3 van 3
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: zo 25 mar 2012, 18:07
door Safe
nee, nog niet met die definitie, die is voor mij compleet nieuw
Ok, dat is op dit moment geen probleem. Behalve dan dat je op deze manier het getal a, wat we voortaan (internationaal) als e zullen noteren, definieert.
Maw de functie e^x heeft als afgeleide in x=0 de waarde 1, raaklijn in dat punt heeft rc 1.
Dit heeft als gevolg dat de functie f(x)=e^x als afgeleide functie f'(x)=e^x, maw we hebben een functie waarvan de afgeleide de functie zelf is.
Laten we eens uitgaan van deze eigenschap:
f'(x)=f(x)
We beginnen met f(x)=1+x => f'(x)=1
aanpassen geeft: f(x)=1+x+x²/2 => f'(x)= 1+x
aanpassen ...
Nu jij!
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: zo 25 mar 2012, 19:10
door datenshi
Safe schreef:Ok, dat is op dit moment geen probleem. Behalve dan dat je op deze manier het getal a, wat we voortaan (internationaal) als e zullen noteren, definieert.
Maw de functie e^x heeft als afgeleide in x=0 de waarde 1, raaklijn in dat punt heeft rc 1.
Dit heeft als gevolg dat de functie f(x)=e^x als afgeleide functie f'(x)=e^x, maw we hebben een functie waarvan de afgeleide de functie zelf is.
Laten we eens uitgaan van deze eigenschap:
f'(x)=f(x)
We beginnen met f(x)=1+x => f'(x)=1
aanpassen geeft: f(x)=1+x+x²/2 => f'(x)= 1+x
aanpassen ...
Nu jij!
hier volg ik het niet echt
wat bedoel je precies met 'aanpassen'?
en hoe ben je aan de afgeleide van f(x)=1+x+x²/2 gekomen? f(x)=1+x+x² zou lukt mij wel, maar f(x)=1+x+x²/2 niet
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: zo 25 mar 2012, 19:48
door Safe
en hoe ben je aan de afgeleide van f(x)=1+x+x²/2 gekomen? f(x)=1+x+x² zou lukt mij wel, maar f(x)=1+x+x²/2 niet
Dat meen je niet, hoe lees jij x²/2 ?
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: zo 25 mar 2012, 22:01
door datenshi
Dat meen je niet, hoe lees jij x²/2 ?
als x² delen door 2
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: zo 25 mar 2012, 22:16
door Safe
Ok, dan kan je toch de afgeleide bepalen ...
Wat bedoel ik met aanpassen, dat we streven naar f(x)=f'(x)
We beginnen met:
f'(x)=1 => f(x)=1+x
f'(x)=1+x => f(x)=1+x+x²/2
...
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: ma 26 mar 2012, 17:26
door datenshi
Safe schreef:Ok, dan kan je toch de afgeleide bepalen ...
Wat bedoel ik met aanpassen, dat we streven naar f(x)=f'(x)
We beginnen met:
f'(x)=1 => f(x)=1+x
f'(x)=1+x => f(x)=1+x+x²/2
...
f'(x)=1+x+x²/2 => f(x)=1+x+x²+x³/6
zo ver kom ik, anders zou ik het niet weten
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: ma 26 mar 2012, 20:07
door Safe
Mooi, kan je nog een stap verder gaan?
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: ma 26 mar 2012, 21:09
door datenshi
f'(x)=1+x+x²+x³/6 => f(x)=1+x+x²+x³/3+x4/24
Het lijkt mij dat de formule steeds langer wordt
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: ma 26 mar 2012, 21:41
door Safe
Dat klopt.
Alleen moet het zijn: f(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+...=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...
Wat is nu: f'(x)=...
Kan je nu een algemene vorm geven?
Opm: schrijf ook met Latex.
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: di 27 mar 2012, 17:01
door datenshi
ik heb een beeld van de algemene vorm, maar ik weet de notatie daarvan niet
en wat houden die uitroeptekens precies in? zo'n notatie heb ik nog nooit geleerd
de algemene vorm lijkt me zoiets als:
\(f(x)=1+x^n/n!\)
maar ik weet niet hoe je dan noteert dat het stukje '
\(x^n/n!\)
' zich dan steeds herhaalt voor iedere waarde van n
is het voor de afgeleide iets zoals:
\(f'(x)=x^{(n-1)}/(n-1)!\)
maar dan nog met die herhaling waarvan ik niet weet hoe ik het moet noteren?
Re: Logaritme en ln
Geplaatst: di 27 mar 2012, 17:42
door Safe
datenshi schreef:ik heb een beeld van de algemene vorm, maar ik weet de notatie daarvan niet
en wat houden die uitroeptekens precies in? zo'n notatie heb ik nog nooit geleerd
de algemene vorm lijkt me zoiets als:
\(f(x)=1+x^n/n!\)
maar ik weet niet hoe je dan noteert dat het stukje '
\(x^n/n!\)
' zich dan steeds herhaalt voor iedere waarde van n
is het voor de afgeleide iets zoals:
\(f'(x)=x^{(n-1)}/(n-1)!\)
maar dan nog met die herhaling waarvan ik niet weet hoe ik het moet noteren?
en wat houden die uitroeptekens precies in?
Ken je de notatie (bv) 5! niet? Uitspraak: 5 faculteit. Definitie: 5!= 1*2*3*4*5 en 0!=1.
Je RM/GRM heeft er een toets voor ... , ga na wat 0! is
Ken je het somteken ... ?
\(\sum_{k=1}^5 k=1+2+3+4+5\)
Afgezien hiervan,
Heb je door dat f(x)=f'(x) voor alle x?
Nu 'de klap op de vuurpijl', deze functie noemen we nu per definitie e^x, dus:
\(e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\)
Bereken e nu eens in 4 decimalen ...