sciencetalk

Een beetje vervelend, maar het lukt nog steeds niet... Ik ben zelf iemand die graag volgens een stappenplan werkt.

Dus als de vraag is: Bereken de potentiaal of bewijs dat dit veld geen potentiaal heeft. Dan kan ik als volgt te werk gaan:

1) Ik bepaal de rot.

2) Is tie niet 0 dan weet ik dat er geen potentiaal is of als tie 0 is, dan weet ik dat er dus een potentiaal is...

3) Ik weet de gradient en ik weet F= -grad(V)

Ik moet dus de V berekenen... De gradient die weet ik en de F is toch de gegeven functie? Hoe los ik dit dan op, want ik begrijp die intergralen niet zo goed... Misschien moet je het nog eens heel concreet uitleggen met wat ik moet doen. Heb je een voorbeeld van een veld, waar de rot gelijk is aan 0, zodat je een keer concreet voordoet hoe je tot de potentiaal komt... Nogmaals erg bedankt!!

Kijk eens aan, op deze pagina wordt het volgens mij netjes uitgelegd.

Er staan ook voorbeelden uitgewerkt, eerst in twee variabelen en dan in drie.

Lukt het daarmee nog niet, laat dan maar iets horen, dan help ik je verder.

Pfff... lastig he? Ik begrijp echt niet goed wat ze nu eigenlijk allemaal doen... Wil je het een keer duidelijk voor me uitleggen aan de hand van een voorbeeld? Dan begrijp ik het vast beter... Ik heb maandag mijn tentamen en als ik maar weet hoe het moet is het goed...

Ik zal wat uitleg gegeven bij voorbeeld 2a van die pagina, dan hoef ik zelf niets uit te vinden.

Het vectorveld is er tweedimensionaal, maar dat is geen probleem (je kan makkelijk veralgemenen).

De rotatie is 0 (het bereken daarvan is hier nog eenvoudigen, gewoon twee partiële afgeleiden), dus F conservatief.

We gaan nu op zoek naar de potentiaal V zodat F = grad(V) met F:

\(\vec F = \left( {2x^3 y^4 + x,2x^4 y^3 + y} \right)\)

We zoeken nu een potentiaal V(x,y) door te integreren, we weten:

\(\vec F = \nabla V \Leftrightarrow \left( {2x^3 y^4 + x,2x^4 y^3 + y} \right) = \left( {\frac{{\partial V}}{{\partial x}},\frac{{\partial V}}{{\partial y}}} \right) \Leftrightarrow \left{ \begin{array}{l} \frac{{\partial V}}{{\partial x}} = 2x^3 y^4 + x \frac{{\partial V}}{{\partial y}} = 2x^4 y^3 + y \end{array} \right.\)

We kunnen nu één van beide vergelijkingen gebruiken om te integreren, bijvoorbeeld de eerste.

Het is een partiële afgeleide naar x, dus als we integreren naar x mag de constante van y afhangen:

\( \frac{{\partial V}}{{\partial x}} = 2x^3 y^4 + x \Leftrightarrow V = \int {2x^3 y^4 + xdx} + f\left( y \right)\)

Integreren levert: (*)

\(V = \frac{{x^4 y^4 + x^2 }}{2} + f\left( y \right)\)

Nu is f(y) nog onbekend, maar we kunnen onze tweede vergelijking van daarnet nog gebruiken.

We nemen van beide leden de partiële afgeleide naar y en kunnen dV/dy vervangen:

\( \frac{{\partial V}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{x^4 y^4 + x^2 }}{2}} \right) + \frac{{\partial f\left( y \right)}}{{\partial y}} \Leftrightarrow 2x^4 y^3 + y = 2x^4 y^3 + \frac{{\partial f\left( y \right)}}{{\partial y}}\)

Oplossen naar de afgeleide van f naar y en integreren om f te vinden:

\(\frac{{\partial f\left( y \right)}}{{\partial y}} = 2x^4 y^3 + y - 2x^4 y^3 = y \Rightarrow f\left( y \right) = \int {ydy} = \frac{{y^2 }}{2} + C\)

Dit invullen in de uitdrukking die we voor V vonden, vlak na (*):

\(V = \frac{{x^4 y^4 + x^2 + y^2 }}{2} + C\)

Ik heb moeilijkheden met

\(\vec{F}=\nabla V\)

.

Ik denk dat dit moet zijn

\(\vec{F}=-\nabla V\)

.

Als ik het natuurkundig bekijk dan als ik beide leden vermenigvuldig met

\(d\vec{r}\)

en de lijnintegraal neem van

\(P_1\mbox{ \tot } P_2 \)

langs de kromme C dan krijg ik de arbeid gedaan van

\(P_1\mbox{ \tot } P_2\)

langs C, wel gedane werk=

\(\mbox{potentiële energie \in P_1} - \mbox{potentiële energie \in P_2}.\)

.

Dus de arbeid is gelijk aan de vermindering van de potentiële energie wat klopt, zonder het minteken klopt dit niet.

Inderdaad, wiskundig gezien moet er een scalaire

\(\phi\)

bestaan opdat

\(F=\nabla \phi\)

.

Natuurkundigen gebruiken in plaats van

\(\phi\)

eerder

\(-V\)

.

kotje schreef:Ik heb moeilijkheden met
\(\vec{F}=\nabla V\)
.

Ik denk dat dit moet zijn
\(\vec{F}=-\nabla V\)
.

Wiskundig maakt dat niet uit, fysisch is het vectorveld afgeleid van een negatieve gradiënt.

Oke, hartelijke dank!!

sciencetalk

potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld

Re: potentiaal vectorveld