Natuurwet van de minimale actie.

[Regor]

@wnvl1,

Graag vertaling naar het Nederlands ..... ik heb maar een technische opleiding gevolgd.

[wnvl1]

De natuur neemt haar wetten niet van ons aan.

Dus: het is niet aan ons om de natuur een voorkeur voor "minimale" actie toe te dichten omdat dat mooier klinkt of intuïtiever aanvoelt. De formele wiskundige formulering zegt stationair, en de natuur houdt zich daaraan — niet aan wat wij ‘logisch’ vinden.

[Regor]

@wnvl1,

Daar gaat het juist om !
In vorige posts van U kwam het over alsof de natuur de wetten van de wiskunde / wetenschap MOET volgen.

Neen, neen, driemaal neen
Het heeft niets te maken met mooier vinden of intuitief aanvoelen ...... waar haalt U dat vandaan? ...... gaf ik aanleiding tot die gedachte bij U ?
Normaal niet ... doe dan ook niet alsof ik dat insinueer !!!
Eerst was er natuur ..... daarna het enigszins begrijpen van de natuur via wetten en wiskunde, en niet omgekeerd.
De actie van de natuur is steeds minimaal ! ....... zoals het op heel veel papers op internet beschreven staat.
Het is NIET daarom dat het juist is, het is juist omdat het juist is.
..................................
Wat ik wel eens wil doen is aandachtig een post van U lezen over "stationaire actie " want wat dat mag betekenen is voor mij nog steeds een raadsel.

[Professor Puntje]

@Regor: Op heel veel papers staat dat inderdaad zo geschreven omdat dat van uit de traditie nu eenmaal een staande uitdrukking is geworden, maar in die papers lees je dan dat die benaming feitelijk onjuist is. In de video die ik geplaatst heb wordt aan het eind hetzelfde gezegd. En in het boek waarnaar ik gelinkt heb worden zelfs voorbeelden gegeven waarbij er geen sprake is van een minimum, maar nog steeds wel van een lokaal stationaire actie. Kortom: je blijft hardnekkig de feiten negeren.

[HansH]

Wat bedoel je met op en in? ga je bv met een pen op een geprinte pater iets schrijven? Maak het niet te complex qua taalbegrip want na 11 pagina's lijkt het probleem nog steeds niet helder dus al lastig zat.

[Professor Puntje]

In de titel van artikelen en boeken wordt de uitdrukking Principle of Least Action nog vaak gehandhaafd omdat dat vanouds nu eenmaal zo genoemd werd, terwijl dan in het artikel of boek zelf te lezen valt dat die uitdrukking eigenlijk niet correct is omdat het de stationaire actie is die bepalend is. In de gelinkte video werd dat aan het eind ook duidelijk gezegd.

[Regor]

@PP,

Heeft niets te maken met de feiten hardnekkig negeren !
Ik hoef mij toch niet tegenover jou te moeten verantwoorden neem ik aan.

Als jullie niet begrijpen dat de natuur altijd de minimum actie toepast, is dat jullie zaak.
Er komen elke dag artikels uit die vroegere artikels in vraag stellen of be-comentarieren.
Wetenschappers hebben er blijkbaar een handje van weg om een iets verschillende interpretatie de wereld in te sturen.
Het is schering en inslag !
..............................................................................
Geef mij een duidelijke omschrijving / beschrijving van "stationaire actie" .....; ik zal het aandachtig lezen.

[Professor Puntje]

Het heeft alles te maken met hardnekkig negeren, want dat is precies wat je hier nu al het hele topic lang doet. Ik zal je nu nog een laatste maal naar de gelinkte video verwijzen waar aan het eind wordt uitgelegd waarom het principe beter het principe van stationaire actie genoemd kan worden. Namelijk omdat het niet altijd een minimum is. Hier is die weer:

[Regor]

@PP,

Had ik al vroeger bekeken hoor.
U schrijft :
"waarom het principe beter het principe van stationaire actie genoemd kan worden. Namelijk omdat het niet altijd een minimum is. "

Voor mij waardeloos, er is geen uitleg bij waarom het niet altijd het minimum is......;en ik wil een kort
"eenvoudig" voorbeeld waarbij het nNIET het minimum is.

Wie kan mij dat geven ?

[wnvl1]

In de variatierekening en klassieke mechanica komt het regelmatig voor dat een pad de actie wel*stationair maakt (d.w.z. de eerste variatie is nul), maar dat het geen minimum van de actie is.

Een intuïtief voorbeeld is een balletje dat precies boven op een heuvel ligt. In dat punt is het systeem in evenwicht, dus de actie is stationair. Maar het evenwicht is onstabiel — een kleine verstoring laat het balletje naar beneden rollen. Er zijn dus paden vlakbij die een lagere actie geven. Het stationaire pad is in dit geval dus geen minimum, maar een zadelpunt.

Een wiskundige analogie hiervan is de functionaal:

$$
S[y] = \int_{x_0}^{x_1} \left( \frac{1}{2} y'(x)^2 - \frac{1}{2} y(x)^2 \right) dx
$$

De bijbehorende Euler-Lagrange vergelijking is:

$$
y'' + y = 0
$$

De oplossing \(y(x) = 0\) is een stationair pad (de actie verandert niet onder kleine variaties), maar het is geen minimum: een kleine perturbatie zoals \(y(x) = \varepsilon \sin(x)\) kan de actie verlagen. Dit betekent dat de actie wel stationair is, maar niet minimaal.

[wnvl1]

Laten we eens kijken naar een elliptische spiegel. Een ellips heeft twee brandpunten, laten we die F1 en F2 noemen.

Stel je voor:
1. Lichtbron: Een lichtbron bevindt zich in F1.
2. Lichtstraal: Een lichtstraal vertrekt vanuit F1, raakt de elliptische spiegel en reflecteert.
3. Ontvangst: De gereflecteerde straal komt aan bij F2.

Volgens de eigenschappen van een ellips zal elke lichtstraal die vanuit F1 vertrekt, na reflectie op de ellips, precies door F2 gaan. De totale afgelegde weg (F1 \(\rightarrow\) spiegel \(\rightarrow\) F2) is voor elke zo'n straal constant.

Stel je voor dat het licht een pad van F1 naar F2 aflegt via de spiegel. Als je dit pad een heel klein beetje zou variëren (bijvoorbeeld door de reflectie een fractie naast het oorspronkelijke punt op de spiegel te laten plaatsvinden), dan zal de *totale reistijd* (en dus de afgelegde afstand, aangezien de snelheid van licht constant is) niet veranderen in de eerste orde. Het is alsof je op de top of in het dal van een heuvel staat; een klein stapje opzij verandert je hoogte nauwelijks.

In dit geval zijn alle paden van F1 naar F2 via de ellips van gelijke lengte. Dit betekent dat het een stationair punt is, maar het is geen uniek minimum in de zin dat er geen ander pad mogelijk is dat korter is dan alle andere. Elk pad voldoet aan de stationaire voorwaarde, omdat de afgeleide van de weglengte nul is.

Dit laat zien dat het principe van Fermat breder is dan alleen "de snelste weg". Het gaat over paden waarvoor de reistijd stationair is met betrekking tot kleine variaties in het pad.

[wnvl1]

Een interessant voorbeeld van een systeem met maximale actie is de omgekeerde harmonische oscillator. Dit is een systeem waarbij de potentiële energie een omgekeerde parabool is, dus:

$$
V(x) = -\frac{1}{2}k x^2
$$

Hierin bevindt het deeltje zich in een instabiel evenwicht, zoals een bal die precies bovenop een heuvel ligt. Elke kleine verstoring zal ertoe leiden dat de bal naar één kant rolt — het systeem is dus extreem gevoelig voor beginvoorwaarden.

De bijbehorende Lagrangiaan luidt:

$$
L(x, \dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2
$$

Toepassing van de Euler-Lagrange-vergelijking levert de bewegingsvergelijking op:

$$
\ddot{x} - \frac{k}{m} x = 0
$$

De oplossingen hiervan zijn exponentieel groeiende of afnemende functies, zoals \(x(t) = A e^{\lambda t} + B e^{-\lambda t}\), wat aanduidt dat het systeem geen stabiele oscillaties vertoont, maar in plaats daarvan “explodeert” naar oneindig (in theorie).

In dit geval blijkt de actie juist maximaal te zijn ten opzichte van kleine variaties in het pad. De werkelijke beweging volgt dus een traject waarvoor de actie een lokaal maximum is. Dit staat in contrast met systemen zoals de gewone harmonische oscillator, waar de actie minimaal is.

Hoewel het principe van stationaire actie vaak wordt geassocieerd met minimale actie, kunnen er ook fysieke situaties zijn waarin de actie maximaal is — typisch bij instabiele evenwichten of exponentieel divergerende bewegingen.

[Regor]

@wnvl1,

Dank U voor de zondags - energie.
Moet de voorbeelden een paar keer herkauwen ..... zeker deze met maximale actie, deze kan ik mij nog niet voorstellen !

Anderzijds heb ik vroeger zelf ook al het voorbeeld gegeven van een bol op de punt van een naald geplaatst.
Ik kom dan in de verleiding de drie soorten van "stabiliteit" erbij te betrekken, en niet meer "de wet van de ****** actie.
vb. de bal ligt op de punt van de naald, links is een diepe afgrond, rechts minder diep.
De minste onbalans kan de bal laten vallen naar eender welke kant, de diepe of de ondiepe.
Bereken via de Lagraniaan de actie voor de diepe of de minder diepe val.... wat geeft dat ? (ik kan dat niet meer)

Wat volgens mij ook te weinig aan bod komt is het woord / begrip de door de natuur gekozen actie als "toestandsverandering"
Ik zit er voorlopig nog mee verveeld .... zoals het voorbeeld met de elliptische spiegel.
De uitleg ervan gaat over de wiskunde van de som van de afgelegde weg van de lichtstralen.
Dat lijkt mij geen probleem van hoe de natuur een "toestands verandering oplost.

Maar goed, ik moet er nog veeeel langer over nadenken.

[wnvl1]

Ik heb die voorbeelden opgesteld op basis van wat ik terug heb gevonden op chatgpt. Rechtstreekse zoekopdrachten leverden niet veel op. Die voorbeelden hebben allemaal wel iets instabiels. Ik vraag mezelf ook af of dat altijd zo is?

Kan iemand een stabiel voorbeeld geven met een niet-minimale actie?

[Professor Puntje]

Heb je dit boek of kun je eraan komen?:

https://www.google.nl/books/edition/The ... frontcover

Ik heb dat nog niet bestudeerd maar zag daar wel voorbeelden waarbij de actie niet minimaal is.