Het geheugen van een Collatz reeks, deel 2

[Professor Puntje]

Of T_n uiteindelijk naar een lus met 1 afdaalt hangt er helemaal vanaf wat \( \mathcal{A} \) en \( \mathcal{B} \) voor n -> ∞ doen. Meer bepaald moet dan ook de factor \( ( \frac{3}{2})^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \,\, + \,\, \frac{ \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{\mathcal{A}(T_0,n) } } \) voor n -> ∞ naar oneindig gaan wil er überhaupt een lus met 1 kunnen optreden!

Op die manier wel, maar dat is niet wat de bedoeling is, het hoeft niet met ∞ de definitie moet dus anders:

De stelling moet zijn, om Collatz waar te laten zijn,

moeten we bewijzen dat in de willem-breuk na n iteraties de verhouding tussen teller en noemer convergeert naar 1.

\( \lim\limits _{n\rightarrow x }\frac{t_{n}}{n_{n}}=1 \)

overigens als n=∞ , is het vemoeden onjuist, want dan zou de reeks nooit stoppen.

En daarom hebben we \( \mathcal{D} \) ontwikkeld, om deze stelling te kunnen bewijzen,

Een uitdrukking als \( \lim\limits _{n\rightarrow x }\frac{t_{n}}{n_{n}}=1 \) heeft voor een discrete n geen zin, want die n kan helemaal niet naar x naderen. Je begrijpt duidelijk niet hoe limieten werken en hoe ze gedefinieerd zijn. Dit leidt zo tot niets.

[WillemB]

Oke, ik heb het wiskunde boek in de versnipperaar gedaan, koop wel weer een update,

Hoe moet de formule dan zijn voor:
als de willem-breuk na n iteraties, de verhouding tussen teller en noemer convergeert naar 1.

[Regor]

@WillemB,

(cross post)
(Erger U niet aan mijn post aub.)
U schreef:
"moeten we bewijzen dat in de willem-breuk na n iteraties de verhouding tussen teller en noemer convergeert naar 1."
Elke iteratie moet wel een natuurlijk getal opleveren, geen rationale breuk getal.

[WillemB]

@WillemB,

(cross post)
(Erger U niet aan mijn post aub.)
U schreef:
"moeten we bewijzen dat in de willem-breuk na n iteraties de verhouding tussen teller en noemer convergeert naar 1."
Elke iteratie moet wel een natuurlijk getal opleveren, geen rationale breuk getal.

Wees gerust, laat mij niet ergeren, maar het klopt wat je schrijft, maar in deze setting
is niet mogelijk zijn om een gebroken breuk te krijgen, zowel dan is de breuk ongeldig.

[Professor Puntje]

Geïmporteerd uit ander topic:

Kan AI dit even nakijken?

Definieer de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ... , T_n , ... als volgt:

\( T_{n+1} = \,\,\,\,\, \frac{T_n}{2} \,\,\,\,\, \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is even} \)

\( T_{n+1} = \frac{ 3 \cdot T_n \, + \, 1}{2} \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is oneven} \)


Laat de willem-breuk wb(z,a,b,c) voor alle \( z \in \mathbb{N} \) en \( a,b,c \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd zijn als:

\( \mbox{wb}(z,a,b,c) = \frac{ 3^a \cdot z \, + \, b }{ 2^c } \)

We definiëren nu de functie \( \mathcal{A} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) , de functie \( \mathcal{B} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) en de functie \( \mathcal{C} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) als volgt:

(i) Het startpunt voor alle \( x \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{A}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{B}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{C}(x,0) = 0 \)

(ii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle even \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) in \( \mathbb{N} \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = \mathcal{B}(x,n) \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

(iii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle oneven \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = 3 \mathcal{B}(x,n) + 2^{\mathcal{C}(x,n)} \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

( Steeds met \( \mathbb{N} = \{1,2,3, ... \} \) en \( \mathbb{N}_o = \{0,1,2,3, ... \} \). )

We zien dat de willem-breuk \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) voor \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) steeds een geheel getal blijft zodat je kunt uitmaken of de betreffende willem-breuk even of oneven is. Ook zien we dat de functiewaarden van \( \mathcal{A} \) , \( \mathcal{B} \) en \( \mathcal{C} \) inderdaad steeds binnen \( \mathbb{Z} \) vallen. En daarmee zijn de functiewaarden van de functies \( \mathcal{A}\) , \( \mathcal{B}\) en \( \mathcal{C} \) voor alle \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd.



STELLING. Voor \( X(T_0,n) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \) en voor alle \( T_0 \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) is de rij:

X(C₀,0), X(C_0,1), X(C₀,2), X(C₀,3), ... , X(C₀,n), ... identiek aan de verkorte Collatz-rij:

T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ...


BEWIJS. Laat \( X(T_0,n) \) zijn als in de stelling omschreven. Dan hebben we voor alle \( T_0 \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \):

(i) Voor n=0:

\( X(T_0,0) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,0), \mathcal{B}(T_0,0), \mathcal{C}(T_0,0) ) \)

\( X(T_0,0) = \mbox{wb}(T_0, 0, 0, 0) \)

\( X(T_0,0) = T_0 \)


(ii) Voor even \( X(T_0,n) \) is dan \( \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \) even. Zodat:

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n+1), \mathcal{B}(T_0,n+1), \mathcal{C}(T_0,n+1) ) \)

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n)+1 ) \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{\mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{X(T_0,n)}{2} \)


(iii) Voor oneven \( X(T_0,n) \) is dan \( \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \) oneven. Zodat:

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n+1), \mathcal{B}(T_0,n+1), \mathcal{C}(T_0,n+1) ) \)

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n)+1, \, 3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) + 2^{\mathcal{C}(T_0,n)}, \, \mathcal{C}(T_0,n) + 1 ) \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n)+1 } \cdot T_0 \,\, + \,\, (3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) + 2^{\mathcal{C}(T_0,n)} ) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n) + 1 }} \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n)+1 } \cdot T_0 \,\, + \,\, (3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) + 2^{\mathcal{C}(T_0,n)} ) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n)}} \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \left ( \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n)+1 } \cdot T_0 \,\, + \,\, 3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n) }} \,\, + \,\, 1 \right ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \left ( 3 \cdot \frac{ 3^{\mathcal{A}(T_0,n)} \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n) }} \,\, + \,\, 1 \right ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = ( 3 \cdot \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \,\, + \,\, 1 ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = ( 3 \cdot X(T_0,n) \,\, + \,\, 1 ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{3 \cdot X(T_0,n) \,\, + \,\, 1 }{2} \)

Waaruit we zien dat \( X(T_0,n) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )\) de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... oplevert.

[Professor Puntje]

Wat we uit het vorige (maar weer even geciteerde) berichtje zien is dat \( \mathcal{A}(T_0,n) \) voor n=0 bij 0 begint en vervolgens voor iedere n waarbij T_n even is gelijk blijft en voor iedere n waarbij T_n oneven is met 1 toeneemt.

[Professor Puntje]

We vinden ook nog:

Iedere verkorte Collatz-rij heeft minstens één oneven term, noem zo'n term t₁ en noem de op t₁ volgende term v₁. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₁ weer minstens één oneven term. Noem zo'n term t₂ en noem de op t₂ volgende term v₂. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₂ weer minstens één oneven term. Noem zo'n term t₃ en noem de op t₃ volgende term v₃. Dan heeft ook de verkorte Collatz-rij met startterm v₃ weer minstens één oneven term. Ad infinitum. Dus iedere verkorte Collatz-rij heeft oneindig veel oneven termen.

[Professor Puntje]

Dus ook voor \( \mathcal{A}(T_0,n) \) geldt:

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{A}(T_0,n) = \infty \)

[Regor]

@PP,

U schreef:
"Dus iedere verkorte Collatz-rij heeft oneindig veel oneven termen."
Mee eens als men de optredende repeterende lus 1,2,1 meetelt ....... maar dat hoeft toch niet.
Ik bedoel , het is meer nadelig in een bewijs dan voordelig ....... denk ik.

[Professor Puntje]

Nee - je weet niet of de rij in een lus eindigt en zelfs als je dat wel zou weten dan weet je nog niet bij welke n dat dan gebeurt. Het gevolg is dat je in je bewijs bij een afbrekende rij voortdurend moet controleren of de betreffende term waar je het over hebt voor de n waar je het over hebt nog wel bestaat. Maar dat laatste weet je voor het algemene geval ook weer niet, want als je dat wel wist dan had je het Collatz vermoeden al bewezen of weerlegd. Een hopeloze aanpak dus tenzij je enkel Collatz-rijen met bekende startgetallen bekijkt, maar dat laatste leidt dan weer niet tot een algemeen bewijs...

[WillemB]

Dus ook voor \( \mathcal{A}(T_0,n) \) geldt:

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathcal{A}(T_0,n) = \infty \)

Na veel zoeken toch iets gevonden , waar men op vergelijkbare (volgens mij) manier ook hier mee bezig was,

En als ik het goed begrijp ( maar hier schiet mijn kennis denk ik te kort) bewijst dat het niet ∞ kan zijn.
Ik zie in deze link ook een soort willem-breuk voorbij komen.

https://pubs.sciepub.com/tjant/8/2/5/index.html
en ook in pdf formaat:

tjant-8-2-5

(111.19 KiB) 20 keer gedownload

[Professor Puntje]

De bewijs-poging waar je naar linkt lijkt meer op de aanpak van Fermat1637.

[Professor Puntje]

Nog even terug:

We hadden dit:

Definieer de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ... , T_n , ... als volgt:

\( T_{n+1} = \,\,\,\,\, \frac{T_n}{2} \,\,\,\,\, \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is even} \)

\( T_{n+1} = \frac{ 3 \cdot T_n \, + \, 1}{2} \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is oneven} \)


Laat de willem-breuk wb(z,a,b,c) voor alle \( z \in \mathbb{N} \) en \( a,b,c \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd zijn als:

\( \mbox{wb}(z,a,b,c) = \frac{ 3^a \cdot z \, + \, b }{ 2^c } \)

We definiëren nu de functie \( \mathcal{A} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) , de functie \( \mathcal{B} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) en de functie \( \mathcal{C} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) als volgt:

(i) Het startpunt voor alle \( x \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{A}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{B}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{C}(x,0) = 0 \)

(ii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle even \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) in \( \mathbb{N} \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = \mathcal{B}(x,n) \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

(iii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle oneven \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = 3 \mathcal{B}(x,n) + 2^{\mathcal{C}(x,n)} \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

( Steeds met \( \mathbb{N} = \{1,2,3, ... \} \) en \( \mathbb{N}_o = \{0,1,2,3, ... \} \). )

We zien dat de willem-breuk \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) voor \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) steeds een geheel getal blijft zodat je kunt uitmaken of de betreffende willem-breuk even of oneven is. Ook zien we dat de functiewaarden van \( \mathcal{A} \) , \( \mathcal{B} \) en \( \mathcal{C} \) inderdaad steeds binnen \( \mathbb{Z} \) vallen. En daarmee zijn de functiewaarden van de functies \( \mathcal{A}\) , \( \mathcal{B}\) en \( \mathcal{C} \) voor alle \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd.


Dus krijgen we nu:

(i) Het startpunt voor alle \( x \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{A}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{B}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{C}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{D}(x,0) = \mathcal{C}(x,0) - \mathcal{A}(x,0) = 0 - 0 = 0 \)

(ii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle even \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) in \( \mathbb{N} \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = \mathcal{B}(x,n) \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{D}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n+1) - \mathcal{A}(x,n+1) = (\mathcal{C}(x,n) + 1) - \mathcal{A}(x,n) = (\mathcal{C}(x,n) - \mathcal{A}(x,n) ) + 1 = \mathcal{D}(x,n) + 1 \)

(iii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle oneven \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = 3 \mathcal{B}(x,n) + 2^{\mathcal{C}(x,n)} \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{D}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n+1) - \mathcal{A}(x,n+1) = (\mathcal{C}(x,n) + 1) - (\mathcal{A}(x,n) + 1) = \mathcal{C}(x,n) - \mathcal{A}(x,n) = \mathcal{D}(x,n) \)

Dus is \( \mathcal{D} \) een niet-dalende functie van n.

[Professor Puntje]

Uit het vorige berichtje zien we dat:

\( \mathcal{C}(T_0,n) = n \)

Dus:

\( \mathcal{D}(T_0,n) = \mathcal{C}(T_0,n) - \mathcal{A}(T_0,n) \)

\( \mathcal{D}(T_0,n) = n - \mathcal{A}(T_0,n) \)

\( \mathcal{A}(T_0,n) = n - \mathcal{D}(T_0,n) \)

[Professor Puntje]

Ik heb voor T_n in de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... dat::

\( T_n = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )\)

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{C}(T_0,n) } } \)

Maar wat kun je daarmee?

Dus met de pas gedefinieerde \( \mathcal{D} \) wordt dat dan:

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{D}(T_0,n) + \mathcal{A}(T_0,n) } } \)