Het geheugen van een Collatz reeks, deel 2

[WillemB]

Ook met de verkort rij, gaat de willem-breuk naar 1 - 2 -1, en wordt de breuk ook steeds 2 - 1 - 2 ...etc.
dat zou ook moeten er mag geen verschil zijn tussen verkort en onverkort.

Voor mij is nu wel duidelijk dat: \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{D}(T_0,n) = \infty \)
en dit de reden is dat, de Collatz reeks naar 1 gaat , en in de lus terecht komt, en de willem-breuk 1 blijft.

Het enigste wat ik nog niet kan bewijzen ,of er nog andere lussen dan 1 zouden zijn.
Maar dat was ook niet het uitgangspunt,
het uitgangspunt was onderzoeken wat het mechanisme is dat de reeks onvermijdelijk doet dalen.

[Professor Puntje]

Voor mij is nu wel duidelijk dat: \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{D}(T_0,n) = \infty \)
en dit de reden is dat, de Collatz reeks naar 1 gaat , en in de lus terecht komt, en de willem-breuk 1 blijft.

Die limiet is bewezen, maar voor je conclusie dat iedere (al dan niet verkorte) Collatz-rij uiteindelijk naar de lus met 1 afdaalt heb ik nog geen bewijs gezien.

[Regor]

@WillemB

Als ALLE Collatz rijen naar 1 gaan..... kunnen er geen andere lussen bestaan (de logica zelf) ...... anders zou DIE rij niet naar 1 gaan

[Regor]

@WillemB

Er bestaat een formule die PP genereerde uit mijn empirische gegevens / voorbeelden van de indeling van de oneven getallen in groepen volgens het aantal keer dat ze deelbaar zijn door 2 na toepassen van (3n+1).

Is die bruikbaar in uw hopelijk verder uit te werken bewijs ?

[WillemB]

Voor mij is nu wel duidelijk dat: \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{D}(T_0,n) = \infty \)
en dit de reden is dat, de Collatz reeks naar 1 gaat , en in de lus terecht komt, en de willem-breuk 1 blijft.

Die limiet is bewezen, maar voor je conclusie dat iedere (al dan niet verkorte) Collatz-rij uiteindelijk naar de lus met 1 afdaalt heb ik nog geen bewijs gezien.

Het bewijs zullen we hieruit moeten halen: de noemer moet gelijk of groter worden dan de teller:

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } \)

Voor T_(0,n) als deze naar 1 moet gaan zal dus het volgende moeten gelden,

2 ^{\( \mathcal{A}+ {D} \)} ≥ 3 ^{\( \mathcal{A} \)} .T₀ + \( \mathcal{B} \)

Tevens als \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{D}(T_0,n) = \infty \)

2 ^{\( \mathcal{A}+ ∞ \)} ≥ 3 ^{\( \mathcal{A} \)} .T₀ + \( \mathcal{B} \)

2^∞ > 3 ^{\( \mathcal{A} \)} .T₀ + \( \mathcal{B} \)

[Professor Puntje]

Wikipedia:

Sinds 2020 is voor alle getallen onder 2⁶⁸ gecontroleerd dat ze aan het vermoeden voldoen.[1] Het probleem met het controleren is dat het alleen het vermoeden kan weerleggen. Als het vermoeden waar is, kan er geen bewijs voor gevonden worden op deze manier.

Dus zodra T_n onder 2⁶⁸ komt is afdaling naar de lus met 1 verzekerd.

Ik heb voor T_n in de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... dat::

\( T_n = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )\)

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{C}(T_0,n) } } \)

Maar wat kun je daarmee?

Dus met de pas gedefinieerde \( \mathcal{D} \) wordt dat dan:

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } \)

Om je bewijs rond te krijgen zou je dus moeten bewijzen dat er voor iedere startterm T₀ ( ≥ 2⁶⁸) een n is zodat:

\( \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } < 2^{68} \)

[WillemB]

Dan geld het toch nog steeds, ook voor grotere getallen:

2^∞ > 3 ^{\( \mathcal{A} \)} .2⁶⁸ + \( \mathcal{B} \)

tenslotte blijft dan 2^∞ nog steeds de grootste in de noemer van de breuk.

Aardigheidje: Overigens voor het getal 2⁶⁸ wordt de willem-breuk:

2⁶⁸ = 3⁰. 2⁶⁸ +0

[WillemB]

Om een idee te krijgen over waarden in de willem-breuk,

Het laatste getal dat gecontroleerd is 2⁶⁸ -1 en dus waar is,

let op nu dus niet 1 !!, maar het getal na 136 stappen, daar het getal de eerste 136 stappen zowel even als oneven is.
T₀= 2⁶⁸ -1

T₁₃₆ = ( 3⁶⁸. (2⁶⁸ -1)+ 3⁴³ ) / 2⁶⁸

[WillemB]

Laatste stand van zaken:

Het grootste getal dat tot nu toe wereldwijd is geverifieerd voor het vermoeden van Collatz is 2^100000-1 , en een dergelijke enorme hoeveelheid getallen is nog nooit eerder geverifieerd. We hebben ontdekt dat dit getal na 481603 keer de berekening 3*x+1 en na 863323 keer de berekening x/2 weer tot 1 kan terugkeren.

Verhouding even/oneven 1,8 : 1

[Professor Puntje]

Dat is geen bewijs: \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) zijn net als \( \mathcal{D} \) afhankelijk van n. De gevonden limiet voor \( \mathcal{D} \) maakt nog niet dat \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) er niet meer toe doen.

[WillemB]

Dat is geen bewijs: \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) zijn net als \( \mathcal{D} \) afhankelijk van n. De gevonden limiet voor \( \mathcal{D} \) maakt nog niet dat \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) er niet meer toe doen.

Volgens mij doen die er inderdaad niet meer toe, omdat ik het volgende toepas:
Z= teller willem-breuk.

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\) 2ⁿ = \( \infty \)

2ⁿ > Z , en Z ∈ N

Nog even aan AI gevraagd:
Voor elk reëel getal \(z\) geldt dat \(2^{\infty }\) groter is dan \(z\).
Er bestaat geen "normaal" getal dat groter is dan \(2^{\infty }\), omdat het resultaat zelf oneindig kan zijn.

[Professor Puntje]

Het gaat niet aan de limiet van \( \mathcal{D}(T_0,n) \) voor n -> ∞ te vergelijken met \( \mathcal{A}(T_0,n) \) en \( \mathcal{B}(T_0,n) \) voor eindige n. Wat zijn onderstaande limieten?

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{A}(T_0,n) \)

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{B}(T_0,n) \)

[WillemB]

Dat is geen bewijs: \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) zijn net als \( \mathcal{D} \) afhankelijk van n. De gevonden limiet voor \( \mathcal{D} \) maakt nog niet dat \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) er niet meer toe doen.

Zal het dan anders voorstellen, om de "gain" van \( \mathcal{D} \) beter te duiden,
We hebben met de analyse de "onvoorspelbare" elementen vervangen door een wel "voorspelbaar" element : \( \mathcal{D} \)

Als: T_n =1 dan krijgen we de willem-breuk=1: en krijgen we de vergelijking: zie de dominantie van \( \mathcal{D} \)

2^{\(\mathcal{A}+\mathcal{D}\)} = 3 ^{\(\mathcal{C}-\mathcal{D}\)} .\( \mathcal{T_0} \) +\( \mathcal{B} \)

We stellen welliswaar \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{D}(T_0,n) = \infty \) maar dat gaat niet gebeuren..
omdat voor die tijd de vergelijking naar 1 gaat en \( \mathcal{D} \) niet eens in de buurt van ∞ komt.

Je ziet dat zolang de reeks loopt het zwaartepunt in de vergelijking van links naar rechts verschuift.

In andere publikaties van Collatz, komt de "gain" van het even getal ook terug, dat dit de reeks doet dalen
maar vinden vaak geen reden. Volgens mij hebben we met het vinden van \( \mathcal{D} \) het wel gevonden,
omdat \( \mathcal{D} \) de enigste voorspelbare element is in de Collatz reeks is geworden.

[Professor Puntje]

Als je uitgaat van T_n = 1 neem je al aan dat het Collatz-vermoeden juist is.

Uit onderstaande berichtje zie je dat het gedrag van \( \mathcal{D} \) maar een deel van het verhaal is:

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } \)

Anders geschreven:

\( T_n = \frac{1}{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) } } \cdot \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \)

\( T_n = \frac{1}{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) } } \cdot \left ( \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \,\, + \,\, \frac{ \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \right ) \)

\( T_n = \frac{1}{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) } } \cdot \left ( ( \frac{3}{2})^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \,\, + \,\, \frac{ \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \right ) \)

Of T_n uiteindelijk naar een lus met 1 afdaalt hangt er helemaal vanaf wat \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) voor n -> ∞ doen. Meer bepaald moet dan ook de factor \( ( \frac{3}{2})^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \,\, + \,\, \frac{ \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \) voor n -> ∞ naar oneindig gaan wil er überhaupt een lus met 1 kunnen optreden!

[WillemB]

Of T_n uiteindelijk naar een lus met 1 afdaalt hangt er helemaal vanaf wat \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) voor n -> ∞ doen. Meer bepaald moet dan ook de factor \( ( \frac{3}{2})^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \,\, + \,\, \frac{ \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \) voor n -> ∞ naar oneindig gaan wil er überhaupt een lus met 1 kunnen optreden!

Op die manier wel, maar dat is niet wat de bedoeling is, het hoeft niet met ∞ de definitie moet dus anders:

De stelling moet zijn, om Collatz waar te laten zijn,

moeten we bewijzen dat in de willem-breuk na n iteraties de verhouding tussen teller en noemer convergeert naar 1.

\( \lim\limits _{n\rightarrow x }\frac{t_{n}}{n_{n}}=1 \)

overigens als n=∞ , is het vemoeden onjuist, want dan zou de reeks nooit stoppen.

En daarom hebben we \( \mathcal{D} \) ontwikkeld, om deze stelling te kunnen bewijzen,