De
\(n_i\)
's moeten dus ongeveer gelijk zijn aan een oneven veelvoud van
\(\frac{\pi}{2}\)
.
Bekijk derhalve eens de veelvouden van
\(\frac{\pi}{2} (=\beta)\)
:
\(\beta, 2\beta, 3\beta, \cdots\)
.
Notatie: Schrijf
\(x^* = x - [x]\)
, dus
\(x^*\)
is het gedeelte achter de komma, en ligt dus altijd tussen 0 en 1.
\(0, \beta^*, (2\beta)^*, (3\beta)^*, \cdots, (m\beta)^*\)
zijn m+1 getallen tussen 0 en 1, dus zijn er twee getallen uit dat rijtje (zeg
\((i\beta)^*,(j\beta)^*\)
met
\((i\beta)^*-(j\beta)^* \le \frac{1}{m+1}\)
\(|(i\beta)^*-(j\beta)^*| = |(i-j)\beta - [(i-j)\beta]| \le \frac{1}{m+1}\)
Merk hierbij op dat
\(i-j\le m\)
en dat
\([(i-j)\beta]\)
een integer is. Schrijf
\(i-j=n_m\)
en
\([(i-j)\beta] = q\)
.
Dan bestaat er dus dat voor elke
\(m\)
integers
\(q\)
en
\(n_m(\le m)\)
zo dat
\(|n_m\frac{\pi}{2} - q| < \frac{1}{m+1} < \frac{1}{n_m}\)
Er bestaat nu dus een rijtje
\(n_1\beta, n_2\beta, n_3\beta, \cdots\)
met
\(n_i\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n_i} < q_i < n_i\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n_i}\)
.
Veronderstel even dat alle
\(n_i\)
's oneven zijn. Merk op dat
\(\frac{q_i}{n_i} \approx \frac{\pi}{2}\)
.
Dan is
\(\sin(q_i) > 1-\frac{c}{q_i}\)
voor een of andere constante
\(c\)
.
Dit is wat we wilden aantonen. Er blijft nog over dat we de
\(n_i\)
's oneven verondersteld hadden.
Stel
\(n_m\)
is even. Dan zoek ik nu naar een geschikte oneven vervanger voor
\(n_m\)
.
De ggd van
\(n_m\)
en
\(q\)
is 1. Dus zijn er integers
\(k,r\)
zo dat
\(kn_m + rq = 1\)
.
\(|kn_m\frac{\pi}{2} - kq| < \frac{k}{n_m}\)
\(|\frac{\pi}{2} - rq\frac{\pi}{2} - kq| < \frac{k}{n_m}\)
\(|rq\frac{\pi}{2} + kq| < \frac{k}{n_m}+\frac{\pi}{2}\)
\(|r\frac{\pi}{2} + k| < \frac{k}{qn_m}+\frac{\pi}{2q} < \frac{c'}{r}\)
en r is oneven.