Vragen over 'A First Course in General Relativity' van Bernard Schutz

[vijv]

Ah - dus het is eigenlijk ook de bedoeling dat het mis gaat, zodat je leert dat de standaard lorentztransformatie alleen werkt voor bewegingen langs de x-as...?

Wat bedoel je met standaard lorentztransformatie?

[Professor Puntje]

Met de standaard lorentztransformatie bedoel ik de transformatie zoals je die in (nagenoeg) alle elementaire relativiteitsboeken ziet, met een gemeenschappelijke x-as voor de stelsels O en O' waarbij O' langs de x-as met een snelheid v ten opzichte van O beweegt.

[vijv]

Met de standaard lorentztransformatie bedoel ik de transformatie zoals je die in (nagenoeg) alle elementaire relativiteitsboeken ziet, met een gemeenschappelijke x-as voor de stelsels O en O' waarbij O' langs de x-as met een snelheid v ten opzichte van O beweegt.

Dat is niet de algemene lorentztransformatie, maar een vereenvoudigde omdat je met twee objecten steeds de x-as zo kunt kiezen dat deze in de richting van de snelheid is.

[Professor Puntje]

Ik zou zo niet weten hoe je twee opeenvolgende lorentztransformaties in verschillende richtingen moet doen. Dat geeft onvermoede complicaties. Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_precession

[flappelap]

Ik zou zo niet weten hoe je twee opeenvolgende lorentztransformaties in verschillende richtingen moet doen. Dat geeft onvermoede complicaties. Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_precession

Ik heb hier ook niet zoveel ervaring mee, maar de algemene uitdrukking wordt blijkbaar gegeven door



(Wiki, https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation)

Nu is het gewoon een kwestie van de componenten volgens (c) invullen en kijken wat je krijgt als je beide matrices vermenigvuldigt in beide volgorden. Lorentz boosts zijn inderdaad niet commutatief; de volgorde maakt uit. Dat zie je ook in de onderliggende Lorentz algebra terug, waarin de commutator van 2 infinitesimale Lorentz boosts zo uit mijn hoofd een ruimtelijke rotatie geven. En zo ook uit mijn hoofd krijg je in de groepstransformaties dat twee loodrechte Lorentz boosts, zoals in jouw opgave (c), een combinatie van een boost en rotatie geven. Maar nogmaals, dat is uit mijn hoofd en ik zou de berekening zelf ook even moeten nagaan, maar zo kun je in elk geval verder

[wnvl1]

In QFT worden velden en deeltjes geclassificeerd via de representaties van die Lorentz-algebra. Als je begint met QFT is inzicht hierin heel belangrijk. In het vervolg van Schutz speelt het niet zo een grote rol.

[Professor Puntje]

Gelukkig! Aan QFT ga ik mij niet meer wagen. Er zijn nog genoeg leuke vraagstukken waarvan ik de vraagstelling tenminste begrijp maar waar toch evengoed het nodige denkwerk aan te pas komt om ze op te lossen.

[Professor Puntje]

Even de basis doornemen voor ik weer aan het rekenen sla: de vier-snelheid van een deeltje is gedefinieerd als de afgeleide van de positie-viervector X naar de eigentijd \( \tau \) van het deeltje. Omdat zowel de grootte van de positie-viervector als de verandering van de eigentijd \( \tau \) in alle inertiaalstelsels gelijk zijn geldt dat eveneens voor de grootte van de zo gedefinieerde vier-snelheid.

Is dit juist?

[wnvl1]

Ter aanvulling, voor massieve deeltjes is de viernorm van viersnelheid altijd c.

[Professor Puntje]

Is viernorm de officiële benaming voor de grootte van een viervector?

En is richting voor viervectoren betekenisloos?

[wnvl1]

De viernorm van een viervector \(V^\mu = (V^0, V^1, V^2, V^3)\) is de algemene “lengte” van die viervector in Minkowski-ruimte. Met de Minkowski-metriek \((+,-,-,-)\) wordt de viernorm als volgt gedefinieerd:

$$
\|V\|^2 = V^\mu V_\mu = (V^0)^2 - (V^1)^2 - (V^2)^2 - (V^3)^2
$$

* \(V^0\) is de tijdcomponent (bijv. \(ct\))
* \((V^1, V^2, V^3)\) zijn de ruimtelijke componenten

De richting van een viervector zou ik niet direct gebruiken.

[Professor Puntje]

15.(a) Het deeltje beweegt in het frame \( O \) met een snelheid v in positieve richting langs de x-as. In het rustframe \( \overline{O} \) van het deeltje staat het deeltje stil. Dus in \( \overline{O} \) vinden we voor de positie-viervector X van het deeltje:

\( X \xrightarrow{\overline{O}} (c \tau , 0, 0, 0)^{T} \)

De viersnelheid \( U \) van het deeltje is de afgeleide naar de eigentijd \( \tau \) van de positie-viervector \( X \). Dus:

\( U \xrightarrow{\overline{O}} (c,0,0,0)^{T} \).

Het frame \( O \) heeft bezien vanuit het frame \( \overline{O}\) een snelheid -v langs de x-as. Dus de viersnelhied van het deeltje heeft vanuit \( O \) bekeken de componenten:

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \left (\begin{array}{cccc} U^{\overline{0}} \\ U^{\overline{1}} \\ U^{\overline{2}} \\ U^{\overline{3}} \end{array} \right ) \)

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \left (\begin{array}{cccc} c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma c \\ \gamma \beta c \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \,\,\,\,\,\,\, \) (Met \( \beta = \frac{v}{c} \))

Of in geometrische eenheden:

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma v \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\( U \xrightarrow{O} (\gamma,\gamma v,0,0)^{T} \).

[flappelap]

Ja, en je kunt de norm van je eindresultaat nog checken: die is netjes gelijk aan c.

[Professor Puntje]

15.(b) Dit gaan we nu gebruiken:


(Wiki, https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation)

Het deeltje beweegt zich nu eenparig langs een rechte lijn door de oorsprongen van de frames \( O \) en \( \overline{O} \) en vanuit \( O \) bezien zijn de snelheidscomponenten van het deeltje v_x, v_y en v_z. We veronderstellen dat het deeltje in frame \( \overline{O} \) in rust is, zodat:

\( U \xrightarrow{\overline{O}} (c,0,0,0)^{T} \).

Het frame \( O \) heeft bezien vanuit het frame \( \overline{O}\) een snelheid met de snelheidscomponenten -v_x, -v_y en -v_z. Dus de viersnelheid van het deeltje heeft vanuit \( O \) bekeken de componenten:

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma & . & . & . \\ - \gamma \beta_x & . & . & . \\ - \gamma \beta_y & . & . & . \\ - \gamma \beta_z & . & . & . \end{array} \right ) \left (\begin{array}{cccc} U^{\overline{0}} \\ U^{\overline{1}} \\ U^{\overline{2}} \\ U^{\overline{3}} \end{array} \right ) \)

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma & . & . & . \\ - \gamma \beta_x & . & . & . \\ - \gamma \beta_y & . & . & . \\ - \gamma \beta_z & . & . & . \end{array} \right ) \left (\begin{array}{cccc} c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma c \\ - \gamma \beta_x c \\ - \gamma \beta_y c \\ - \gamma \beta_z c \end{array} \right ) \,\,\,\,\,\,\, \) (Met \( \beta_i = \frac{- v_i}{c} \))

Of in geometrische eenheden:

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \end{array} \right ) \)

[Professor Puntje]

15.(c) \( \mathbf{v} = \frac{U^1}{\gamma} \mathbf{e}_x + \frac{U^2}{\gamma} \mathbf{e}_y + \frac{U^3}{\gamma} \mathbf{e}_z \)