[Wiskunde] 2 moeilijke limieten

[Stef]

Ach, meerdere vragen waren onduidelijk.

Neem aan dat f: [a,b] -> IR afleidbaar is op ]a,b[. welk is dan juist?

- als f dalend is op [a,b], dan is f'(x) =< voor elke x E ]a,b[

- als f strikt dalens is op [a,b], dan is f'(x) < voor elke x E ]a,b[

- als f'(x) =< voor elke x E ]a,b[, dan is f dalend op [a,b]

- als f'(x) < voor elke x E ]a,b[, dan is f strikt dalend in [a,b]

Zowel de derde als de vierde mogelijkheid kloppen toch ? In de opgave dat slechts 1 antwoord mogelijk was.

[Stef]

Andere meerkeuzevragen:

a. gegeven is dat f, g en h reële functies zijn op IR waarvoor geldt dat f(x) =< h(x) =< g(x) voor alle x E IR en waarvoor de limieten lim x-> oneindig f(x) = L en lim x-> oneindig g(x) = M bestaan met L=<M wat kunnen we hieruit besluiten omtrent lim x-> oneindig h(x)?

- niet zeker dat lim x-> oneindig h(x) bestaat

- lim x-> oneindig h(x)= M als h stijgend is en =L als h dalend is

- L =< lim x-> oneindig h(x) =< M

- lim x-> oneindig h(x) kan eender welke waarde aannemen

b. f:Rn -> R een functie van n verandelijken waarvan de 1e orde partieel afgeleiden bestaan in een omgeving van een punt p E IR en daar gelijk aan nul zijn. wat is zeker?

- f is afleidbaar in p

- f is constant

- f bereikt in p een absoluut minimum

- f bereikt in p een absoluut maximum

c. f en g zijn continue reële functies in interval [a,b] en f(x) =< g(x) voor elke x E [a,b]. wat is NIET juist?

- integraal van a tot b f(x) dx =< integraal van a tot b g(x)dx

- integraal van a tot b |f(x)| dx =< integraal van a tot b |g(x)|dx

- integraal van a tot b f(x) dx =< integraal van a tot b |g(x)|dx

- - integraal van a tot b |f(x)| dx =< integraal van a tot b g(x)dx

Mijn antwoorden waren: derde mogelijkheid, tweede mogelijkheid en derde mogelijkheid

[TD]

Volgens mij is het bij a niet zeker dat de limiet bestaat, beschouw bijvoorbeeld een functie waarvan de functiewaarden blijven schommelen tussen L en M.

Bij b zie ik niet in hoe dat impliceert dat de functie overal constant is, volgens mij heb je hiermee afleidbaarheid maar dat hangt er natuurlijk van af hoe dat bij jullie gedefinieerd is. In meerdere veranderelijken is het bestaan van continue partiële afgeleiden op een omgeving van p een voldoende voorwaarde voor differentieerbaarheid in dat punt.

Waarom denk je bij c de derde mogelijkheid?

[Stef]

Volgens mij is het bij a niet zeker dat de limiet bestaat, beschouw bijvoorbeeld een functie waarvan de functiewaarden blijven schommelen tussen L en M.

Bij b zie ik niet in hoe dat impliceert dat de functie overal constant is, volgens mij heb je hiermee afleidbaarheid maar dat hangt er natuurlijk van af hoe dat bij jullie gedefinieerd is. In meerdere veranderelijken is het bestaan van continue partiële afgeleiden op een omgeving van p een voldoende voorwaarde voor differentieerbaarheid in dat punt.

Waarom denk je bij c de derde mogelijkheid?

Afleidbaar als de partiel afgeleide bestaan en continu zijn. Maar 0 is toch niet continu ? Dus ik ga er vanuit dat het dan constant moet zijn.

En waarom ik bij de derde c denk... ik weet het niet goed. Maar ik denk toch dat het deze is. Niet ?

[TD]

Hoe ik het begreep is dat de partiële afgeleiden in dat punt 0 zijn, maar dat betekent toch niet dat de functie er discontinu is? Hoe kan "0" nu continu of discontinu zijn, het is een getal, geen functie.

[Stef]

Mijn cursus:

Als de partiële afgeleiden van de eerste orde van een rëele functie f : S --> |R bestaan en continu zijn, dan is de functie afleidbaar op S.

Dan denk ik toch dat mijn antwoord correct is.

[TD]

Maar ik doelde op de vraag, zijn ze nu 0 in p (en bestaan op een omgeving) of bestaan ze én zijn ze 0 op die omgeving (dus niet enkel in p?).

[Stef]

ze bestaan in de omgeving en zijn daar nul

[Steabert]

Zou het antwoord dan niet gewoon sin(x²) zijn...? Althans, ik denk dat het zo de bedoeling was, maar de vraag is nog niet duidelijk genoeg om zeker te zijn. Je zou namelijk ook kunnen zeggen dat na bepaalde integratie tussen die grenzen, het resultaat niet meer afhankelijk is van t en als x zelf onafhankelijk is van t, dan is die afgeleide natuurlijk 0 - als het afleiden naar t was...

volgens mij ben je juist hoor.

de bepaalde integraal is een functie van x, dus met de afgeleide van de

bepaalde integraal wordt volgens mij de afgeleide naar x bedoeld, dan kom

je uit op sin(x^2)