Onzekerheidsprincipe van Heisenberg

[Bart]

De golffunctie is een kansverdeling van waar je het deeltje zou kunnen vinden. Op het moment dat je een meting doet en dus weet waar het deeltje op dat moment is, zal er collapse van de golffunctie plaatsvinden. Je weet dan helemaal niks van het deeltje van voor de meting.

Zou je direct na je meting weer een meting uitvoeren, dan vind je het deeltje op exact de zelfde plaats, conform de collaps van de golffunctie. In de loop van de tijd zal de onzekerheid in deze piek-functie weer toenemen waardoor het mogelijk is dat je het deeltje op een andere plaats vindt.

Wij kunnen niet de snelheid en positie van een deeltje tegelijk meten, maar wel de golffunctie.

Dit is onjuist, de golffunctie kun je niet meten. Tevens kun je de positie en snelheid van een deeltje tegelijkertijd meten. Echter, Heisenberg zegt dat je ze beiden niet oneindig nauwkeurig kunt meten. Er zal altijd een onzekerheid in je meting zitten.

[Hyro]

Ja dat vat ik; maar waarom heeft men dan die nulpuntsfluctuaties bedacht?

En heo bedoel je hij stort in als je hem waarneemt? Komt dat door de methode van waarnemen?

[Elmo]

De golffunctie is een kansverdeling van waar je het deeltje zou kunnen vinden.

Even een beetje mierenneuken: dit klopt niet. \(\psi(x)\) kan namelijk zowel positief als negatief zijn (kijk bijvoorbeeld maar naar de oplossing van de harmonische oscillator). En een negatieve kans bestaat niet.

Alleen over

\(\int_a^b {\rm d}x; \psi(x)\psi^\star(x)\)

kan je iets zeggen: dat is de kans dat het deeltje zich in het interval [a,b] bevind.

[physicalattraction]

Wanneer je een meting doet om te kijken of je een deeltje op

\(x=0\)

bevindt, meet je dus niet de golffunctie

\(\Psi\)

, maar de kansdichtheidsverdeling

\(\Psi^{*} \Psi\)

op

\(x=0\)

.

Wat je eigenlijk wil meten is deze kansdichtheidsverdeling. Het collapsen van de golffunctie kun je vergelijken met het kijken naar een dobbelsteen. Wanneer je een dobbelsteen werpt en je bekijkt het resultaat niet, is de kansverdeling

\(p=\frac{1}{6}\)

voor elke mogelijke uitkomst 1 t/m 6. Wanneer je echter kijkt en je ziet dat je een 3 gedobbeld hebt, weet je met een kans

\(p=1\)

dat de uitkomst 3 is. Om de kansverdeling te meten, moet je oneindig vaak dobbelen. Hetzelfde geldt voor een meting aan een deeltje. Wanneer je een deeltje op

\(x=0\)

gemeten hebt, weet je zeker dat het deeltje zich daar bevindt op het tijdstip van je meting. Er geldt dan

\(\Psi^{*} \Psi = \delta(x)\)

, waarbij

\(\delta(x)\)

de welbekende Dirac delta functie is. Het enige verschil met je dobbelsteen is dat de kansverdeling om het deeltje aan te treffen tijdsafhankelijk is. Wanneer je een minuut later nog eens meet zonder ook maar iets te doen, dan weet je dat die dobbelsteen nog steeds op 3 ligt, maar kan je deeltje zich ergens anders bevinden.

Volgens mij heb je geen nulpuntsfluctuaties nodig om dit fenomeen uit te leggen, maar worden deze gebruikt om virtuele deeltjes te verklaren.

[Hyro]

Ik vat hem

[reindern]

Bart zegt:

De golffunctie is een kansverdeling van waar je het deeltje zou kunnen vinden.

physicalattraction zegt:

Het collapsen van de golffunctie kun je vergelijken met het kijken naar een dobbelsteen.

Dit is toch niet waar? De golffunctie is toch een volledige beschrijving van het systeem, en mag dus niet zomaar als een soort 'kans op' of 'onze onbekendheid' van het systeem geinterpreteerd worden?

Uiteraard kun je de kans op de positie van een deeltje bij meten berekenen met behulp van deze golffunctie (in de plaats-representatie).

Tenslotte over het direct meten van de golffunctie

\(|\Psi>\)

van een systeem: als ik meet of het deeltje zich in

\(x=0\)

bevindt, en mijn meetappraat slaat uit; dan meet ik toch eigenlijk dat 'direct na meten het deeltje zich in de toestand

\(|x=0>\)

bevindt'? Dat noem ik vervolgens een plaatsmeting; maar ik weet (na meten) net zo goed de positie, als de gehele golffunctie van het deeltje (

\(|x=0>\)

). Waarom mag ik dit dan geen meting van de golffunctie zelf noemen?[/quote]

[physicalattraction]

De golffunctie is toch een volledige beschrijving van het systeem, en mag dus niet zomaar als een soort 'kans op' of 'onze onbekendheid' van het systeem geinterpreteerd worden?

Volgens mij wel. Hoe kun je anders verklaren dat, voordat je meet er een bepaalde kans is dat er een deeltje op

\(x=0\)

is, en dat je na meting zeker weet of er op dat tijdstip een deeltje op

\(x=0\)

is? De kans dat er een deeltje op

\(x=0\)

zit hangt af van de golffunctie (NB: nogmaals, dit IS NIET de golffunctie, de kans(dichtheid) is

\(\Psi^{*} \Psi\)

) en dus hangt de golffunctie af van jouw meting.

[Bart]

Dit is toch niet waar? De golffunctie is toch een volledige beschrijving van het systeem, en mag dus niet zomaar als een soort 'kans op' of 'onze onbekendheid' van het systeem geinterpreteerd worden?

Zie het bericht van Elmo op de vorige pagina. Ik ben een beetje slordig geweest met het formuleren.

[reindern]

physicalattraction:

Volgens mij wel. Hoe kun je anders verklaren dat, voordat je meet er een bepaalde kans is dat er een deeltje op

\(x=0\)

is, en dat je na meting zeker weet of er op dat tijdstip een deeltje op

\(x=0\)

is?  

Volgens mij is er voor meten niet een kans dat een deeltje op

\(x=0\)

is. Voor meten is er alleen golffunctie, waarmee je de kans kan berekenen dat het deeltje op

\(x=0\)

is op het moment van meten (mogelijk is

\(x=0\)

dus een eigenschap van het deeltje en het meetsysteem samen).

Mocht het deeltje voor meten immers al een plaats hebben (die ons niet bekend is; maar we hebben wel een kansverdeling), dan kun je precies hetzelfde zeggen voor de impuls, en zou het deeltje voor het meten ook een impuls moeten hebben (met mogelijk dus een onbekendheid voor ons in de preciese waarde hiervan). Als je aanneemt dat de golffunctie echter een volledige beschrijving geeft van het systeem is dit onmogelijk: er bestaat geen golffunctie die zowel eigenfunctie van de plaats, als de impuls operator is. Deze 'onwetendheid'-interpretatie lijkt mij dus in tegenspraak met het toestandpostulaat.

[physicalattraction]

Je hebt gelijk dat mijn verwoording inderdaad niet juist is. Voor het meten is er een kans dat je, wanneer je wel zou meten, je het deeltje op

\(x=0\)

zal aantreffen. En in dat geval moet je mijn analogie met de dobbelsteen verder doorvoeren dat, zodra jij nog niet gekeken hebt welk getal je gedobbeld hebt, de uitkomst van je worp nog niet vast staat. Maar het feit blijft, in mijn ogen, dat je met de golffunctie een kans kan uitrekenen om een bepaald deeltje op een bepaalde positie te meten, en dat deze ineenstort wanneer je eenmaal een meting uitgevoerd hebt.

[reindern]

physicalattraction:

Maar het feit blijft, in mijn ogen, dat je met de golffunctie een kans kan uitrekenen om een bepaald deeltje op een bepaalde positie te meten, en dat deze ineenstort wanneer je eenmaal een meting uitgevoerd hebt.

Dit is denk ik ook helemaal waar

Ik vroeg me alleen nog 1 ding af (ik blijf misschien wat mierenneuken): als je zegt dat voor de meting het systeem geen positie heeft (de golffunctie waarmee je het systeem beschrijft is geen eigenfunctie van de plaatsoperator) en je doet vervolgens een plaats meting, waarbij je een plaats vindt, en de golffunctie ineenstort tot de eigenfunctie behorende bij deze plaats, concludeer je: het deeltje is nu op deze plek (kortom: een plaatsmeting -> je weet de plaats op moment/direct na meten).

Stel nu dat je direct de golffunctie zou willen meten; kan dat dan niet analoog op dezelfde manier? Dus je doet een plaatsmeting; je krijgt een ineenstorting van je golf en je concludeert vervolgens: het deeltje is op deze plek dus heeft nu deze golffunctie (kortom: golffunctie meting -> je weet de golffunctie op moment/direct na meten).

Het is misschien een beetje gezeur om taalgebruik, en je bent natuurlijk eigenlijk geinterresseerd in de golffunctie voor het meten (die het deeltje in tegenstelling tot een positie wel heeft), maar ik dacht dat je het gezien de analogie misschien toch een golffunctie meting kon noemen.

[Math-E-Mad-X]

-Wij kunnen niet de snelheid en positie van een deeltje tegelijk meten, maar wel de golffunctie.

Maar dan zegt men;

Als een deeltje stilstaat zou dat wel kunnen; dit is in strijd met het onzekerheidsprincipe, dus kan een deeltje nooit stilstaan => nulpuntsfluctuaties.

Toch?

Oftewel men zeg;

stelling A:X kan niet.

stelling B:X kan wel in geval Y.

Dit is in strijd met stelling A, en dus kan X in geval Y ook niet; stelling B is fout.

Nope, men zegt:

stelling A:X kan niet.

stelling B:X kan wel in geval Y.

Conclusie: Y kan niet. (X is het gelijktijdig meten van plaats en snelheid, Y is de situatie dat een deeltje stil staat op een bepaalde plaats.)

Stelling B is dus in principe wel goed, alleen komt Y toch nooit voor dus heb je er niets aan. Behalve om te bewijzen dat Y niet voorkomt.

[reindern]

Als een deeltje stilstaat zou dat wel kunnen; dit is in strijd met het onzekerheidsprincipe,

Waarom is het stilstaan van een deeltje in strijdt met het onzekerheidsprincipe? Een deeltje mag toch best stilstaan (impuls=0), alleen is de positie in zijn golfbeschrijving dan volledig onbepaald.

Daarnaast (ik zal eens stoken ) kun je mogelijk best gelijktijdig een impuls en plaats aan een deeltje toekennen. Neem bijvoorbeeld een plaat met daarin een superklein gaatje en een stuk verder op een scherm. Je schiet hier een foton op af. Stel dat deze door het gat gaat op t=0 (dit is een positie meting, de impuls is dus niet meer duidelijk gedefinieerd en het deeltje zal (hierdoor?) alle kanten op kunnen vliegen: het deeltje kan overal het scherm raken verder op raken, en het vliegt dus niet in een 'bundel' rechtdoor). Als we nu vervolgens kijken waar het deeltje het scherm raakt, weten we ook de impuls van het deeltje op moment van inslaan (hij vliegt immers met de lichtsnelheid, en zijn richting is te bepalen door een lijn van het gaatje, naar de lichtvlek op het scherm te trekken). Omdat zijn impuls gedurende de vlucht van het gat naar het scherm niet meer verandert is (we bekijken als in een lege ruimte met naast de schermen geen potentiaalveld), is het volgens mij nu wel mogelijk om het deeltje op het moment dat het net uit het gat komt een zeer preciese plaats en impuls toe te kennen die volgens het onzekerheidsprincipe niet mag. Het is natuurlijk wel zo dat het niet mogelijk is een golffunctie op te stellen die deze beide eigenschappen met zo'n preciesie bevat maar waarom zou het niet mogen?

[Math-E-Mad-X]

Als een deeltje stilstaat zou dat wel kunnen; dit is in strijd met het onzekerheidsprincipe,

Waarom is het stilstaan van een deeltje in strijdt met het onzekerheidsprincipe? Een deeltje mag toch best stilstaan (impuls=0), alleen is de positie in zijn golfbeschrijving dan volledig onbepaald.

Klopt, maar men bedoelt hiermee dat het deeltje stilstaat op één bepaalde plaats.

Wat betreft je gedachtenexperiment: het onzekerheidsprincipe zegt dat je de de plaats en impuls van het foton niet tegelijkertijd kunt bepalen. Op het moment dat het foton weet je de plaats van het foton, maar de impuls is onbepaald omdat de lichtgolf zich vervolgens in alle richtingen zal voortplanten. Op het moment dat de lichtgolf het scherm raakt zal de golffunctie weer vervallen naar één punt. Op dat moment is de plaats dus opnieuw bepaald en weten we opnieuw niet wat op dat moment zijn impuls is.

Je kunt ook niet afleiden wat zijn impuls is geweest, omdat uit interferentie patronen blijkt dat het foton tussen het moment dat hij door het gaatje gaat en het moment dat hij het scherm raakt zich daadwerkelijk als een golf in alle richtingen voortplant. Het foton gaat dus niet zoals een puntdeeltje in een rechte lijn van het gaatje naar het scherm.

[reindern]

Je kunt ook niet afleiden wat zijn impuls is geweest, omdat uit interferentie patronen blijkt dat het foton tussen het moment dat hij door het gaatje gaat en het moment dat hij het scherm raakt zich daadwerkelijk als een golf in alle richtingen voortplant.

Een scherm met een gat erin geeft volgens mij geen interferentiepatroon hoor.