oneindig, maar begrensd heelal

[HansH]

Een persoon die vanuit de ruimte naar de aarde valt is in een assenstelsel dat meebeweegt ook in rust hoewel de ruimte gekromd is. Hier is het assenstelsel waarin de persoon in rust is het assenstelsel dat meebeweegt met het uitdijende heelal.

Dus dan ontstaat de kromming niet door de aanwezige constante massa dichtheid, maar door de uitzetting van de ruimtetijd. alleen zie ik dan weer niet wat dat te maken heeft met het topic, nl de vraag of het heelal in een loop zit zoals bv een rondje lopen op een cirkel of bol.

[wnvl1]

Voor een deeltje met massa geldt voor radiale beweging:


\[
\left( \frac{ds}{d\tau} \right)^2 = -c^2 \Rightarrow -c^2 = -c^2 \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^2 + a(t)^2 \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2
\]

\[
\Rightarrow \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^2 = 1 + \frac{a(t)^2}{c^2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2
\]

Als het deeltje stil staat in coördinaat \( r \) (meebewegend met expansie), dan is \( dr/d\tau = 0 \), en dan:

\[
\frac{dt}{d\tau} = 1 \Rightarrow \tau = t
\]

[wnvl1]

Dus dan ontstaat de kromming niet door de aanwezige constante massa dichtheid, maar door de uitzetting van de ruimtetijd.

Dat is dan een vraag naar de link tussen de verdeling van materie en energie en de expansie van het heelal. Die relatie wordt beschreven door de vergelijkingen van Friedmann, die voortkomen uit de veldvergelijking toegepast op een homogeen en isotroop heelal (de FLRW-metriek).

\[
\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}
\]

\[
\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda}{3}
\]

Waar:
- \( a(t) \) = schaalfactor (expansie)
- \( \rho \) = energiedichtheid
- \( p \) = druk
- \( k \) = ruimtekromming (0, ±1)
- \( \Lambda \) = kosmologische constante (donkere energie)
- \( G \) = zwaartekrachtconstante

[wnvl1]

dan weer niet wat dat te maken heeft met het topic, nl de vraag of het heelal in een loop zit zoals bv een rondje lopen op een cirkel of bol.

Een positief gekromde wiskundige ruimte kan eindig zijn. Of ons universum eindig is, dat kunnen we niet weten lijkt mij. Het lijkt mij niet zo zinvol om dat met ja of nee te beantwoorden.

[HansH]

beschreven door de vergelijkingen van Friedmann, die voortkomen uit de veldvergelijking toegepast op een homogeen en isotroop heelal (de FLRW-metriek).

leuke formules, maar geven mij weinig inzicht in wat er feitelijk gebeurt.

[flappelap]

kromming krijg je door massa die de ruimtetijd kromt. maar als je een oneindig groot volume hebt met een constante massadichtheid (zie het bv voor het gemak als een gaswolk, maar zou voor het heelal ook moeten gelden) dan is er toch geen kromming?, immers als ik er een massa in loslaat ondervindt die geen zwaartekrachts versnelling? immers er is overall dezelfde symmetrie. dus ik kan nergens een massa concentratie aangeven die de ruimtetijd kromt. wat zie ik over het hoofd?

Het is een goede vraag, en ik denk dat de oplossing uiteindelijk ligt in randvoorwaarden.

De Einstein- of Poissonvergelijking is een tweede-orde differentiaalvergelijking, die dus tot en met tweede orde afgeleiden relateert aan (energie/massa/impuls)dichtheden. Dus laten we es naar een heel simpele analogie kijken: de tweede orde differentiaalvergelijking

\(
f''(x) = C
\)

met C een constante. Henkie zou nu kunnen redeneren: elk punt x is gelijk, dus op basis van symmetrie zou Henkie verwachten dat de functie zelf ook overal hetzelfde is en dus ook constant. Maar dat klopt uiteraard niet: de algemene oplossing is een tweede orde polynoom, en je hebt vervolgens randcondities nodig om de specifieke oplossing vast te leggen. Die randcondities zullen vervolgens (een deel van je) symmetrie verbreken. Normaliter leggen we randvoorwaarden op waarbij de zwaartekrachtspotentiaal naar nul gaat "op het oneindige".

Een andere manier om hier tegenaan te kijken, is om geodeten te bekijken op een lichaam met constante kromming zoals een bol. Deze geodeten zullen elkaar i.h.a. benaderen of verwijderen.

Nog een laatste manier om hier naar te kijken is om de Poissonvergelijking te schrijven als

\(
\nabla \cdot \nabla \phi = \nabla \cdot g = 4 \pi G \rho
\)

Als je deze vergelijking over het hele universum (met volume V) integreert, dan krijg je

\(
\int_V \nabla \cdot g dV = 4 \pi G M_{tot}
\)

Gauss zegt dat dit een oppervlakte-integraal wordt, waarbij A = dV de rand van het volume V is:

\(
\int_{dV} g \cdot dA = 4 \pi G M_{tot}
\)

Als je de massadichtheid rho als een constante ongelijk aan nul kiest, dan krijg je dus een flux van g, en bestaat de oplossing g = 0 niet.

[flappelap]

Zie ook hier:

https://physics.stackexchange.com/quest ... 442#430442

[HansH]

Het is een goede vraag, en ik denk dat de oplossing uiteindelijk ligt in randvoorwaarden.

De Einstein- of Poissonvergelijking is een tweede-orde differentiaalvergelijking, die dus tot en met tweede orde afgeleiden relateert aan (energie/massa/impuls)dichtheden. Dus laten we es naar een heel simpele analogie kijken: de tweede orde differentiaalvergelijking

\(
f''(x) = C
\)

met C een constante. Henkie zou nu kunnen redeneren: elk punt x is gelijk, dus op basis van symmetrie zou Henkie verwachten dat de functie zelf ook overal hetzelfde is en dus ook constant. Maar dat klopt uiteraard niet: de algemene oplossing is een tweede orde polynoom, en je hebt vervolgens randcondities nodig om de specifieke oplossing vast te leggen. Die randcondities zullen vervolgens (een deel van je) symmetrie verbreken. Normaliter leggen we randvoorwaarden op waarbij de zwaartekrachtspotentiaal naar nul gaat "op het oneindige".

Een andere manier om hier tegenaan te kijken, is om geodeten te bekijken op een lichaam met constante kromming zoals een bol. Deze geodeten zullen elkaar i.h.a. benaderen of verwijderen.

Nog een laatste manier om hier naar te kijken is om de Poissonvergelijking te schrijven als

\(
\nabla \cdot \nabla \phi = \nabla \cdot g = 4 \pi G \rho
\)

Als je deze vergelijking over het hele universum (met volume V) integreert, dan krijg je

\(
\int_V \nabla \cdot g dV = 4 \pi G M_{tot}
\)

Gauss zegt dat dit een oppervlakte-integraal wordt, waarbij A = dV de rand van het volume V is:

\(
\int_{dV} g \cdot dA = 4 \pi G M_{tot}
\)

Als je de massadichtheid rho als een constante ongelijk aan nul kiest, dan krijg je dus een flux van g, en bestaat de oplossing g = 0 niet.

ik weet niet of ik de link met zwaartekracht kan volgen, maar begrijp ik het goed dat je hier integreert over een volume? punt is denk ik dat bij een contante massadichtheid verdeeld over een oneindig groot volume niet kunt spreken over waar de rand van dat volume is terwijl je die rand hier wel gebruikt.

[HansH]

stel bv even dat ik eengaswolk heb met constante dichtheid verdeeld over een bol met diameter van 1 lichtjaar. dan zal die bol gaan instorten door zijn eigen zwaartekracht. maar wat nu als ik van die bol een nog vreel grotere bol maak met dezelfde dichtheid. wat gebeurt er dan net het volumne binnen de oorspronkelijke bol? ik neem aan niets, immers je kunt zo'n bol definieren op elk punt dus kan er geen voorkeur meer zijn en moet de zwaartekracht dus volledig afwezig zijn. dus geen kromming dan toch?

[Regor]

Aan wnvl1,

Sorry, herhalong van mijn vraag.
Kan een oneindig onbegrensd universum een kromming hebben ?
Dank U.

[wnvl1]

Een negatieve kromming kan perfect corresponderen met een oneindig universum. Alles wordt uit mekaar gedreven.

[HansH]

wat ik dan nog niet kan volgen is wat er dan gebeurt bij die kromming. is het dan dat d ruimtetijd expandeert of krimpt?

[wnvl1]

Negatieve kromming correspondeert met expansie.

[HansH]

Ik zit nu even te denken of het onderwerp zoals ik het had gestart nu misschien op een verkeerde manier wort opgevat.
het ging over kromming in de zin van een lijn buigen tot een cirkel of een vlak tot een bol of 3d heelal tot iets in een hogere dimensie. dus het idee dat je met een raket vliegt in 1 richting en dan uiteindelijk via de andere kant weer op het zelfde punt terecht komt.
kromming van de ruimtetijd door massa of expansie is mogelijk toch niet het zelfde?

[wnvl1]

Ik denk dat positieve kromming gecombineerd met isotropie en uniformiteit impliceert dat je uiteindelijk terug op dezelfde plek uitkomt.