Wetenschapsquiz: overhangende tegels

[SjeSja]

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = SIGMA (k van 1 tot oneindig) 1/2^k

Dit is een meetkundige reeks met reden q = 1/2

De som van de eerste n termen (Sn) van zo'n reeks wordt gegeven door:

Sn = t1 * {[1-q^n] / [1-q]}

Voor bovenstaande reeks wordt dit:

t1 = 1/2 (dit is de eerste term)

q = 1/2 (dit is de reden ofte het quotiënt tussen een term en de term daarvoor)

Sn = (1/2) * {[1-(1/2)^n] / [1-(1/2)]}

Sn = (1/2) * {[1-(1/2)^n] / [1/2]}

Sn = 1-(1/2)^n

Wanneer we nu alle termen uit de reeks wensen op t tellen betekent dit dat n oneidig wordt: een toepassing voor limietrekenen.

lim (n gaat naar oneindig) Sn

= lim (n gaat naar oneindig) 1-(1/2)^n

= 1 - lim (n gaat naar oneindig) (1/2)^n {van n onafhankelijke termen en factoren mogen buiten de limiet worden gezet}

= 1 - 0 {het resultaat van een getal kleiner dan 1 verhoffen tot een steeds grotere macht neigt naar 0}

= 1

Qed

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... = SIGMA (k van 1 tot oneindig) 1/2*k

Dit is noch een rekenkundige noch een meetkundige reeks.

Met behulp van computer of programmeerbaar rekentoestel is het een voudig een lus te laten berekenen. De som de termen uit deze reeks is niet eindig. Het resultaat van dat lusrekenen wordt steeds groter.