De atmosfeer analogie van Jan is een perfecte uitleg, maar voor degenen die wiskunde prefereren:
Wet van Gauss, voor de eenvoud zonder zonder de constantes en voor een inhomogene aarde (dichtheid enkel afhankelijk van de afstand tot het middelpunt, geen hoekafhankelijkheid):
\(g( r )\sim\frac{M_{in}( r )}{A( r )}\)
waarbij
\(M_{in}( r )\)
de massa ingesloten is door een schil met straal r, en A( r ) de oppervlakte van die schil.
\(A( r )=4\pi r^2\)
\(M_{in}( r )=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^r \rho( r )r^2\sin(\theta) drd\theta d\phi\)
Gebruik makende van de homogeniteit in de radiële richtingen:
\(M_{in}( r )=4\pi\int_0^r \rho( r )r^2dr\)
\(g( r )\sim\frac{\int_0^r\rho( r )r^2dr}{r^2}\)
Voor een homogene aarde (
\(\rho( r )=cte\)
) geeft dit de welgekende formule:
\(g( r )\sim r\)
Maar als je nu een
\(\rho( r )\)
neemt die sneller afneemt dan 1/r (op een bepaald interval eventueel), dan neemt de noemer (~r²) sneller toe dan de teller (
\(\sim r^k\)
, waarbij k<2). En kan g dus wel degelijk dalen.
Of een model met een stapsgewijze
\(\rho( r )\)
(zware kern, lichtere mantel):
\(g( r )\sim\frac{\int_0^{r_1} \rho_1r^2dr+\int _{r_1}^r \rho_2r^2dr}{r^2}\)
\(g( r )~\sim\frac{\rho_1 r_1^3+\rho_2r^3-\rho_2r_1^3}{r^2}=\rho_2r+\frac{(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^2}\)
De tweede bijdrage is positief, aangezien
\(\rho_1>\rho_2\)
, maar die bijdrage neemt wel af bij toenemende r.
Als nu de toename van
\(\rho_2r\)
kleiner is dan de afname van
\(\frac{(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^2}\)
, dan neemt g ook weer af. De voorwaarde hierop zal te vinden zijn door de differentiaal naar r van beide termen te nemen en met elkaar te vergelijken.
Toename eerste term=
\(\rho_2dr\)
afname tweede term=
\(\frac{2(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^3}dr\)
De voorwaarde voor afnemende g is:
\(\frac{2(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^3}>\rho_2\)
of
\(r_1<r<\sqrt[3]{\frac{2(\rho_1-\rho_2)}{\rho_2}}r_1\)
Nu moet je enkel nog de dichtheden zodanig kiezen dat die derdemachtswortel groter is dan 1.
)