sciencetalk

tempelier schreef: Het is ook een instellingen kwestie.
 
Zo ging er over de (pas onlangs bewezen) dichtste bolstapeling het volgende de ronde:
 
1. Wiskundige vermoeden het.
2. Natuurkundige denken het.
3. Scheikundige weten het zeker.
 
De scheikundige zullen nu wel zeggen: ''Zie je wel, altijd al geweten"

 
Misschien wordt het dan tijd dat uitspraken gedaan door een scheikundige als wiskundig bewijs mogen dienen. 
Zou de wiskunde zich een hoop moeite mee besparen, met uiteindelijk hetzelfde resultaat...

 
Het zwaartepunt (rode stip) voor twee vrij uiterste bolschilsegmenten met dikte 'd' (kleur blauw). Ik heb de bijbehorende bolschillen er niet bij getekend, dit zijn alleen 2 'cellen', stukjes van een bolschil, die je kan gebruiken voor berekeningen of opstellen van formules
 
Voor een perfect kegelvormige bolschilsegment/cel (links) bevindt het zwaartepunt zich op 3/4 van de afstand tot de punt van de kegel. Dus op 1/4 van de dikte boven het midden van deze bolschil. De bolschil is in deze situatie even dik als de straal van de bol, de lege ruimte binnen de bolschil is 0. Deze bijbehorende bolschil is dus gewoon een massieve bol. een uiterste situatie om het probleem te begrijpen.
 
Voor een heel erg plat, breed en dun bolschilsegment/cel (rechts) bevindt het zwaartepunt zich onder het midden van dikte 'd'. Wel sterk afhankelijk van de positie van de waarnemer/testmassa
 
Er zijn dus ook situaties waarin het zwaartepunt van een bolschilsegment precies op het midden van de dikte ligt. Maar het spreekt dus niet vanzelf.

Ik had een tekening gemaakt betreffende een puntmassa binnen een eindig dikke bolschil. Het valt mij op hoe verschillend de intersectievormpjes zijn. Je hebt langwerpig dunne bijna cilindervormige secties, maar je hebt ook dunne platte brede vormpjes. Om het erger te maken, op sommige plekken wordt de massa van een dun plat breed segmentje op grote afstand, geacht precies de zwaartekracht op te heffen voor een lang bijna cilindervormig segmententje op korte afstand van de puntmassa. En ik kan geen berekeningen doen aan dit alles, maar ik zit toch echt heel achterdochtig te kijken naar dit geheel.

ik moet wel nog een toevoeging maken, de zwaartekracht van twee puntmassa's op elkaar kun je vrij makkelijk uitrekenen, maar bij de zwaartekracht door bijvoorbeeld zo'n cilinder- of wigvormige cel op korte afstand treden allerlei effecten op die berekeningen heel moeilijk maken. horizontale/verticale componenten, het optellen van deeltjes binnen een segment op verschillende afstanden tot de puntmassa, gravitatie wordt berekend als omgekeerd evenredig aan het kwadraat van de afstand, dus deeltjes op korte afstand dragen meer bij aan de totaalkracht, hebben meer invloed op de plaats van het zwaartepunt. Met ander woorden, veel te ingewikkeld om even op een kladje uit te rekenen.

tuander schreef: Met ander woorden, veel te ingewikkeld om even op een kladje uit te rekenen.

 
Inderdaad! En daarom gebruiken natuurkundigen en technici ook zo graag de natte vinger. (Dat wil zeggen tekeningen met infinitesimale hoekjes, vlakjes, etc. en daaruit met de nodige verwaarlozingen en impliciete veronderstellingen afgeleide vergelijkingen.) Voor praktische zielen is daarmee de kous af, waarom zou je immers moeilijk doen als het ook makkelijk kan.
 
Zuiver wiskundigen zien dat anders. Zij streven naar sluitende bewijzen. Als iets honderdduizend keer goed gaat bewijst dat nog niets over de daarop volgende keer. Ook bewijst de intuïtieve overtuiging van een natuurkundige, technicus of voor mijn part een scheikundige niets over de juistheid of onjuistheid van een wiskundig vermoeden. Wie aan strenge bewijzen geen boodschap heeft, heeft in de zuivere wiskunde niets te zoeken.
 
Zoals ik al scheef kun je de bolschilstelling ook wiskundig verantwoord bewijzen, maar dat is gigantisch veel werk en vergt ook de nodige voorstudie om überhaupt te begrijpen hoe dat bewijs werkt. De door natuurkundigen en technici gehanteerde aanpak is goed genoeg voor de natuurkunde en techniek maar volstaan niet voor de zuivere wiskunde. Daarvoor zul je toch echt flink de wiskundige theorie in moeten duiken.

Ik zat al te denken dat je de situatie van een puntmassa binnen een bolschil het beste kunt benaderen in een andersoortig assenstelsel. Niet x,y,z lineair uitgezet op de assen, maar x²,y²,z² lineair uitgezet op de assen. Als middelpunt van je assenstelsel neem je dan de puntmassa/testmassa 'p' binnen in de holle ruimte van de bolschil. Omdat je van dit punt alle gravitatiekrachten wilt berekenen. Vervolgens moet je de lineaire bolschil in dit kwadratisch assenstelsel construeren, dit betekent dat de bolvorm vervormd wordt omdat 'p' niet het middelpunt van de bolschil is. Maar als je al deze moeite doet, worden alle gravitatiekrachten die op 'p' werken lineair met de afstand op je assenstelsel. En dan kan je de deeloppervlakken van de bolschil veel beter met elkaar vergelijken, en kijken of het netto-effect van tegenoverliggende bolschildelen op 'p' echt nul is. Volgens mij kun je de bolschilstelling zo op een exacte, wiskundige manier controleren. Dan kun je kijken of 'p' echt gewichtsloos wordt in de binnenruimte van een bolschil.

Professor Puntje schreef:  
Inderdaad! En daarom gebruiken natuurkundigen en technici ook zo graag de natte vinger. (Dat wil zeggen tekeningen met infinitesimale hoekjes, vlakjes, etc. en daaruit met de nodige verwaarlozingen en impliciete veronderstellingen afgeleide vergelijkingen.) Voor praktische zielen is daarmee de kous af, waarom zou je immers moeilijk doen als het ook makkelijk kan.
 
Zuiver wiskundigen zien dat anders. Zij streven naar sluitende bewijzen. Als iets honderdduizend keer goed gaat bewijst dat nog niets over de daarop volgende keer. Ook bewijst de intuïtieve overtuiging van een natuurkundige, technicus of voor mijn part een scheikundige niets over de juistheid of onjuistheid van een wiskundig vermoeden. Wie aan strenge bewijzen geen boodschap heeft, heeft in de zuivere wiskunde niets te zoeken.
 
Zoals ik al scheef kun je de bolschilstelling ook wiskundig verantwoord bewijzen, maar dat is gigantisch veel werk en vergt ook de nodige voorstudie om überhaupt te begrijpen hoe dat bewijs werkt. De door natuurkundigen en technici gehanteerde aanpak is goed genoeg voor de natuurkunde en techniek maar volstaan niet voor de zuivere wiskunde. Daarvoor zul je toch echt flink de wiskundige theorie in moeten duiken.

 
Maar die zuivere wiskunde zegt dan helemaal niets meer over het gravitatieveld binnen in een bol maar enkel over de geldigheid van de een of de andere abstracte wiskundige term. Wie die zuivere wiskunde wil bedrijven moet niet de illusie hebben nog iets over tastbare voorwerpen of experimenten te zeggen.
 
De uitdaging om een concreet geval te vinden waar een wiskundig niet toegestaan doorsteekje gemaakt wordt, en dat een discrepantie tussen theorie en experiment tot gevolg heeft, blijft staan.

@tuander: je onderschat de wiskundige moeilijkheden die bij dit probleem komen kijken.
 
@Marko: kun je misschien toelichten wat je met die eerste alinea precies bedoelt? Waar gaat het volgens jou mis wanneer de bolschilstelling wordt toegepast op de gravitatiekracht?

Ik zeg nergens dat het met de bolschilstelling mis gaat??

Je zegt: 'die zuivere wiskunde zegt niets meer over het gravitatieveld in een bol'. Als we de zwaartekracht wiskundig op de bekende manier schrijven, lijkt dat me wel het geval. Maar volgens mij begrijp ik dus niet precies wat je bedoelt.

Ik reageerde op de opmerking dat de bolschilstelling geen zuivere wiskunde is, dat die methodiek "voor wiskundigen" niet afdoende is omdat het strikt genomen geen sluitend bewijs is.
 
En dat is zeker waar. Maar tegelijkertijd hebben de stappen die je moet zetten om het wiskundig zuiver te houden allemaal niets meer te maken met het fenomeen in kwestie (zwaartekracht binnen een bol) maar gaan ze enkel over abstracte wiskundige begrippen en de samenhang daartussen; vergelijkbaar met hoe formele grammatica niets meer zegt over de betekenis van een gedicht.

ik heb nog een plaatje getekend over iets waar ik mijn vraagtekens bij stel. De kromming van bolsegementen vanuit een excentrisch punt. Deze kromming wijkt iets af van de kromming van bolsegementen met 2 verschillende radiussen. Van die twee bolsegmenten met verschillende radiussen weet je dat de gravitatiekrachten elkaar in het excentrische punt precies opheffen. Maar de segmenten van de werkelijke bolschil (lichtblauw) wijken iets af.
   
Als je goed kijkt zie je dat aan de linker kant de werkelijke (lichtblauwe) bolschil verder weg lig, en dat aan de rechter kant de werkelijke (lichtblauwe) bolschil dichterbij ligt. Het enige argument dat ik dan nog zou kunnen bedenken waarom deze twee werkelijk (lichtblauwe) segementen elkaar toch nog zouden kunnen uitbalanceren zou iets zijn met massaverdeling over de (lichtblauwe bolschil), maar eigenlijk geloof ik het niet

tuander schreef:  
Als je goed kijkt zie je dat aan de linker kant de werkelijke (lichtblauwe) bolschil verder weg lig, en dat aan de rechter kant de werkelijke (lichtblauwe) bolschil dichterbij ligt. Het enige argument dat ik dan nog zou kunnen bedenken waarom deze twee werkelijk (lichtblauwe) segementen elkaar toch nog zouden kunnen uitbalanceren zou iets zijn met massaverdeling over de (lichtblauwe bolschil), maar eigenlijk geloof ik het niet

 Ik zal nog even een kleine toelichting geven op wat ik bedoel, Het blauwe bolschilsegement links bevindt zich iets verder weg, maar er bevindt zich ook iets meer massa op. En het segment links bevindt zich iets dichterbij, maar er bevindt zich ook minder massa op.

@ tuander

Bij de gebruikelijke aanpak van zulke vraagstukken door natuurkundigen en technici gaat men uit van schetsjes waarin infinitesimaal klein gedachte oppervlakjes, hoekjes, etc. voorkomen. Op basis daarvan stelt men dan formules op waarin ook weer oneindig klein gedachte differentialen voorkomen. Bij het opstellen van die formules laat men op het gevoel weg wat men voor infinitesimaal kleine oppervlakjes, hoekjes, etc. verwaarloosbaar acht. Wie dat vele keren gedaan heeft en daarbij steeds de juiste uitkomsten vindt, beseft op het laatst nauwelijks meer dat dit met wiskundige bewijsvoering weinig uitstaande heeft. Het is eerder een kwestie van ambachtelijke vaardigheid. En daar is op zich niets mis mee.

Wil je de zaak echter wiskundig correct aanpakken dan zijn er twee wegen:

1. Werk met een wiskundig grondig onderbouwd begrip van infinitesimalen. Er zijn meerdere manieren om dat voor elkaar te krijgen.

2. Volg de weg van de reële analyse vanaf de constructie van de reële getallen, via het functiebegrip, limieten, een rigoureus opgezette differentiaal- en integraalrekening, variëteiten en differentiaalmeetkunde.

Je wiskundige bezwaren tegen de natuurkundige en technische aanpak zijn (vanuit rigoureus standpunt) terecht, maar zij zijn via wat lapwerk hier en daar niet op te lossen. En natuurkundigen en technici zijn over het algemeen in dergelijke “verbeteringen” ook niet eens geïnteresseerd. Zij beschikken al over een in de praktijk werkende aanpak, en meer verlangen zij niet. Voor rigoureuze antwoorden moet je bij de zuivere wiskunde aankloppen.

Dat slaat natuurlijk nergens op. Je zet natuurkundigen nu weg als een stel broddelaars die maar wat doen, en bij toeval tot een correct resultaat komen. Er wordt niets op gevoel weggelaten. Verwaarlozingen worden bewust en onderbouwd gemaakt.
 
De uitdaging blijft staan om nu eindelijk je standpunt eens te onderbouwen, en te komen met een voorbeeld waar een wiskundig onjuiste afleiding zorgt (of heeft gezorgd) voor een discrepantie tussen theorie en experiment.