Klaas-Jan
Artikelen: 0
Berichten: 175
Lid geworden op: za 30 sep 2006, 14:51

potentiaal vectorveld

Stel ik heb een vectorveld:

(x^2+y^2) i + (xyz^2) j + (x^2yz) k

Hoe bepaal je dan de potentiaal of toon je aan dat het veld geen potentiaal heeft?

Ik weet hoe je divergentie en rotatie moet bepalen...
nitrobeem
Artikelen: 0
Berichten: 33
Lid geworden op: do 02 nov 2006, 22:39

Re: potentiaal vectorveld

Divergentie:
\(\nabla \cdot textbb{F}=\frac{\partial textbb{F}}{\partial x}+\frac{\partial textbb{F}}{\partial y}+\frac{\partial textbb{F}}{\partial z}\)
Rotatie:
\(\nabla \times textbb{F} =\left[\frac{\partial textbb{F}}{\partial x},\frac{\partial textbb{F}}{\partial y},\frac{\partial textbb{F}}{\partial z}\right]\)
Als
\(textbb{F}\)
conservatief is, dan is
\(\nabla \times textbb{F}=0\)
. De stelling geldt omgekeerd ook als het gebied waarover je
\(textbb{F}\)
bekijkt open, samenhangend en enkelvoudig is.

Stel dat je vectorveld conservatief is, dan moet er een
\(V\)
bestaan zodat
\(textbb{F}=-\nabla V\)
. Dit wil zeggen dat
\(\frac{\partial V}{\partial x}=F_x\)
,
\(\frac{\partial V}{\partial y}=F_y\)
en
\(\frac{\partial V}{\partial z}=F_z\)
.
\(V\)
Bepaal je als volgt:
\(V=\int F_x dx + g(y,z)\)
, waarin
\(g(y,z)\)
een arbitraire functie is van y en z. Die moeten ook voldoen aan de andere 2 vergelijkingen, dus leid je die uitdrukking af naar y, stel je hem gelijk aan
\(F_y\)
en haal je daaruit
\(g(y,z)\)
. In die uitdrukking voor
\(g(y,z)\)
staat nog een arbitraire functie
\(h(z)\)
, die je elimineert door de derde vergelijking te gebuiken.
Gebruikersavatar
kotje
Artikelen: 0
Berichten: 3.330
Lid geworden op: vr 28 apr 2006, 12:30

Re: potentiaal vectorveld

Om aan dit vectorveld een potentiaal V te kunnen koppelen moet de rot van dit vectorveld 0 zijn, wat hier niet, naar mijn berekening het geval is: (x²z-2xyz)i-(2xyz)j+(2xyz)k.

Indien dit wel het geval is kunt ge de bijbehorende potentiaal V berekenen zoals nitrobeem aangeeft met dit verschil dat ge voor
\(F_x , F_y en F_z \)
een minteken zet.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Gebruikersavatar
TD
Artikelen: 0
Berichten: 24.578
Lid geworden op: ma 09 aug 2004, 17:31

Re: potentiaal vectorveld

Om aan dit vectorveld een potentiaal V te kunnen koppelen moet de rot van dit vectorveld 0 zijn, wat hier niet, naar mijn berekening het geval is: (x²z-2xyz)i-(2xyz)j+(2xyz)k.
Wat heb je hier berekend?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Gebruikersavatar
kotje
Artikelen: 0
Berichten: 3.330
Lid geworden op: vr 28 apr 2006, 12:30

Re: potentiaal vectorveld

De rot van gegeven vectorveld.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
nitrobeem
Artikelen: 0
Berichten: 33
Lid geworden op: do 02 nov 2006, 22:39

Re: potentiaal vectorveld

Hmmm, ik heb even mistypt :) (en nog geen beetje..)
\(\nabla\times F = \left[\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right]\)
mijn excuses...
Gebruikersavatar
TD
Artikelen: 0
Berichten: 24.578
Lid geworden op: ma 09 aug 2004, 17:31

Re: potentiaal vectorveld

De rot van gegeven vectorveld.
Ik vind voor de laatste component yz²-2y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
nitrobeem
Artikelen: 0
Berichten: 33
Lid geworden op: do 02 nov 2006, 22:39

Re: potentiaal vectorveld

Heb ik ook als laatste component.
Gebruikersavatar
kotje
Artikelen: 0
Berichten: 3.330
Lid geworden op: vr 28 apr 2006, 12:30

Re: potentiaal vectorveld

Pardon even een fout.Ge hebt gelijk.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Gebruikersavatar
TD
Artikelen: 0
Berichten: 24.578
Lid geworden op: ma 09 aug 2004, 17:31

Re: potentiaal vectorveld

Oké, maar belangrijker voor Klaas-Jan: die is dus niet identiek gelijk aan de nulvector.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Klaas-Jan
Artikelen: 0
Berichten: 175
Lid geworden op: za 30 sep 2006, 14:51

Re: potentiaal vectorveld

Oke, ik begrijp het een klein beetje, maar als je een vectorveld gegeven krijgt.

Bijvoorbeeld: (x^2+y^2) i + (xyz^2) j + (x^2yz) k

Hoe bepaal je dan de potentiaal of hoe bepaal je dat het veld geen potentiaal heeft. Ik wil beide graag weten, omdat ik niet weet of dit vectorveld een potentiaal heeft... Graag een concreet antwoord, want volgens mij ben ik een beetje in de war geraakt door wat in eerdere berichten staat... Hartelijk dank alvast!!
Gebruikersavatar
TD
Artikelen: 0
Berichten: 24.578
Lid geworden op: ma 09 aug 2004, 17:31

Re: potentiaal vectorveld

Voor zover alles "braaf" is (wellicht het geval) geldt dat een vectorveld F conservatief is, als rot® = 0 of, equivalent hiermee, er een scalaire potentiaal V bestaat zodat F = -grad(V). Je kan dus nagaan of je veld conservatief is met behulp van de rotatie; is die 0, dan bestaat er scalaire potentiaal V waar F van afgeleid kan worden (en omgekeerd).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Klaas-Jan
Artikelen: 0
Berichten: 175
Lid geworden op: za 30 sep 2006, 14:51

Re: potentiaal vectorveld

Oke, dus ik bereken eerst de rot... Is die 0, dan kan ik concluderen dat er een potentiaal is... Maar hoe kan ik nu die potentiaal berekenenen. Dat is me nog een beetje onduidelijk...
Klaas-Jan
Artikelen: 0
Berichten: 175
Lid geworden op: za 30 sep 2006, 14:51

Re: potentiaal vectorveld

Hoe haal ik de V uit de gradient? Dat is het punt... Want een gradient is toch een vector? Niet een som ofzo...
Gebruikersavatar
TD
Artikelen: 0
Berichten: 24.578
Lid geworden op: ma 09 aug 2004, 17:31

Re: potentiaal vectorveld

Dat beschreef nitrobeem al eerder:
\(V\)
Bepaal je als volgt:
\(V=\int F_x dx + g(y,z)\)
, waarin
\(g(y,z)\)
een arbitraire functie is van y en z. Die moeten ook voldoen aan de andere 2 vergelijkingen, dus leid je die uitdrukking af naar y, stel je hem gelijk aan
\(F_y\)
en haal je daaruit
\(g(y,z)\)
. In die uitdrukking voor
\(g(y,z)\)
staat nog een arbitraire functie
\(h(z)\)
, die je elimineert door de derde vergelijking te gebuiken.
Het geen aadkr hier toepaste (doch op een niet-conservatief vectorveld). Lukt het daarmee?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Terug naar “Analyse en Calculus”