Allen,
Ik heb het gevoel dat er in deze discussie wat misvattingen zijn over de wiskundige basisconcepten en hun gevolgen. Ik ga trachten de essentie weer te geven en zal om die reden de rigoureuze wiskundige definities achterwege laten.
Laten we starten met de manifold of variëteit die in de ART gebruikt wordt als model van de ruimtetijd. Dit is een verzameling van punten ( gebeurtenissen) waarop een topologie is gedefinieerd. Deze topologie lijkt lokaal op de normale topologie van de euclidische ruimte en is glad (smooth). De motivatie voor eigenschappen van de topologie? Voor de eerste eigenschap is natuurlijk om berekeningen te kunnen uitvoeren (en daarvoor gaan we altijd terug naar de euclidische ruimte ) Voor de tweede eigenschap om differentiatie zonder problemen te kunnen toepassen.
Hier boven op kan nog een metriek gedefinieerd worden zodat "afstanden" tussen de punten van de verzameling kunnen bepaald worden.Deze laatste eis zorgt ervoor dat we zonder problemen kunnen differentiëren.
Enkele gevolgen:
- Een gebeurtenis is dus 1 element van een verzameling, voor de ruimtetijd dus gewoon een plaats ( 3 coördinaten) en een tijdstip. De moord op Kennedy is in deze context dus geen gebeurtenis, ook geen experiment in een labo of iemand die in een zwart gat valt.
De ruimtetijd zegt niets over wat er natuurkundig in die ruimte bevindt (massa, energie...), maar geeft enkel de vorm van de ruimtetijd weer.
Aangezien ruimtetijd een verzameling is, is er geen enkele reden dat deze in een hogere dimensie zou zijn ingebed. Lees ruimtetijd hoeft geen deelverzameling te zijn van een grotere verzameling.44
Als we werken in een gladde variëteit kunnen we niets zinnigs zeggen over echte singulariteiten (er zijn ook onechte die veroorzaakt worden de wijze hoe we de euclidische topologie overbrengen op de variëteit (maps of kaarten)
Om eigenschappen zoals massa, afstand, snelheid... in de ruimtetijd beschrijven, kennen we aan elke gebeurtenis (element van de verzameling) een vectorruimte toe. Al deze vectorruimten vormen een vectorveld. Per punt kunne er natuurlijk verschillende vectorruimten gekoppeld worden. Zo krijgen we bv een vectorveld voor de energie en impuls eentje voor de snelheid enz.
Deze vectorruimten en velden liggen dus niet in de ruimtetijd maar zijn onafhankelijke wiskundige objecten.
Eén van diepere principes van de natuur, volgens onze natuurkundigen , is dat de natuurwetten onafhankelijk zijn van het gekozen referentiestelsel. Dit wil zeggen dat fundamentele grootheden onveranderlijk zijn ongeacht wie ze meet. De ruimtetijd- afstand is zo'n grootheid, onze ruimteafstand bv niet.
Daarom werken we in de ART niet met gewone vectorruimten maar met tensoruimten, die juist de eigenschap hebben dat de grootheden die we kunnen affleiden uit die tensoren onafhankelijk te zijn van het gekozen referentiestelsel (bv de kromming berekend uit de krommingstensor)
Wat nu met de raakruimte?
Omdat het handig is dat de basis van de tensorruimte in een punt afhankelijk is van de coordinaten in de varieteit, koppelen we beiden door middel van de raakvlakkonstructie, die louter een visualisatie is van hoe we beide bassisen op elkaar kunnen afstemmen . Maw de raakvlakruimte raakt niet echt aan de manifold, de tensorruimte is immers een onafhankelijke wiskundige entiteit die louter toegekend is aan een punt van de variëteit maar daar niet in of aan ligt. Een raakruimte hoeft dus ook geen hogere inbedding.
Nog even kort over actieve en passieve transformatie: passieve transformatie is een transformatie die zicch afspeeld binnen de varieteit (een hermapping van de topologie) de actieve is het toekennen van andere punten ( van de variëteit) aan de tensorruimten.
Ik ga afsluiten want het wordt me te laat.
Er zullen ongetwijfeld fouten staan in bovengaande tekst want mijn diff geometrie is wat roestig. Maar ik hoop dat dit aanzet tot een beter begrip voor sommige wiskundige keuzes.
