Delen door nul

[Math-E-Mad-X]

f(a) = g(a).0 .

(Ik weet wel dat bovenstaande voor alle reële waarden van g(a) geldt, maar het gaat om een intuïtief aansprekende waarde waarmee onze theorie mogelijk verder komt.)

je bedoelt of we een functie g kunnen vinden zodanig dat

\(\frac{f(a)}{0} = g(a)\)

een 'zinnige' waarde heeft. Het antwoord is ja:

voor x is niet nul definieren we:

\(g(x) = \frac{f(x)}{x}\)

en voor x = 0:

\(g(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}\)

Maar goed, dan zijn we dus toch weer met limieten bezig, wat je nou juist wilde voorkomen. Het lijkt me alleen dat dit de enige echt zinnige oplossing is.

[Bartjes]

je bedoelt of we een functie g kunnen vinden zodanig dat

\(\frac{f(a)}{0} = g(a)\)

een 'zinnige' waarde heeft. Het antwoord is ja:

voor x is niet nul definieren we:

\(g(x) = \frac{f(x)}{x}\)

en voor x = 0:

\(g(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}\)

Maar goed, dan zijn we dus toch weer met limieten bezig, wat je nou juist wilde voorkomen. Het lijkt me alleen dat dit de enige echt zinnige oplossing is.

Dit is inderdaad een moeilijk punt. Mijn gedachten gingen uit naar het gebruik van reeksen of oneindige producten, maar hoe kom je daar dan aan (zonder differentiaal- en integraalrekening)?

Een oplossing is wellicht wel mogelijk door terug te grijpen op de rekentrucs die binnen de oude infinitesimaalrekening werden gebruikt, vóór de introductie de strenge epsilon-delta-versie van de limietovergang. Het probleem met die oude trucs was dat ze niet rigoureus waren. Daar hoeven we hier echter geen last van te hebben, zolang we ze maar op een eenduidige manier in de definitie van het pseudo-quotiënt invoegen. - Of dit gaat lukken moet ik nog uitzoeken.

[Math-E-Mad-X]

Dit is inderdaad een moeilijk punt. Mijn gedachten gingen uit naar het gebruik van reeksen of oneindige producten, maar hoe kom je daar dan aan (zonder differentiaal- en integraalrekening)?

Een oplossing is wellicht wel mogelijk door terug te grijpen op de rekentrucs die binnen de oude infinitesimaalrekening werden gebruikt, vóór de introductie de strenge epsilon-delta-versie van de limietovergang. Het probleem met die oude trucs was dat ze niet rigoureus waren. Daar hoeven we hier echter geen last van te hebben, zolang we ze maar op een eenduidige manier in de definitie van het pseudo-quotiënt invoegen. - Of dit gaat lukken moet ik nog uitzoeken.

ben benieuwd

[Bartjes]

Zeer veel in de praktijk belangrijke functies kunnen in een machtsreeks ontwikkeld worden. Wat we kunnen doen is de theorie verder uitwerken voor uitdrukkingen waarin eindige beginstukken (zeg t/m de N-de term) van dergelijke reeksen zijn opgenomen. Als er dan een waarde W voor N is zodanig dat steeds dezelfde uitkomst optreedt voor N > W rekenen we die niet meer veranderende uitkomst ook als de uitkomst voor de uitdrukking waarin de beginstukken van de machtsreeksen door de bijbehorende functies zijn vervangen.

Zo heb je niet langer een alternatief voor de huidige analyse, maar nog wel een (mogelijke) uitbreiding. Een uitdrukking als:

\( \frac{(0 \, . \, 5) \, . \, 16}{3 - 3} \)

heeft immers in de huidige analyse geen betekenis, maar in de hier ontwikkelde theorie (hopelijk) wel.

[Bartjes]

Zeer veel in de praktijk belangrijke functies kunnen in een machtsreeks ontwikkeld worden. Wat we kunnen doen is de theorie verder uitwerken voor uitdrukkingen waarin eindige beginstukken (zeg t/m de N-de term) van dergelijke reeksen zijn opgenomen. Als er dan een waarde W voor N is zodanig dat steeds dezelfde uitkomst optreedt voor N > W rekenen we die niet meer veranderende uitkomst ook als de uitkomst voor de uitdrukking waarin de beginstukken van de machtsreeksen door de bijbehorende functies zijn vervangen.

Dit moet dan alleen gedaan worden wanneer 0/0 optreedt, anders kan je gewoon met de normale functiewaarde verder rekenen.

Het probleem van de onoverzichtelijkheid van de hier ontwikkelde theorie kan worden verholpen door te werken met boomvormige voorstellingen. Zo kunnen we:

\( \frac{(0 \, . \, 5) \, . \, 16}{3 - 3} \)

voorstellen door:

Code: Selecteer alles

 0   5  

  \ /

   .  16   3   3

\ /	 \ /

 .	   -

  \	 / 

 :

[venra]

Bartjes,

Als je hier op zoek gaat naar methoden om '0' een waarde te geven door middel van een rugzak,

en ik jou in een ander topic zie zoeken naar een wiskunde waarin 0,99... verschillend is van 1,

dan kan ik hier enkel uit afleiden dat

a) Je wiskunde niet echt snapt

b) Je problemen zoekt die er niet zijn

Je hebt immers nog steeds geen uitgewerkt voorbeeld gegeven waar de huidige wiskunde met een bepaalde 0 geen weg kan (hetzij onmogelijk, hetzij hopeloos omslachtig)(en waar jou methode dus eventueel wel uitweg zou kunnen bieden)

Ik geef je dan ook het voordeel van de twijfel en dus (b)

[Bartjes]

Je problemen zoekt die er niet zijn

De grote problemen binnen de wis- en natuurkunde worden al onderzocht door professionele wetenschappers. Zo nu en dan waag ik wel eens iets in die richting, maar de kans dat ik daar als relatieve amateur iets aan zal kunnen bijdragen is miniem. De meeste energie stop ik daarom tegenwoordig in kwesties waaraan door de officiële wetenschap weinig belang wordt gehecht. Dat ik ooit nog eens iets zal ontdekken dat als recreatieve wis- of natuurkunde van waarde is, acht ik niet uitgesloten.

Overigens streef ik wel naar deugdelijk werk. Aangezien ik niet méér fouten maak dan andere gewaardeerde schrijvers op het Wetenschapsforum, heb ik daar ook wel enig vertrouwen in. Mocht je echter fouten in mijn bijdragen aantreffen dan hoor ik dat graag.

Of het huidige topic iets zal opleveren is nog onzeker, alle hulp is welkom.

[Math-E-Mad-X]

a) Je wiskunde niet echt snapt

b) Je problemen zoekt die er niet zijn

Uit dit topic en andere topics krijg ik de indruk dat Bartjes prima begrijpt waar hij mee bezig is, dus daar ligt het niet aan. Op zich ben ik het met je eens dat Bartjes hier 'problemen' aanpakt die er niet echt zijn, maar dat doet er wat mij betreft niet toe.

Wiskunde kan ook heel interessant zijn zonder praktische toepassingen! Dat delen door nul in de praktijk niet echt een probleem is, neemt niet weg dat het prima is om op zoek te gaan naar nieuwe wiskundige formuleringen die dat wel mogelijk maken. Al was het maar puur voor de lol, zonder de pretentie om daadwerkelijk praktische toepassingen te vinden.

[Math-E-Mad-X]

@Bartjes: Ik zat gisteren nog eens aan dit topic te denken, en bedacht ineens een simpele reden waarom delen door nul in de praktijk ongedefinieerd moet zijn.

Stel je het volgende experiment voor: Een auto rijdt met constante snelheid langs de x-as. Jan en Piet proberen samen de snelheid van de auto te bepalen. Ze doen allebei een meting, dat wil zeggen: Jan kiest een willekeurig tijdstip t1 en meet de positie x1 van de auto op dat moment. Piet kiest een willekeurig tijdstip t2 meet de positie x2 op dat moment.

Dan kunnen ze met deze twee metingen de snelheid van de auto bepalen:

\(v = \frac{x_1 - x_2}{t_1 - t_2}\)

Maar stel nou dat ze per ongeluk, toevallig allebei hetzelfde moment hebben uitgekozen om hun meting te doen,

dus t1 = t2 (en x1 = x2). Wat is nu volgens jouw wiskunde de snelheid van de auto?

\(v = \frac{0}{0} = ... ?\)

Het zou natuurlijk onzin zijn om nu te beweren dat de snelheid 1 m/s is, want de echte snelheid zou net zo iedere andere waarde kunnen zijn. Het enige echte juiste antwoord is natuurlijk dat het experiment mislukt is, en de snelheid onbekend, precies zoals de standaard wiskunde zegt.

En stel nou dat Jan en Piet hun uitkomsten in eerste instantie in meters en seconden noteren. Maar vervolgens besluiten over te gaan in milimeters en miliseconden:

\(v = \frac{1000 \cdot 0}{1000 \cdot 0} = ... ?\)

Wat is nu het antwoord?

[Bartjes]

Wiskunde kan ook heel interessant zijn zonder praktische toepassingen! Dat delen door nul in de praktijk niet echt een probleem is, neemt niet weg dat het prima is om op zoek te gaan naar nieuwe wiskundige formuleringen die dat wel mogelijk maken. Al was het maar puur voor de lol, zonder de pretentie om daadwerkelijk praktische toepassingen te vinden.

Precies hoe ik er over denk!

[Bartjes]

@Bartjes: Ik zat gisteren nog eens aan dit topic te denken, en bedacht ineens een simpele reden waarom delen door nul in de praktijk ongedefinieerd moet zijn.

Stel je het volgende experiment voor: Een auto rijdt met constante snelheid langs de x-as. Jan en Piet proberen samen de snelheid van de auto te bepalen. Ze doen allebei een meting, dat wil zeggen: Jan kiest een willekeurig tijdstip t1 en meet de positie x1 van de auto op dat moment. Piet kiest een willekeurig tijdstip t2 meet de positie x2 op dat moment.

Dan kunnen ze met deze twee metingen de snelheid van de auto bepalen:

\(v = \frac{x_1 - x_2}{t_1 - t_2}\)

Maar stel nou dat ze per ongeluk, toevallig allebei hetzelfde moment hebben uitgekozen om hun meting te doen,

dus t1 = t2 (en x1 = x2). Wat is nu volgens jouw wiskunde de snelheid van de auto?

\(v = \frac{0}{0} = ... ?\)

Het zou natuurlijk onzin zijn om nu te beweren dat de snelheid 1 m/s is, want de echte snelheid zou net zo iedere andere waarde kunnen zijn. Het enige echte juiste antwoord is natuurlijk dat het experiment mislukt is, en de snelheid onbekend, precies zoals de standaard wiskunde zegt.

En stel nou dat Jan en Piet hun uitkomsten in eerste instantie in meters en seconden noteren. Maar vervolgens besluiten over te gaan in milimeters en miliseconden:

\(v = \frac{1000 \cdot 0}{1000 \cdot 0} = ... ?\)

Wat is nu het antwoord?

Wat je bij meting vindt zijn getallen zonder rugzakje, en daar heeft mijn theorie geen betrekking op. In zulke gevallen is er inderdaad geen doorslaggevende reden om 0/0 een bepaalde waarde te geven. (Behalve wellicht in zeer speciale gevallen waarbij je van te voren weet dat er maar één waarde van pas komt.)

Om een situatie te krijgen waarbij je de gevonden waarden als getallen met rugzakje kan beschouwen, zou je uit moeten gaan van:

\( x = v \cdot t \, + \, x_0 \)

In het geval t₁ = t₂ krijgen we dan:

\( \frac{x_1 - x_2}{t_1 - t_2} = \frac{x_1 - x_1}{t_1 - t_1} \)

\( \frac{x_1 - x_2}{t_1 - t_2} = \frac{( v \cdot t_1 \, + \, x_0 ) - ( v \cdot t_1 \, + \, x_0 )}{t_1 - t_1} \)

Nu is het de vraag of je de regels voor de evaluatie van uitdrukkingen met getallen met een rugzakje zo kan definiëren dat de bovenstaande uitdrukking v oplevert. Dat zou natuurlijk wel heel mooi zijn...

[Math-E-Mad-X]

Wat je bij meting vindt zijn getallen zonder rugzakje, en daar heeft mijn theorie geen betrekking op.

Met deze uitspraak begeef je je op heel gevaarlijk terrein. Wat wat bedoel je, wiskundig gezien, met een meting? Je theorie is dus alleen nog maar geldig voor getallen die niks met de getallen te maken hebben die we in de natuur tegen komen. Dan komen we opnieuw uit bij de vraag in hoeverre je nog echt met natuurlijke getallen bezig bent. Het lijkt erop dat je alleen nog maar met puur abstracte objecten aan het werken bent die alleen nog qua notatie op de natuurlijke getallen lijken.

Ander voorbeeld:

\(f(x,y) = \frac{x}{y}\)

hoeveel is f(0,0)?

\(g(x , y) = \frac{x^2}{y} = x \cdot \frac{x}{y}\)

hoeveel is g(0,0)?

Nu passen we substitutie op deze laatste uitdrukking toe, en vervangen de variable x door

\(\sqrt{z}\)

dus

\( z = x^2\)

\(h(z,y) = \frac{z}{y} \)

hoeveel is h(0,0)?

[Bartjes]

Ander voorbeeld:

\(f(x,y) = \frac{x}{y}\)

hoeveel is f(0,0)?

1

\(g(x , y) = \frac{x^2}{y} = x \cdot \frac{x}{y}\)

hoeveel is g(0,0)?

0.1 = 0

Nu passen we substitutie op deze laatste uitdrukking toe, en vervangen de variable x door

\(\sqrt{z}\)

dus

\( z = x^2\)

\(h(z,y) = \frac{z}{y} \)

hoeveel is h(0,0)?

1

Wat we hier uit zien is dat getallen met een rugzakje niet zonder meer in functies opgevat als afbeelding van de ene verzameling getallen (het domein) naar de andere verzameling getallen (het bereik) zijn toe te passen. Dit komt daardoor dat een getal met een rugzakje de exacte berekening met zich meedraagt waar dit getal de uitkomst van is. Voor functies - in de moderne opvatting - is de feitelijke berekening niet relevant, en gaat het alleen om de koppeling van de getallen uit het domein (de argumenten) aan de getallen uit het bereik (de functiewaarden).

De meest inzichtelijke voorstelling van getallen met een rugzakje (en meer bepaald van de inhoud het rugzakje) die ik gevonden heb, is de boomvormige voorstelling. Zoals al eerder aangegeven kunnen we:

\( \frac{(0 \, . \, 5) \, . \, 16}{3 - 3} \)

voorstellen door:

Code: Selecteer alles

 0   5  

  \ /

   .  16   3   3

\ /	 \ /

 .	   -

  \	 / 

 :

Verschillende uitdrukkingen voor een zelfde functie leveren dus ook verschillende getallen met een rugzakje op. Ook is een uitdrukking niet steeds eenduidig aan een functie te koppelen. Zo kunnen we:

\( \frac{(0 \, . \, 5) \, . \, 16}{3 - 3} \)

zien als:

f(0,3) voor

\(f(x,y) = \frac{(x \, . \, 5) \, . \, 16}{y - 3} \)

f(3) voor

\(g(x) = \frac{(0 \, . \, 5) \, . \, 16}{3 - x} \)

Etc.

Laat verder:

x(t,p) = 5.t + 3.p + 8

waarin x de afgelegde weg is, t de verstreken tijd en p een extra parameter.

We zouden dan kunnen proberen de "snelheid" van 5 voor de waarde van de parameter p=0, bekeken op tijdstip t=0, uit onderstaande uitdrukking te herleiden:

\( \frac{ (5\cdot 0 \, + \, 3 \cdot 0 \, + \, 8) \, - \, (5\cdot 0 \, + \, 3 \cdot 0 \, + \, 8)}{0 - 0} \)

Maar het is duidelijk dat dit niet gaat lukken omdat de "snelheid" 5 en de parameter p die hier 0 is op exact de zelfde wijze in de uitdrukking voorkomen.

Kortom: de toepassing van getallen met een rugzakje in de functietheorie en/of infinitesimaalrekening is hopeloos.

[Math-E-Mad-X]

Kortom: de toepassing van getallen met een rugzakje in de functietheorie en/of infinitesimaalrekening is hopeloos.

Hehe, ja, dat is inderdaad de conclusie die ik je wilde laten trekken. En daarmee denk ik ook dat je theorie niet toepasbaar is in computerprogramma's, zoals je zelf eerder suggereerde. Anyway, we zijn het er allebei over eens dat toepassing niet belangrijk is. Dus even terug naar de theorie.

Misschien is dit een tip: defineer een getal '1-1' i.p.v. 0. Zodra je dan ergens bijvoorbeeld 3-3 tegenkomt, dan kan dit herschreven worden als 3 * (1-1). En verder definieer je (1-1) / (1-1) = 1.

Het getal '0' wordt dus helemaal niet meer begruikt, en in iedere berekening waarin je normaal gesproken '0' tegen zou komen moet je die '0' nu door (1-1) zien te vervangen.

Ik denk dat je hiermee een heleboel berekeningen een stuk inzichtelijker kunt maken. De vraag is nu of je hiermee inconsistenties kunt vinden.

Die notatie van jou, met dat boomdiagram lijkt me niet een handige oplossing. In feite geeft het diagram precies dezelfde informatie die de berekening zelf al geeft, dus je schiet er weinig mee op. Bovendien zie ik absoluut niet hoe je met deze diagrammen kunt rekenen (althans, het maakt je berekeningen niet makkelijker dan simpelweg met de formules te werken) dus ik zie niet in wat het boomdiagram toevoegt aan de formule.

[Bartjes]

Misschien is dit een tip: defineer een getal '1-1' i.p.v. 0. Zodra je dan ergens bijvoorbeeld 3-3 tegenkomt, dan kan dit herschreven worden als 3 * (1-1). En verder definieer je (1-1) / (1-1) = 1.

Het getal '0' wordt dus helemaal niet meer begruikt, en in iedere berekening waarin je normaal gesproken '0' tegen zou komen moet je die '0' nu door (1-1) zien te vervangen.

Ik denk dat je hiermee een heleboel berekeningen een stuk inzichtelijker kunt maken. De vraag is nu of je hiermee inconsistenties kunt vinden.

In die richting gaan we verder.

Die notatie van jou, met dat boomdiagram lijkt me niet een handige oplossing. In feite geeft het diagram precies dezelfde informatie die de berekening zelf al geeft, dus je schiet er weinig mee op. Bovendien zie ik absoluut niet hoe je met deze diagrammen kunt rekenen (althans, het maakt je berekeningen niet makkelijker dan simpelweg met de formules te werken) dus ik zie niet in wat het boomdiagram toevoegt aan de formule.

Ik zie de boomvoorstellingen niet als wezenlijk anders dan de uitgeschreven uitdrukking met de vele haakjes, maar meer als een grafisch alternatief dat - voor mij althans - veel inzichtelijker is. Maar voorlopig laten we dat dus even rusten.