog een eenduidige uitkomst vinden. Als je de berekening van die uitkomst (of de functie zoals je het noemt) na het vinden van de uitkomst weggooit, kan dat niet meer. Wat de met het pseudo-quotiënt gevonden waarde vervolgens te betekenen heeft is weer een ander verhaal...

[317070]

Mij lijkt dit bijvoorbeeld vanuit informatica-oogpunt een stuk interessanter dan de klassieke limietbenadering. Ik zou op het eerste gezicht denken (en via wat ik er al in eerdere topics van Bartjes over gelezen heb) dat die vorm van getalstructuur veel eenvoudiger te verwerken is met informatica, dan een volledige symbolische algebra-systeem te moeten opzetten.

Dat lijkt mij bijvoorbeeld een praktisch nut van het systeem, t.o.v. het oude systeem (naast dat ik het, zoals ik eerder al meldde, een stuk intuïtiever vind dan limieten)

Ik ben dus benieuwd

[venra]

Ik denk dat je het nutteloze er toch nog niet helemaal van in ziet (of ik het nuttige )

Misschien helpt het als je een concreet voorbeeld kan geven.

Edit @317070 (want je had intussen gereageerd )

Maar zie je dan niet dat in de 'rugzak' de vergelijking gewoon staat?

Als je hier wegkomt zonder limieten, dan zal je ze op de klassieke manier ook niet nodig hebben.

En omgekeerd als je op de klassieke manier limieten nodig hebt, dan doe je hier helemaal geen voordeel mee.

Het is gewoon moeilijker noteren dan nodig.

Waar wij zeggen y = f(x) voor x=x1

Zegt bartjes [y, f(x1)]

Bartjes wil de rugzakken invoeren om geen informatie te verliezen, maar vult dan wel de functie in en vergeet deze dan maar.

Ik verkies er dan toch voor om net de functie en de x1 te onthouden, liever dan het resultaat en de rekensom die dit resultaat geeft

[Bartjes]

@ venra

De berekening van de functiewaarde is voor mijn idee essentieel. Een functie ken je geheel en al wanneer je voor alle waarden van de onafhankelijke variabele(n) de waarde van de afhankelijke variabele weet. Maar dat is niet genoeg om mijn idee te kunnen toepassen. Je moet ook in de berekening van de functiewaarde kunnen terugzoeken hoe de uitkomst nul is ontstaan. Anders heb je alleen maar een "naakte" nul waar verder niets aan te zien is, en die ook niet met een andere nul (naakt of met rugzakje ) kan worden vergeleken.

[Bartjes]

Mij lijkt dit bijvoorbeeld vanuit informatica-oogpunt een stuk interessanter dan de klassieke limietbenadering. Ik zou op het eerste gezicht denken (en via wat ik er al in eerdere topics van Bartjes over gelezen heb) dat die vorm van getalstructuur veel eenvoudiger te verwerken is met informatica, dan een volledige symbolische algebra-systeem te moeten opzetten.

Dat zou goed kunnen zijn. Computertalen hebben ook het grote voordeel dat de toegestane formele uitdrukkingen al precies omschreven zijn.

Dat lijkt mij bijvoorbeeld een praktisch nut van het systeem, t.o.v. het oude systeem (naast dat ik het, zoals ik eerder al meldde, een stuk intuïtiever vind dan limieten)

Ik ben dus benieuwd

Het is ook een kwestie van keuzes maken. Wat vinden wij zelf "aannemelijke" uitkomsten voor het pseudo-quotiënt "//". Deze waarden kunnen we gewoon als uitkomst definiëren. Om te beginnen zou ik zeggen:

( 0 ; (0).(a) ) // ( 0 ; (0).(b) ) = ( a/b ; ((0).(a)) // ((0).(b)) ) voor a,b 0.

[Bartjes]

Stel ik heb een functie (de x'en en y'en komen niet overeen met de jouwe):

y = 2*(5x - 5)

Stel nu ik wil y weten voor x=1, dan zou jij noteren:

[0; 2*(5*1 - 5)] of [0; 2*(5-5)] of [0; 2*0] geen idee

Dit vereenvoudigen van X in (x,X) is heel gevaarlijk! Immers:

2.(5.1 - 5) = 2.(5 - 5) = 2.0

2.(5.1 - 5) = 2.(5.1 - 5.1) = 2.5.(1 - 1) = 2.5.0

2.(5.1 - 5) = 2.(5.1 - 5.1) = 2.5.1 - 2.5.1 = 10 - 10 = 0

Etc.

Op die manier wordt het volstrekt onduidelijk wat een aannemelijke waarde voor

( 0 ; (2) . ( ((5).(1)) + (-5) ) ) // (0;0)

moet worden.

Het is daarom - zeker in eerste instantie - het beste de berekening waarvan x het resultaat is geheel in de formele uitdrukking X te "bevriezen".

Dit voorkomt ook een probleem waar ik een aantal jaren geleden al mee worstelde. In het geval van a-a is het niet zo moeilijk:

a - a = a.(1 - 1) = a.0 .

Dus kiezen we als voor de hand liggende definitie:

(0 ; (a) + (-a)) // (0 ; (b) + (-b)) = ( a/b ; ((a) + (-a)) // ((b) + (-b)) ) voor a,b 0 .

Maar wat doen we met zoiets: 1 + 2 - 3 ? Je zou kunnen schrijven:

1 + 2 - 3 = (1 + 2) - 3 = 3 - 3 = 3.(1 - 1) = 3.0

of

1 + 2 - 3 = 1 + (2 - 3) = 1 - 1 = 1.(1 - 1) = 1.0

Door consequent de haakjes in X te schrijven zodanig dat de volgorde van de bewerkingen volstrekt vast ligt, kunnen zulke dubbelzinnigheden worden voorkomen.

[Math-E-Mad-X]

Het probleem is dat je zulke grote (en onoverzichtelijke) uitdrukkingen gaat krijgen dat het hele idee van 'berekeningen maken' zinloos wordt.

Het doel van een berekening is nou juist dat je de uitdrukking versimpelt zodat je er makkelijker mee kan werken. Zo is het bijvoorbeeld makkelijker om de uitdrukking 1 + 2 - 3 te vervangen door de veel simpelere uitdrukking 0. Een onoverkomelijk nadeel daarvan is dat je altijd informatie weggooit (het doen van een berekening is eigenlijk in essentie niets anders dan informatie weggooien!).

Het lijkt erop dat jij zoveel informatie wil behouden, dat er nauwelijks nog sprake is van een berekening, maar eerder slechts een verandering van notatie.

[Bartjes]

@ Math-E-Mad-X

Het wordt mij inderdaad gaandeweg duidelijk dat dit systeem voor mensen onwerkbaar is.

Maar dat hoeft geen fatale fout te zijn. In dit computertijdperk is daar wel een mouw aan te passen. En daar ligt ook een denkbare toepassing, namelijk om vastlopers bij 0/0 op te vangen.

Wat denk je - is het idee daarvoor sluitend te maken?

[Bartjes]

Het lijkt erop dat jij zoveel informatie wil behouden, dat er nauwelijks nog sprake is van een berekening, maar eerder slechts een verandering van notatie.

Bij de uiteindelijke uitkomst (waar niet verder meer aan gerekend hoeft te worden) kan je het rugzakje weggooien. Er is dus wel degelijk sprake van een berekening.

Nog weer een stapje verder:

Wat doen we hiermee?

\( \frac{a.0 + b.0}{c.0} \)

voor a,b,c, 0 .

Omdat a en b een zelfde rol spelen ligt het voor de hand ze even zwaar te wegen. Dus:

\( \frac{a.0 + b.0}{c.0} = \frac{\frac{1}{2}(a+b).0}{c.0} \)

.

En dat weer omgezet naar de (x,X) notatie.

[Math-E-Mad-X]

En daar ligt ook een denkbare toepassing, namelijk om vastlopers bij 0/0 op te vangen.

Vanuit theoretisch oogpunt vind ik dit best een interessant onderwerp (en moet je er ook zeker verder mee gaan!), maar praktisch gezien geloof ik niet dat dit veel op gaat leveren. Het feit dat 0/0 normaal gesproken niet gedefinieerd is heeft een goede reden.

Als je de berekening 0/0 tegenkomt terwijl je weet dat er wel een zinnige waarde aan toegekend moet worden en kan worden, dan wil dat in feite gewoon zeggen dat je de verkeerde berekening gebruikt hebt. Het moet in die situatie in principe altijd mogelijk zijn je formules anders te kiezen zodanig dat je de 0/0 vermijdt.

Bijvoorbeeld: in plaats van de formule

\(y = \frac{x^2}{x}\)

had je gewoon de formule

\(y = x\)

moeten gebruiken.

De oplossing die jij kiest is dus eigenlijk een hele lelijke oplossing voor een probleem dat veel eleganter opgelost had kunnen (en had moeten) worden. Het zou alleen zinnig zijn in de situatie dat je eigenlijk niet weet wat je aan het doen bent.

[Math-E-Mad-X]

Bij de uiteindelijke uitkomst (waar niet verder meer aan gerekend hoeft te worden) kan je het rugzakje weggooien. Er is dus wel degelijk sprake van een berekening.

Ik denk dat je beter gewoon eerst een algebraïsche oplossing kan zoeken (wat je eventueel ook door de computer kunt laten doen, met een beetje AI) die de formules vereenvoudigt zodanig dat je 0/0 vermijdt en dan de nul invullen. Dat komt eigenlijk op hetzelfde neer als wat jij aan het doen bent, alleen dan met bestaande notatie.

[Bartjes]

Ik denk dat je beter gewoon eerst een algebraïsche oplossing kan zoeken (wat je eventueel ook door de computer kunt laten doen, met een beetje AI) die de formules vereenvoudigt zodanig dat je 0/0 vermijdt en dan de nul invullen. Dat komt eigenlijk op hetzelfde neer als wat jij aan het doen bent, alleen dan met bestaande notatie.

Als je zou kunnen aantonen dat een dergelijke vereenvoudiging steeds mogelijk is, zou dat inderdaad de voorkeur verdienen. Dat zou voor mij een goede reden zijn om ermee te stoppen.

[Math-E-Mad-X]

Als je zou kunnen aantonen dat een dergelijke vereenvoudiging steeds mogelijk is, zou dat inderdaad de voorkeur verdienen. Dat zou voor mij een goede reden zijn om ermee te stoppen.

Ik denk niet dat zo'n vereenvoudiging altijd mogelijk is (anders hadden we limieten nooit uit hoeven vinden). Ik denk alleen dat in alle situaties waarin jouw methode werkt, het simpeler is om gewoon de algebraïsche methode te kiezen.

Zolang de formules niets anders doen dan optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, is jouw methode waarschijnlijk nog wel overzichtelijk te doen, maar kunnen we het probleem ook algebraïsch oplossen.

Zodra we logaritmes, sinussen en weet ik veel wat voor bewerkingen meer gaan gebruiken, dan is er vaak geen algebraïsche vereenvoudiging mogelijk en dus zijn we (tot nu toe) aangewezen op het gebruik van limieten. In dat geval zou jouw methode misschien best een oplossing kunnen bieden, maar ik zie totaal niet in hoe je dat zou willen doen. Je notatie is nu al erg onoverzichtelijk, dus ben benieuwd hoe dat gaat worden met sinussen en logaritmen.

Desondanks wil ik je vooral niet ontmoedigen om verder te gaan! Ookal zal het praktisch niet zo heel bruikbaar zijn, ik denk dat het wel tot nieuwe inzichten (bij jezelf, over de problemen die komen kijken bij het delen door nul) kan leiden. Ook kan het heel interessant zijn om te zien hoe ver je in elk geval wel kunt komen.

[Bartjes]

Zodra we logaritmes, sinussen en weet ik veel wat voor bewerkingen meer gaan gebruiken, dan is er vaak geen algebraïsche vereenvoudiging mogelijk en dus zijn we (tot nu toe) aangewezen op het gebruik van limieten. In dat geval zou jouw methode misschien best een oplossing kunnen bieden, maar ik zie totaal niet in hoe je dat zou willen doen. Je notatie is nu al erg onoverzichtelijk, dus ben benieuwd hoe dat gaat worden met sinussen en logaritmen.

Is hiermee iets mogelijk?

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_prod...ns_of_functions

Ik ben zelf niet thuis in de complexe functietheorie. Dus alle hulp is welkom.

Om te beginnen is het de vraag of we zo een functie f met f(a) = 0 op een aannemelijke manier kunnen omschrijven tot:

f(a) = g(a).0 .

(Ik weet wel dat bovenstaande voor alle reële waarden van g(a) geldt, maar het gaat om een intuïtief aansprekende waarde waarmee onze theorie mogelijk verder komt.)