[Magnetisme] Magnetische energie binnenin een draad.

[EvilBro]

ik begrijp niet waarom de stroom niet uniform verdeeld zou kunnen zijn over een oppervlakte, maw, de oppervlaktestroomdichtheid J is over het gehele oppervlakte gelijk.?

In dit vraagstuk wel, maar in de praktijk zal de stroom meer door de buitenkant van de draad lopen dan door de binnenkant. Dit heet het skin-effect (en daar krijg je vast nog wel iets over).

[Mark-123]

Ik weet wat het skinn-effect is. Allemaal bekend, maar ik begreep niet waarom Bart viel over het stukje "stroom uniform verdeeld."

[klazon]

Volgens mij heet het stroomverdringing, dat is niet hetzelfde als skin-effect.

[Phys]

Ik kwam dit topic toevallig tegen en zag dat er nog geen correcte oplossing is gegeven. Voor de duidelijkheid, de stroom I loopt wel degelijk in de lengterichting, loodrecht op een dwarsdoorsnede.

Waar het misging, is het berekenen van het B-veld. Buiten de draad is het B-veld

\(\frac{\mu_0 I}{2\pi s}\)

, heel simpel met de Ampere-wet: B is gericht in cirkels om de draad, neem als Ampere-lus een concentrische cirkel met straal s>a, dan geldt

\(\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=BA=B(2\pi s)=\mu_0 I_{enc}\)

. Met zo'n cirkel (s>a) is

\(I_{enc}=I\)

waaruit het B-veld volgt.

Binnen de draad, s<a, niet, en dat is juist het gebied waarover het gaat in deze opgave. I_enc is hier natuurlijk verschillend. I is uniform over het dwardoppervlak verdeeld, dus

\(J=\frac{I}{\pi a^2}\)

(stroomdichtheid).

Dus nu geldt

\(I_{enc}=\int \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}=JA=\frac{I}{\pi a^2}\cdot\pi s^2=\frac{Is^2}{a^2}\)

Dus

\(B(2\pi s)=\mu_0 I_{enc}\Rightarrow B=\frac{\mu_0 Is}{2\pi a^2}\)

Nu is de magnetische energie per volume-eenheid

\(w=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{\mu_0 I^2 s^2}{8\pi^2 a^4}\)

(s<a)

Totale energie binnen cilinder met lengte L:

\(W=\int w d\tau=\int w sdsd\theta dh\)

\(=\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2}\int_0^L\int_0^{2\pi}\int_{s=0}^{s=a} \frac{s^3}{a^4} dsd\theta dh\)

\(=\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2}2\pi L\int _{s=0}^{s=a} \frac{s^3}{a^4} ds\)

\(=\frac{\mu_0 I^2L}{4\pi}\left[\frac{s^4}{4a^4}\right]_0^a=\frac{\mu_0 I^2L}{4\pi}\left[\frac{1}{4}\right]=\frac{\mu_0 I^2L}{16\pi} \)

Delen door L (energie per lengte-eenheid) geeft het goede antwoord.

[Bart]

Held!

[Phys]

Ja, ik dacht, die Bart zal wel uitgepuzzeld zijn

Voor de oplossing moet ik nog even puzzelen.

[Mark-123]

Bedankt voor je uitwerking Phys! Zo ver heb ik het destijds niet gezocht, maar het is duidelijk waar het mis ging. Beter laat dan nooit zullen we maar zeggen!

Groeten,

Mark