tweeling paradox

[EvilBro]

Symmetrie wil nog niet zeggen dat bij beide ook tijdsdilatatie/lengtecontractie optreedt?

Dat klopt niet.

Als de beschrijving gelijk is dan is er symmetrie. Dus:
In het stelsel van Nora: Nora ziet Vera met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Nora staat de klok van Vera op ongeveer 11 jaar. Deze laatste situatie noem ik situatie A.
In het stelsel van Vera: Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 11 jaar. Deze laatste situatie noem ik situatie B.
Er is niks dat Nora meemaakt dat Vera niet meemaakt. Alles wat voor Nora geldt, geldt ook voor Vera. Zowel Nora als Vera zien tijdsdilatate/lengthcontractie bij de ander.
Wat belangrijk is om je te realiseren is dat situatie A en B niet dezelfde situatie zijn.

Simpel gezegd: Als je de namen Vera en Nora kunt omdraaien en er verandert daardoor niets aan het verhaal dan is het geheel symmetrisch. Dit geldt voor de bovenstaande zinnen wel, maar voor de situatie met het paaltje niet (bij verwisseling zou Nora opeens bij het paaltje komen en dat was niet het verhaal).

[always]

Wat ik niet begrijp dan is waarom volgens de eigen klok van Vera zij al na 11 jaar bij het paaltje is. Alleen rekening houdend met een constante snelheid zou dat toch ook 15 jaar moeten zijn, want waarom zou de eigen tijd van Nora anders zijn dan de eigen tijd voor Vera als alles symmetrisch is?

[VDammer]

Wat ik niet begrijp dan is waarom volgens de eigen klok van Vera zij al na 11 jaar bij het paaltje is.

Dit komt door de relativiteit van de gelijktijdigheid. Niet door eigen tijd die vertraagt.

Bekijk het zo:

Voor Nora snijdt haar lijn van gelijktijdigheid door haar eigen klok met tijd 15 jaar, en door Vera's klok met tijd 11 jaar.

Voor Vera snijdt haar lijn van gelijktijdigheid door haar eigen klok met tijd 11 jaar, en door Nora's klok met tijd 8 jaar.

 

Moest Vera NIET omdraaien dan zou gelden:

Voor Vera snijdt haar lijn van gelijktijdigheid door haar eigen klok met tijd 15 jaar, en door Nora's klok met tijd 11 jaar.

Maar aangezien Vera afremt en weer versnelt om naar aarde terug te keren zal haar lijn van gelijktijdigheid een rotatie weergeven in een Minkowski diagram. Kijk even wat er gebeurt in onderstaande video vanaf 1:50 min
https://www.youtube.com/watch?v=0iJZ_QGMLD0

 

Op internet zijn een aantal calculators te vinden voor dit soort sommetjes, bijvoorbeeld deze.

Werkt deze calculator nog? Ik kan enkel iets typen in de eerste twee vakjes...

 

Ik zal nog kijken of ik op basis van de gebruikte code de formules kan achterhalen.

Ik kijk er vol verwachting naar uit.

[Michel Uphoff]

Dat klopt. Die calculator is hierin beperkt, ik ben op zoek naar een betere.

 

Dus wil je het ding een berekening laten maken van de reisduur aan boord en op aarde bij een continue versnelling van 1G tot 0,66c , dan vul je de acceleration in, en speel je met distance totdat je bij de maximum speed 0,666c ziet staan.

 

Image1 1254 keer bekeken

 

Vervolgens is het van belang je te realiseren dat deze calculator de duur berekent op grond van een continue versnelling tot halverwege het traject, en vervolgens een continue even lange remweg met dezelfde versnelling om zo met 0 m/s op de gewenste afstand aan te komen. Dit is volkomen symmetrisch, dus de gegeven reisduur moet voor een traject tot aan de maximaal gewenste snelheid nog door twee worden gedeeld.

 

Ik kijk er vol verwachting naar uit.

 
Ben bang dat ik dan mensen met programmeerkennis nodig zal hebben om de code te ontrafelen.

 

 

 

 

[always]

VDammer: je zegt dus moest Vera NIET omdraaien dan zou gelden:
Voor Vera snijdt haar lijn van gelijktijdigheid door haar eigen klok met tijd 15 jaar, en door Nora's klok met tijd 11 jaar. Maar is dat dan niet een verschillend antwoord met die van Evilbro die in #14  zegt "Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 11 jaar. Vera is, volgens de klok van Vera, het paaltje reeds 4 jaar eerder gepasseerd.
 
Volgens jou is Vera precies aan het einde van haar heenreis maar voor Evilbro is zij al op de terugreis. Lees ik je antwoord niet goed of zie ik iets anders over het hoofd?

[VDammer]

VDammer: je zegt dus moest Vera NIET omdraaien dan zou gelden:
Voor Vera snijdt haar lijn van gelijktijdigheid door haar eigen klok met tijd 15 jaar, en door Nora's klok met tijd 11 jaar. Maar is dat dan niet een verschillend antwoord met die van Evilbro die in #14  zegt "Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 15 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 11 jaar.

Dit is niet correct.
Na 11 jaar draait Vera's ref systeem. 1 seconde na de omkeer gaat Nora's klok van 8 jaar naar 22.
Dus 15 jaar op de klok van Vera kan geen Nora 11 geven.
 

 
Volgens jou is Vera precies aan het einde van haar heenreis

Neen. Volgens openingspost filmpje keert Vera terug na 11 jaar. Vera's totale reis is 22 jaar.
Na 15 jaar Vera tijd is Vera dus reeds op terugreis.
 

maar voor Evilbro is zij al op de terugreis. Lees ik je antwoord niet goed of zie ik iets anders over het hoofd?

Het blijft afwachten wat Evilbo zegt, maar ik blijf erbij: als Vera op de terugweg is na 11 jaar Vera tijd, dan staat volgens Vera's systeem Nora's klok niet op 11 na 15 jaar op Vera's klok.
Na 15 jaar heeft Vera nog 7 jaar te gaan. Gewoon met gamma factor (1.34 uit het filmpje) weet je dat Nora gedurende die Vera tijd 5.22 jaar moet tikken. Dus staat Nora klok op 30-5.22 = 24.78 wanneer Vera klok op 15 staat.

[always]

Ik denk dat evilbro dat pas uitlegt aan het einde ná het omkeren: "Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 11 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 8 jaar. Vera bevindt zich op dat moment direct naast het paaltje. Dit is situatie C." Die 22 jaar zou denk ik de volgende berekening zijn.
 
Maar toch blijft het onduidelijk hoe er aan die 11 jaar wordt gekomen als je alleen de heenreis neemt. IN het filmpje lijkt het alsof dat 11 jaar is, maar dat is gewoon 22 jaar gedeeld door twee voor de heen en terugreis. Maar hoe je aan die 11 komt begrijp ik eigenlijk niet.

[Professor Puntje]

@ Michel Uphoff

Hier staat hoe de SRT met constante versnelling omgaat:
 
http://www.normalesup.org/~baglio/physique/acceleration.pdf
 
Verder kun je de totale tijddilatatie (volgens het klok postulaat) vinden door de momentane tijddilatatie over de duur van de reis volgens de thuisblijver te integreren.

[VDammer]

Ik denk dat evilbro dat pas uitlegt aan het einde ná het omkeren: "Vera ziet Nora met 2/3 van de lichtsnelheid van haar af bewegen. Na 11 jaar op de klok van Vera staat de klok van Nora op ongeveer 8 jaar. Vera bevindt zich op dat moment direct naast het paaltje. Dit is situatie C." Die 22 jaar zou denk ik de volgende berekening zijn.

Inderdaad, na 11 jaar staat de Nora klok op 8. Dat is correct, omdat tot dan Vera steeds niet bij het omkeerpunt is.
Maar na 15 staat ze niet op 11. Want na 11 jaar draait haar ref systeem.

[VDammer]

 
Maar toch blijft het onduidelijk hoe er aan die 11 jaar wordt gekomen als je alleen de heenreis neemt. IN het filmpje lijkt het alsof dat 11 jaar is, maar dat is gewoon 22 jaar gedeeld door twee voor de heen en terugreis. Maar hoe je aan die 11 komt begrijp ik eigenlijk niet.

 
Gewoon gamma factor toepassen (dit houdt rekening met de relativiteit van gelijktijdigheid van gebeurtenissen)
In Nora's systeem tikt Vera's tijd 1.34 maal trager.
In Vera's systeem tik Nora's tijd 1.34 maal trager.
Om te weten waarom dit zo is moet je wel relativiteit van gelijktijdigheid begrijpen.
Relativiteit van gelijktijdigheid is een gevolg van het feit dat de lichtssnelheid constant is in alle inertiale referentiesystemen. 

[VDammer]

Dat klopt. Die calculator is hierin beperkt, ik ben op zoek naar een betere.

 

Dus wil je het ding een berekening laten maken van de reisduur aan boord en op aarde bij een continue versnelling van 1G tot 0,66c , dan vul je de acceleration in, en speel je met distance totdat je bij de maximum speed 0,666c ziet staan.

 

Vervolgens is het van belang je te realiseren dat deze calculator de duur berekent op grond van een continue versnelling tot halverwege het traject, en vervolgens een continue even lange remweg met dezelfde versnelling om zo met 0 m/s op de gewenste afstand aan te komen. Dit is volkomen symmetrisch, dus de gegeven reisduur moet voor een traject tot aan de maximaal gewenste snelheid nog door twee worden gedeeld.

 
 

In de vereenvoudigde uitleg, die eigenlijk alleen over de speciale relativiteit (inertiaalstelsel) gaat, en dus het probleem van versnelling buiten zicht laten gebeurt dat wel vaker. Correct is het niet. Als je er wat aan gaat rekenen (zie die calculators):
 
Gezien vanuit het frame van Vera bij een totale reisduur voor haar van 22 jaar:
4 x versnellen met 1G (van 0 naar 0,66c naar 0 en vice versa): 4 x 0,78 jaar = 3,12 schipjaren (3,48 aardjaren)
Onversnelde beweging bij 0,66c gedurende 18,88 schipjaren (gamma = 1,34 dus 25,30 aardjaren)
Totaal 22 jaar voor Vera en 28,42 jaar Nora.
Het verschil met de vereenvoudigde berekening (22 en 30 jaar) is ongeveer 1,5 jaar.
 
We gaan Vera echt zwaar belasten met een versnelling van 3G, we nemen weer 22 jaar voor Vera als reisduur:
4 x versnellen met 3G: 4 x 0,256 jaar = 1,038 schipjaren (1,155 aardjaren)
Onversnelde beweging bij 0,66c gedurende 20,96 schipjaren (28,09 aardjaren)
Totaal 22 jaar Vera en 29,24 jaar Nora.
Het verschil met de vereenvoudigde berekening is nu 0,75 jaar
 
Vera is een supervrouw uit de comics, die zomaar gedurende lange tijd 50G kan overleven:
4 x versnellen met 50G: 4 x 0,0156 jaar = 0,0624 schipjaren (0,0836 aardjaren)
Onversnelde beweging bij 0,66c gedurende 21,94 schipjaren (29,40 aardjaren)
Totaal 22 jaar Vera en 29,48 jaar Nora.
Het verschil met de vereenvoudigde berekening is nu nog maar 0,5 jaar
 
Hoe groter de toegepaste versnelling wordt, hoe meer de resultaten naar de versimpelde uitleg toe kruipen.

 
Top, Michel!
 
Het is inderdaad wel opletten dat zo één berekening geldt voor acceleratie + deceleratie. Dus delen door 2 en dan maal 4.   
Heel leuk speelgoed die calculator.
 
Hartelijk dank. Voor die posts klik ik op OK! =D>

[Michel Uphoff]

@PP: Hier staat hoe de SRT met constante versnelling omgaat.

Thanks!

De te gebruiken formule zou dan zijn:

\(v(t)=\frac{At}{\sqrt{1+\frac{A^2t^2}{c^2}}}\)

Dimensioneel (m/s) klopt hij in ieder geval. Dus de maximum snelheid (in fracties van c) bij 1G versnelling en variabele reisduur (frame Aarde) volgens deze formule eens vergeleken met de uitkomsten van de Relativistic Starship Calculator:

reisduur (jaar, aarde)	v formule	v RSC
0,1	0,1027164	0,1026548
1	0,7183641	0,7181533
10	0,9953437	0,9953381
100	0,9999531	0,9999531

We zien kleine afwijkingen bij lagere snelheden. Dat zal waarschijnlijk aan de nauwkeurigheidsverschillen tussen javascript en Excel liggen.

Het resultaat komt verder netjes overeen, dus die formule en de calculator lijken de juiste resulaten te geven. Wat ik nu nog mis is de berekening voor de tijddilatatie gedurende de versnelling (schipframe). Heb ik die ook dan kan ik in Excel een uitgebreider sjabloon bouwen waar veel meer mee mogelijk is.

[Professor Puntje]

Wat ik nu nog mis is de berekening voor de tijddilatatie gedurende de versnelling (schipframe). Heb ik die ook dan kan ik in Excel een uitgebreider sjabloon bouwen waar veel meer mee mogelijk is.

 
Daarvoor heb je (bij een ideale klok die de versnellingen netjes overleeft) enkel met de momentane snelheden van het ruimteschip ten opzichte van de aarde te maken, en niet met de versnelling. Zie:
 
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/clock.html
 
Voor de totale dilatatie moet je die momentane dilataties dus integreren. Als het je enkel om de uitkomsten gaat kun je dat ook numeriek doen, de versnelling maakt voor de dilatatie immers toch niet uit.

[EvilBro]

... maar voor Evilbro is zij al op de terugreis.

Nee. Bij mijn antwoord draait Vera helemaal niet om. Ik dacht begrepen te hebben dat dat de situatie was die je wilde bekijken (om de moeilijkheden van de omkering van Vera te vermijden). Kennelijk was dat niet zo...

[always]

Dat had je toch goed begrepen Evilbro, bedankt daarvoor. Waarschijnlijk had ik je uitleg niet goed weergegeven/begrepen