PuzzelsZij f:X->Y een functie met X en Y willekeurige verzamelingen. Of f continu is hangt van de zogenaamde topologieën op X en Y af. Een topologie van een verzameling V is een collectie van deelverzamelingen van V die aan een drietal eisen moet voldoen. Deze eisen worden al in eerdere posts opgesomd. Een verzameling V kan meerdere topologieën hebben. Afhankelijk van welke topologieën op X en Y gelegd zijn is f al dan niet continu.
Anders dan bij analyse hoeven X en Y dus niet aan
\(R^n\)
gelijk te zijn. Dus de richting Topologie gaat veel algemener in op continuiteit dan gewone analyse. Het is wel zo dat de analyse de belangrijkste inspiratiebron is geweest voor hoe topologie te ontwikkelen. Zo genereren de open intervallen op R een topologie op R (de standaardtopologie op R).Met behulp van topologie kan men ook differentiëren en integreren voor functies f:X->Y definiëren waarbij X en Y ook hier niet euclidische hoeven te zijn. X en Y mogen ook hier dus willekeurige verzamelingen zijn.
Dit vakgebied heet Differentiaalmeetkunde en is de wiskunde die men gebruikt om Algemene Relativiteitstheorie mee te beschrijven. Dit is één van de vele toepassingen van topologie binnen natuurkunde.
Topologie is een beetje het afvalverwerkingsapparaat voor de wiskunde.
Veel problemen blijken gereduceert te kunnen worden tot een bekend probleem door middel van topologische methoden.
