Kortste weg in een gekromde ruimte

[tempelier]

Dat is de reden waarom ik euclidisch tussen aanhalingstekens zette, je kan zulke lijnen niet trekken in een gekromde ruimte; iedere poging dat wel te doen zal leiden tot een langere weg.

Er bestaan weldegelijk gekromden ruimten waarin geodeten voor komen die rechten zijn.

[aestu]

de metriek is een tensorveld en transformeert dus onder een verandering van kaart.

\(g(x) = g_{\mu \nu} (x) dx^{\mu} \otimes dx^{\nu} \)

Onder een verandering van kaart gaat:

\(dx^{\nu} = \left( \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{' \alpha}}\right) dx^{' \alpha} \)

De coordinaatfuncties

\( x^{\mu}\)

kunnen staan voor (t,x,y,z) of (t,r,

\(\theta\)

,

\(\phi\)

) of welk ander coordinatenstelsel dan ook.

De infinitesimale afstand tussen 2 ruimtetijdspunten wordt beschreven in het lijnelement

\(ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}\)

[Paul_1968]

Ik heb me even uit het veld laten slaan door die wiskunde, maar sta weer op beide benen.

Ik heb wiskunde altijd erg mooi gevonden, maar ik zie het hier nog niet echt als een antwoord op een vraag.

Misschien mis ik wat over waarom je de metriek hierbij betrekt.

En ik vermoed dat je met de infinitesimale afstand iets wilt aantonen m.b.t. de mogelijkheid of een geodeet een rechte lijn in de ruimte kan zijn, maar ik begrijp die stap niet.

Volgens mijn logica is de kortste weg van een lichtstraal (of foton) die loodrecht naar de aarde is gericht door de ruimte of ruimtetijd (in deze context is er geen verschil tussen de twee, denk ik) exact dezelfde baan als de baan die een vallend voorwerp zou beschrijven, namelijk : de baan loodrecht op de aarde.

Het enige verschil dat de lichtstraal of het voorwerp volgens mij ondergaat is de valversnelling.

(En die zou je kunnen interpreteren als een kromming van de ruimte(tijd) over een rechte lijn)

Dat is mijn punt van deze topic.

[Moab]

Paul,

het is heel erg moeilijk om je een voorstelling te maken van een 4 dimensionaal (en zelfs van een 3 dimensionaal) gekromde ruimte.

Om toch wat inzicht te verwerven moet je daarom terugvallen op een twee dimensionaal gekromde ruimte.

een voorstelling in 2 D maakt het er niet eenvoudiger op.

het traject van een knikker op een gekromde oppervlakte

hier of in gewichtloosheid zal niet hetzelfde zijn .

zonder g zal een object niet de krommingen (putjes) volgen (2D)

zonder een externe kracht zal een objekt rechtdoor blijven gaan .

het is en blijft moeilijk voorstelbaar hoe een kromming een kracht kan zijn

[jkien]

Het is me niet helemaal duidelijk of de baan van de aarde om de zon een geodeet is. Ik heb de indruk dat het woord geodeet een toevoeging behoeft, maar welke? Kun je bijvoorbeeld zeggen dat het geen geodeet van de ruimte is, maar wel een geodeet van de ruimtetijd?

[eendavid]

@ jkien: Dat klopt. De baan die een deeltje aflegt is deze van een geodeet in de ruimtetijd. Het gaat hem dus niet om de kortste afstand tussen twee posities, maar om de maximale 'afstand' tussen twee gebeurtenissen. Met deze afstand wordt dan de eigentijd bedoeld, d.w.z. de tijd zoals gemeten door een klok op deze baan. Dat veroorzaakt soms verwarring.

Bijvoorbeeld, de aarde volgt een cirkel rond de zon, en komt volgend jaar dus op 'dezelfde' positie als dit jaar. Het is in woorden moeilijk te begrijpen dat dit een geodeet is.

• Je zou kunnen denken dat het kortste pad van onze positie nu (gebeurtenis A), naar dezelfde positie volgend jaar (gebeurtenis B), gewoon is om te blijven stilstaan. Dat is niet correct. Of toch niet in de ruimtetijd-geodeet betekenis die we met "het kortste pad" proberen te beschrijven.
• Zoals je weet bestaat er zoiets als gravitationele tijdsdilatatie: hoe dichter je bij de zon bent, hoe minder eigentijd er zal verlopen (een stilstaande klok dicht bij aarde tikt trager dan een stilstaande klok ver van de aarde). Dus je kan proberen je eigentijd te maximaliseren door van de zon weg te bewegen. Maar zoiets komt aan een prijskaartje: de snelheid die je ontwikkelt om je te verplaatsen zorgt voor een daling van je eigentijd. Dus er is een compromis: het pad met de maximale eigentijd gaat radiaal weg van de zon, en versnelt terug richting de zon om een jaar later op deze positie toe te komen. Dit is nog steeds niet het circulaire pad dat we zoeken, maar het is wel degelijk een geodeet (en ook klassieke een baan van een deeltje in het gravitationeel veld van de zon). En het is wel degelijke het pad met de maximale eigentijd. Bizar? In tegenspraak met de bewering dat de aarde een geodeet volgt?
• Eigenlijk niet. Er bestaan in een gekromde ruimte meerdere geodeten tussen twee gebeurtenissen. Je kent dit fenomeen al van lichtstraal. Een lichtstraal volgt steeds het kortste pad tussen twee punten (een ruimte-geodeet). Maar wanneer er een spiegel is, zijn er twee paden die een lichtstraal tussen 2 punten kan nemen: (1) het rechte pad, en (2) een gereflecteerd pad. De reden is dat een geodeet een lokaal minimum (in feite extremem) zoekt in plaats van een globaal, en het antwoord is dus niet steeds uniek. Om het exacte pad te weten dat een deeltje of een lichtstraal volgt moet je het probleem stellen als een beginvoorwaardenprobleem (de baan zoeken, gegeven de initiële positie en snelheid). In dat geval heb je een uniek antwoord.
• Wanneer je dit doet, en de wiskunde volgt, dan zal je vinden dat de ellipsen die we kennen van de klassieke mechanica, in zeer goede benadering geodeten zijn. Waarom dezen een lokaal extremum vormen is moeilijk intuïtief in te zien, zoals je dat bij het globale maximum wel kan. Maar anderzijds, dat ellipsen de oplossingen zijn van het tweelichamenprobleem is nu ook niet iets dat ik aan de familietafel uitgelegd krijg.

[jkien]

Dus de planeetbaan om de zon is op te vatten als een ruimtetijdgeodeet, met name een extremum van de eigentijd. Voor een langzame (v<<c) planeet is de tijdsdilatatie alleen afkomstig van de gravitatie. Intuitief zie ik uit dat criterium inderdaad geen cirkelbaan (of ellips) voortkomen, en de wiskundige berekening doorzie ik nu ook niet (al in het begin, wat is de Schwarzschild metriek), maar dat was te verwachten.

Maar ik zit ook nog wat te denken over de onbruikbaarheid van de 'ruimtegeodeet'.

Het prototype van de ruimtegeodeet (een extremum van de reisafstand tussen 2 punten) is de grootcirkel op een bol. Massaloze deeltjes (fotonen) en massadeeltjes (planeten) in de 2 dimensionale ruimte van het boloppervlak volgen allemaal een grootcirkel.

Op een grillige aardappel is de vorm van de ruimtegeodeten ingewikkelder. Massaloze deeltjes (fotonen) volgen een ruimtegeodeet. Maar massadeeltjes (planeten) niet, die volgen een ander pad, geen ruimtegeodeet.

[eendavid]

Massaloze deeltjes (fotonen) volgen een ruimtegeodeet. Maar massadeeltjes (planeten) niet, die volgen een ander pad, geen ruimtegeodeet.

Dit is niet correct.Een ruimtegeodeet komt niet voor in algemene relativiteit: het is echt de ruimtetijd die fundamenteel is.

Een ruimtegeodeet heeft zelfs geen betekenis zonder een vooraf gedefinieerde 'ruimte' uit te snijden. Je kan dat doen, en dan bekijken of de ruimtetijdgeodeet geprojecteerd op deze ruimte een ruimtegeodeet is. Of dit zo is, hangt enkel af van hoe je projecteert (langs een vooraf gekozen tijdachtig pad dus). Dit draagt niet bij aan een beter begrip.

[jkien]

Dit is niet correct.Een ruimtegeodeet komt niet voor in algemene relativiteit: het is echt de ruimtetijd die fundamenteel is.

Ok. Dan heb ik modellen zoals deze hyperbolische gravitatieput waarin een ellipsachtige baanbeweging ontstaat (en deze dubbele put, ooit genoemd in [post_id=915997]1[/post]) verkeerd geinterpreteerd. Ik veronderstelde dat de baan tevens een ruimtegeodeet was (zoals een grootcirkel op een bol), en dat dat een soort projectie was van de ruimtetijdgeodeet.

[eendavid]

Het is niet zo dat dit ruimtegeodeten zijn. Stel bijvoorbeeld dat je een deeltje zodanig beperkt dat het enkel op een sfeer kan bewegen (en je plaatst deze sfeer in het aardse gravitatieveld). Dan zijn zeker niet alle geodeten een toegelaten baan van het deeltje (bijvoorbeeld de horizontale grootcirkel is dat duidelijk niet). En andersom zijn er duidelijk toegelaten banen die geen geodeten zijn.

Nog anders gezegd: als ik je een startpunt x0 en een startrichting (dwz een eenheidsvector rakend aan de sfeer) geef, dan ligt de ruimtegeodeet volledig vast. De baan van het deeltje daarentegen is afhankelijk van het startpunt x0 en de startsnelheid v0 (dwz de grootte van de vector is relevant). Het concept van een ruimtegeodeet en dat van een afgelegde baan zijn dus ook kwalitatief zeer verschillend.

[Paul_1968]

Dankjewel allemaal voor deze ingewikkelde bijdragen.

Ik lees nu pas jullie bijdragen van Januari en het boeit me nog steeds.