Puzzel Kansberedeneren met Deuren.

[Rogier]

Hier maak je de eerste denkfout: De quizmaster weet achter welke deur de auto zit (bijvoorbeeld 43). Maar jij als kandidaat weet dat de auto OF achter deur 43, OF achter deur 68 zit. Gelijke kans dus.

Goed, nogmaals:

Serieus, ik vroeg het eerst als grap maar geloof je werkelijk dat het zelfs in de situatie met 100 deuren niet uitmaakt of je wisselt of niet? Denk je dat als er bijvoorbeeld duizend kandidaten meedoen aan dit spelletje, en 500 wisselen er van deur en 500 blijven bij hun eerste keuze, dat er dan in beide groepen ongeveer evenveel met een nieuwe auto huiswaarts zullen keren?

Je hoeft niet te rekenen, kun je daar eens intuïtief je antwoord op geven?

Hier maak je de tweede denkfout: wat heb je eraan dat je weet dat de quizmaster de deuren op een speciale manier selecteert?

Laat ik het zo zeggen: ben je het met me eens dat

- als jij eerst één deur uit 100 kiest, je een kans van 1% hebt dat je goed gokt?

- en dat daarom de kans 99% is dat de prijs in één van de andere deuren zit?

- en als de quizmaster dan 98 andere deuren opent (waarvan ie weet dat ze leeg zijn), dat dan de kans 99% is dat hij een deur met een prijs overlaat?

Denkfout nummer drie: je hebt inderdaad 2 mogelijkheden, maar die zijn in tegenstelling tot de 2-deuren-vraagstelling niet aan elkaar gelijk.

Mijn denkfout dan ook!

Ik zeg niet dat je 50% kans hebt, ik vroeg of jij dat dacht, omdat je het verschil bij die deuren ook niet ziet

Wat is het essentiële verschil tussen:  

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt?"  

of  

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg"  

of  

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg, kijk maar" en opent één deur

Je begrijpt de vraagstelling van de quizmaster niet: je hebt het nu telkens over de vraagstelling waarbij de kandidaat twee deuren mag kiezen. Maar de vraagstelling was juist: kies een van de twee overgebleven deuren.

Ik zou zeggen, lees de vraagstelling van MvM nog maar eens goed door. Volgens mij maak je namelijk nog steeds geen goed onderscheid tussen de oude en de nieuwe vraagstelling.

Jij begrijpt mijn vraagstelling niet goed. Ik begrijp de oorspronkelijke vraagstelling van MvM perfect, ik vraag alleen wat volgens jou precies het verschil is tussen die 3 voorbeeldsituaties die ik stelde.

Kun je eens aangeven wat er volgens jou verschilt tussen elk van mijn 3 voorbeelden?

En dan dit vierde voorbeeld erbij:

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg, kijk maar" en opent één deur, en zegt "dus als je voor de twee deuren kiest krijg je eigenlijk gewoon wat er achter deze ene nog gesloten deur ligt, want die ander is toch leeg zoals je ziet"

Waarin zit 'em nu het verschil qua kans tussen deze 4 situaties, denk jij?

[zpidermen]

Stel dat je niet de goede deur had gekozen: kans hierop is 2/3. De quizmaster kan alleen maar de deur aanwijzen waar geen prijs achter zit. Bij wissel dus altijd prijs.

Als je de goede deur had gekozen, levert wisselen verlies op. Maar omdat de kans dat je de goede deur meteen gekozen zou hebben 1/3 is, is slechts in 1/3 van de gevallen wisselen onverstandig.

Je vergeet dat de quizmaster op een gegeven moment daadwerkelijk een deur opent. Op dat moment veranderen gelijk de kansen:

Stel dat je in eerste instantie niet de goede deur had gekozen: kans hierop was 2/3 maar wordt 1/2, omdat er nu nog maar 2 deuren dicht zijn en niet 3.

Stel dat je de goede deur had gekozen: kans hierop was 1/3 maar wordt 1/2, en weer omdat er nu geen 3 deuren maar nog maar 2 deuren dicht zijn.

Wisselen maakt dus niet uit. Al dat gegoochel met kansen van 1/3 en 2/3 geldt namelijk alleen als alle 3 de deuren dicht zijn. Zodra een van die deuren door de quizmaster geopend wordt, gelden die kansen van 1/3 en 2/3 niet meer, maar moet je rekenen met kansen van 1/2.

[Chriis]

Wisselen maakt dus niet uit. Al dat gegoochel met kansen van 1/3 en 2/3 geldt namelijk alleen als alle 3 de deuren dicht zijn. Zodra een van die deuren door de quizmaster geopend wordt, gelden die kansen van 1/3 en 2/3 niet meer, maar moet je rekenen met kansen van 1/2.

Oja?

Stel ik heb drie kaarten, één er van is een aas, de prijs. Jij mag 1 kaart kiezen, wat is de kans dat jij de aas krijgt? 1/3. Wat is de kans dat de aas bij de andere twee kaarten zit? 2/3. Ik draai nu 1 van de twee andere kaarten om en laat zien dat dat niet de aas is.

Welke kaart is nu waarschijnlijker de aas? Die van jou?, of die ene resterende van de twee kaarten waar met kans 2/3 de aas toebehoorde?

[zpidermen]

Serieus, ik vroeg het eerst als grap maar geloof je werkelijk dat het zelfs in de situatie met 100 deuren niet uitmaakt of je wisselt of niet? Denk je dat als er bijvoorbeeld duizend kandidaten meedoen aan dit spelletje, en 500 wisselen er van deur en 500 blijven bij hun eerste keuze, dat er dan in beide groepen ongeveer evenveel met een nieuwe auto huiswaarts zullen keren?

Je hoeft niet te rekenen, kun je daar eens intuïtief je antwoord op geven?

Er vanuit gaande dat van die 100 deuren de quizmaster er 98 van opent waar een oude fiets achter staat? Ook al zouden er 1000 deuren zijn waarvan de quizmaster er 998 opent, je komt telkens in dezelfde eindsituatie terecht, namelijk 2 gesloten deuren. Dus ook intuitief kan ik zeggen dat gemiddeld genomen de helft van de kandidaten met een auto huiswaarts zullen keren.

En dan dit vierde voorbeeld erbij:  

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg, kijk maar" en opent één deur, en zegt "dus als je voor de twee deuren kiest krijg je eigenlijk gewoon wat er achter deze ene nog gesloten deur ligt, want die ander is toch leeg zoals je ziet"

Ja, en achter die ene gesloten deur zit of een auto of een fiets. Maar datzelfde geldt ook voor de deur die je oorspronkelijk had uitgekozen; ook achter die deur zit of een auto of een fiets. Dus wisselen heeft geen zin.

Ik voel er niet veel voor om op je 3 eerdere voorbeelden nogmaals in te gaan, want dat is een hele andere vraagstelling die niets met de oorspronkelijke vraagstelling te maken heeft, omdat je bij de oorspronkelijke vraagstelling alles krijgt wat achter 1 deur zit, en niet alles wat achter 2 deuren zit.

[Raspoetin]

Je vergeet dat de quizmaster op een gegeven moment daadwerkelijk een deur opent. Op dat moment veranderen gelijk de kansen:

Stel dat je in eerste instantie niet de goede deur had gekozen: kans hierop was 2/3 maar wordt 1/2, omdat er nu nog maar 2 deuren dicht zijn en niet 3.

Stel dat je de goede deur had gekozen: kans hierop was 1/3 maar wordt 1/2, en weer omdat er nu geen 3 deuren maar nog maar 2 deuren dicht zijn.

Wisselen maakt dus niet uit. Al dat gegoochel met kansen van 1/3 en 2/3 geldt namelijk alleen als alle 3 de deuren dicht zijn. Zodra een van die deuren door de quizmaster geopend wordt, gelden die kansen van 1/3 en 2/3 niet meer, maar moet je rekenen met kansen van 1/2.

Dat klopt, maar dat is echter de vraag niet. De vraag is: Is het verstandig om te wisselen van deur

Aangezien je de deur hebt gekozen zonder voorkennis, en je kan wisselen met voorkennis, is wisselen altijd verstandiger.

[Rogier]

Er vanuit gaande dat van die 100 deuren de quizmaster er 98 van opent waar een oude fiets achter staat? Ook al zouden er 1000 deuren zijn waarvan de quizmaster er 998 opent, je komt telkens in dezelfde eindsituatie terecht, namelijk 2 gesloten deuren. Dus ook intuitief kan ik zeggen dat gemiddeld genomen de helft van de kandidaten met een auto huiswaarts zullen keren.

Je bent gek!

Okee, zullen we het dan eens in de praktijk doen, ik heb honderd bakjes met in één ervan een briefje van 50 euro. Als je mij een tientje geeft mag je een bakje aanwijzen, doe ik er 98 andere open (die allemaal leeg zijn), en vervolgens mag je de inhoud van jouw oorspronkelijke bakje hebben. Da's dus vijf keer zoveel winst in de helft van de gevallen, dus hier zul je snel rijk mee worden! Ik wil dit wel een keer of duizend spelen met je spelen.

Ik voel er niet veel voor om op je 3 eerdere voorbeelden nogmaals in te gaan, want dat is een hele andere vraagstelling die niets met de oorspronkelijke vraagstelling te maken heeft, omdat je bij de oorspronkelijke vraagstelling alles krijgt wat achter 1 deur zit, en niet alles wat achter 2 deuren zit.

Maar dat maakt toch geen verschil als je toch al ziet dat die ene deur open staat en leeg is?

Als de quizmaster in de vraag met die 100 deuren zou zeggen "Wil je wisselen of blijf je bij je oorspronkelijke deur? Als je wisselt krijg je trouwens ook de inhoud van de 98 lege deuren erbij die ik zojuist heb geopend", dan vind jij dus dat door die laatste zin de kans groter wordt (van 50% naar 99%) dat achter de enige nog overgebleven gesloten deur de auto staat?

[zpidermen]

Stel ik heb drie kaarten, één er van is een aas, de prijs. Jij mag 1 kaart kiezen, wat is de kans dat jij de aas krijgt? 1/3. Wat is de kans dat de aas bij de andere twee kaarten zit? 2/3. Ik draai nu 1 van de twee andere kaarten om en laat zien dat dat niet de aas is.  

Welke kaart is nu waarschijnlijker de aas? Die van jou?, of die ene resterende van de twee kaarten waar met kans 2/3 de aas toebehoorde?

Verleden tijd... Zodra je de kaart namelijk omdraait, krijg je nieuwe informatie, waarmee de vraagstelling dus verandert. Je weet namelijk nu dat van die 2 kaarten die je niet heb gekozen, dat 1 daarvan in elk geval geen aas is. Dus waar kan de aas zich bevinden? Of in die andere van de 2 kaarten die je niet heb gekozen, of in de kaart die je oorspronkelijk had gekozen.

Wisselen maakt dus niet uit. Al dat gegoochel met kansen van 1/3 en 2/3 geldt namelijk alleen als alle 3 de deuren dicht zijn. Zodra een van die deuren door de quizmaster geopend wordt, gelden die kansen van 1/3 en 2/3 niet meer, maar moet je rekenen met kansen van 1/2.

Dat klopt, maar dat is echter de vraag niet. De vraag is: Is het verstandig om te wisselen van deur

Aangezien je de deur hebt gekozen zonder voorkennis, en je kan wisselen met voorkennis, is wisselen altijd verstandiger.

Eerst mocht je kiezen tussen 3 deuren. Maar nu is een van die deuren geopend; je kunt nu dus niet meer uit 3 deuren kiezen, want die ene die geopend is, doet niet meer mee. Je gaat toch geen deur kiezen waarvan je weet dat daarachter een fiets staat??? Met andere woorden, die voorkennis die je nu hebt, helpt je niet bij het kiezen tussen de 2 overgebleven deuren. De voorkennis zegt alleen iets over de derde deur die door de quizmaster is geopend.

[zpidermen]

[strike]Je bent gek![/strike]

Okee, zullen we het dan eens in de praktijk doen, ik heb honderd bakjes met in één ervan een briefje van 50 euro. Als je mij een tientje geeft mag je een bakje aanwijzen, doe ik er 98 andere open (die allemaal leeg zijn), en vervolgens mag je de inhoud van jouw oorspronkelijke bakje hebben. Da's dus vijf keer zoveel winst in de helft van de gevallen, dus hier zul je snel rijk mee worden! Ik wil dit wel een keer of duizend spelen met je spelen.

Hmmm da's interessant... Krijg ik daarbij de garantie dat jij telkens 98 lege bakjes opent? Waarom doen we het niet simpeler? Laat die 98 bakjes gewoon continu openstaan en laten we ons concentreren op de 2 lege bakjes? Weet je wat, die 98 bakjes die open zijn, staan toch alleen maar in de weg, laten we die bakjes maar ergens in een hoek gooien, zodat op tafel 2 bakjes overblijven. Waarvan eentje dus 50 euro bevat en de andere leeg is. Wil je dit echt duizend keer spelen???

Als de quizmaster in de vraag met die 100 deuren zou zeggen "Wil je wisselen of blijf je bij je oorspronkelijke deur? Als je wisselt krijg je trouwens ook de inhoud van de 98 lege deuren erbij die ik zojuist heb geopend", dan vind jij dus dat door die laatste zin de kans groter wordt (van 50% naar 99%) dat achter de enige nog overgebleven gesloten deur de auto staat?

Welnee, wat heb ik aan 98 x niets (of 98 oude fietsen)? De kans blijft gelijk, namelijk 1/2. Als jij namelijk iemand de mogelijkheid geeft om te wisselen, betekent dat toch dat je kandidaat dus opnieuw een keuze mag maken. Hij mag nu echter niet uit 100 deuren kiezen, maar uit 2 deuren.

Bovendien heb jij het over slechts 1 gesloten deur, maar er zijn 2 gesloten deuren: de ene die je oorspronkelijk gekozen had (en die nog steeds dicht is!) en 1 van de andere 99 deuren, waarvan de quizmaster er 98 geopend heeft.

[niekdaamen]

Het gaat er uiteindelijk om dat jij vantevoren zonder dat de quizmaster enig idee heeft welke deur jij gaat kiezen een deur kiest. Uitgaande van 100 deuren kies jij deur 32. De quizmaster elimineert er 98 en er blijven er twee over, op dat moment kan ik me voorstellen dat je de kansen gelijk inschat (is overigens niet zo). Stel ze doen het opnieuw met precies dezelfde opstelling maar met een andere kandidaat, deze opent deur 50, weer elimineert de master de andere 98 deuren.

Ik hoop het hiermee verduidelijkt te hebben, anders moet je me maar beschouwen als één van de andere tegenstanders waardoor de geloofwaardigheid misschien wat wordt opgekrikt

succes ermee!

[zpidermen]

Het gaat er uiteindelijk om dat jij vantevoren zonder dat de quizmaster enig idee heeft welke deur jij gaat kiezen een deur kiest. Uitgaande van 100 deuren kies jij deur 32. De quizmaster elimineert er 98 en er blijven er twee over, op dat moment kan ik me voorstellen dat je de kansen gelijk inschat (is overigens niet zo).

Waarom is dat niet zo?

[Rogier]

[strike]Je bent gek![/strike]

Okee, zullen we het dan eens in de praktijk doen, ik heb honderd bakjes met in één ervan een briefje van 50 euro. Als je mij een tientje geeft mag je een bakje aanwijzen, doe ik er 98 andere open (die allemaal leeg zijn), en vervolgens mag je de inhoud van jouw oorspronkelijke bakje hebben. Da's dus vijf keer zoveel winst in de helft van de gevallen, dus hier zul je snel rijk mee worden! Ik wil dit wel een keer of duizend spelen met je spelen.

Hmmm da's interessant... Krijg ik daarbij de garantie dat jij telkens 98 lege bakjes opent?

Jep! Ik heb honderd bakjes, ééntje ervan bevat 50 euro en de rest is leeg, jij kiest er eentje uit, ik open voor jouw ogen 98 bakjes die leeg zijn, en vervolgens krijg je de inhoud van het bakje wat je gekozen had. Als daar niks in zit, laat ik ter controle ook nog zien dat in het laatste gesloten bakje inderdaad 50 euro zat.

Waarom doen we het niet simpeler? Laat die 98 bakjes gewoon continu openstaan en laten we ons concentreren op de 2 lege bakjes? Weet je wat, die 98 bakjes die open zijn, staan toch alleen maar in de weg, laten we die bakjes maar ergens in een hoek gooien, zodat op tafel 2 bakjes overblijven. Waarvan eentje dus 50 euro bevat en de andere leeg is. Wil je dit echt duizend keer spelen???

Nee, alleen met die 100 bakjes. Jij denkt dat het niks uitmaakt, als het me dan toch veel geld gaat kosten mag het ook wel op mijn manier, toch?

Het kan trouwens ook wel praktischer, met een pak kaarten bijvoorbeeld (52 stuks) en jij moet de schoppen aas proberen eruit te pikken. Nadat je een kaart aanwijst keer ik 50 andere kaarten om die allemaal geen schoppen aas zijn, en vervolgens krijg je 50 euro als jouw oorspronkelijke kaart een schoppen aas blijkt te zijn (en zo niet, dan draai ik nog even de laatste overgebleven kaart om ter controle dat dat inderdaad de schoppen aas was).

Als de quizmaster in de vraag met die 100 deuren zou zeggen "Wil je wisselen of blijf je bij je oorspronkelijke deur? Als je wisselt krijg je trouwens ook de inhoud van de 98 lege deuren erbij die ik zojuist heb geopend", dan vind jij dus dat door die laatste zin de kans groter wordt (van 50% naar 99%) dat achter de enige nog overgebleven gesloten deur de auto staat?

Welnee, wat heb ik aan 98 x niets (of 98 oude fietsen)? De kans blijft gelijk, namelijk 1/2. Als jij namelijk iemand de mogelijkheid geeft om te wisselen, betekent dat toch dat je kandidaat dus opnieuw een keuze mag maken. Hij mag nu echter niet uit 100 deuren kiezen, maar uit 2 deuren.

Bovendien heb jij het over slechts 1 gesloten deur, maar er zijn 2 gesloten deuren: de ene die je oorspronkelijk gekozen had (en die nog steeds dicht is!) en 1 van de andere 99 deuren, waarvan de quizmaster er 98 geopend heeft.

Met die ene gesloten deur bedoelde ik de enige van de 99 die je niet gekozen had.

Maar vertel eens:

- Als de quizmaster je aanbiedt om bij je oorspronkelijke deur te blijven, of voor alle andere 99 deuren tezamen te kiezen, heb je dan 99% kans als je wisselt?

- Als de quizmaster je aanbiedt om bij je oorspronkelijke deur te blijven, of voor alle andere 99 deuren tezamen te kiezen (waavan je weet dat er minstens 98 leeg zijn), heb je dan 99% kans als je wisselt?

- Als de quizmaster je aanbiedt om bij je oorspronkelijke deur te blijven, of voor alle andere 99 deuren tezamen te kiezen (waavan de quizmaster er alvast 98 open doet en laat zien dat die leeg zijn), heb je dan 99% kans als je wisselt?

Als jouw antwoord niet in alledrie de gevallen hetzelfde is, waar zit hem het verschil dan in? Let op dat je in alledrie de gevallen kunt kiezen voor alle overige 99 deuren. Alleen in het ene geval weet jij voor jezelf dat er minstens 98 van die 99 leeg zijn (er zit tenslotte maar achter één van de 100 deuren een prijs) en in het andere geval laat die quizmaster het ook nog even zien.

[Raspoetin]

@ Zpidermen:

http://scholieren.samenvattingen.com/docum...n/show/9478286/

Wat vind je hier dan van?

[zpidermen]

Het kan trouwens ook wel praktischer, met een pak kaarten bijvoorbeeld (52 stuks) en jij moet de schoppen aas proberen eruit te pikken. Nadat je een kaart aanwijst keer ik 50 andere kaarten om die allemaal geen schoppen aas zijn, en vervolgens krijg je 50 euro als jouw oorspronkelijke kaart een schoppen aas blijkt te zijn (en zo niet, dan draai ik nog even de laatste overgebleven kaart om ter controle dat dat inderdaad de schoppen aas was).

Misschien dat ik met dit voorbeeld duidelijk kan maken, waarom wisselen geen zin heeft:

Hoe groot is de kans dat ik bij de eerste keer kiezen een schoppen aas pak? 1/52? Aan de ene kant wel, aan de andere kant niet! En dat laatste komt omdat ik op dit moment al voorkennis heb: ik weet namelijk al dat jij 50 kaarten uit gaat kiezen die geen van allen schoppen aas is! En ik weet dat ik, als jij de 50 kaarten omgedraaid heb, nog een keer mag wisselen. Dus uiteindelijk mag ik kiezen uit 2 kaarten. Waarvan er eentje schoppen aas is, en de andere geheel willekeurig.

- Als de quizmaster je aanbiedt om bij je oorspronkelijke deur te blijven, of voor alle andere 99 deuren tezamen te kiezen, heb je dan 99% kans als je wisselt?

Als de quizmaster op dit moment nog geen 98 deuren heeft geopend, kies ik natuurlijk voor de 99 deuren. Maar dit doet verder niet ter zake, omdat de quizmaster op een gegeven moment 98 deuren zal openen.

- Als de quizmaster je aanbiedt om bij je oorspronkelijke deur te blijven, of voor alle andere 99 deuren tezamen te kiezen (waavan je weet dat er minstens 98 leeg zijn), heb je dan 99% kans als je wisselt?

Hier moest ik even heel diep over nadenken en ik denk dat hier het probleem zit... Ik heb nu de keuze uit 2 opties: of de deur kiezen die ik oorspronkelijk al had gekozen, of een hele groep deuren (99 bij elkaar) kiezen, waarvan ik het volgende weet (en nu komt het!!!): OF deze groep van 99 deuren bevat de auto, OF deze groep van 99 deuren bevat geen auto. Datzelfde kun je natuurlijk ook van die ene deur zeggen die ik oorspronkelijk had gekozen: of de deur bevat een auto of de deur bevat geen auto. Intuitief zou je voor de groep van 99 deuren kiezen, maar je hebt daar te weinig informatie over!!! Je weet dat 98 van de 99 deuren niks bevat, maar van de laatste deur weet je niet of hij wel of niks bevat! En die laatste deur kan elk van die 99 deuren zijn!

[Raspoetin]

Hoe groot is de kans dat ik bij de eerste keer kiezen een schoppen aas pak? 1/52? Aan de ene kant wel, aan de andere kant niet! En dat laatste komt omdat ik op dit moment al voorkennis heb: ik weet namelijk al dat jij 50 kaarten uit gaat kiezen die geen van allen schoppen aas is!

Dan blijft de kans dat je bij de eerste keer kiezen een schoppen aas trekt 1/52e

Appletje mbt driedeurenprobleem: http://www.pascal-online.nl/pascal/pagina....asp?pagkey=6853 onderaan pagina of op http://www.math.rug.nl/didactiek/kansenopt...rie_deuren.html

En nogmaals: De vraag is of dat wisselen verstandig is. Niet wat de kans is achter welke deur de prijs zit

[niekdaamen]

Bied je ook aandelen aan Rogier?