Wiskunde van de ART

[flappelap]

@ flappelap
 
Aan de ruimtetijd valt toch niets te verschuiven? Het geheel van alle gebeurtenissen (het heelal) is één blok, en de bewegingen van objecten en waarnemers zijn daarin dan slechts banen in die ruimtetijd. Hoe zou je je een actieve coördinatentransformatie dan nog kunnen voorstellen? Of begrijp ik je verkeerd?

Je kunt coördinatentransformaties opvatten als actieve transformaties die de gebeurtenissen (punten) in de ruimtetijd verschuiven. In plaats van dat jij b.v. 1 stap naar links zet, kun je ook een object 1 meter naar rechts verschuiven. Jullie onderlinge orientatie verandert daardoor niet, dus op papier zal zo'n transformatie er hetzelfde uitzien.

Omdat de alg.rel.theorie met algemene coordinatentransformaties werkt, zijn dit soort transformaties lokaal en kunnen ze dus van punt tot punt anders zijn (het zijn functies van de coördinaten).

Dat platonisme zit me bij het begrijpen van de hogere wis- en natuurkunde steeds weer in de weg. Uit wat de wiskundige objecten zijn volgt - in mijn optiek - aan wat voor regels ze voldoen en wat hun eigenschappen zijn, en daar volgt dan ten slotte weer uit wat je ermee kunt doen.
 
Ik zie voor mezelf maar twee oplossingen:
 
1. Een andere, meer praktijkgerichte filosofie van de wiskunde omarmen.
 
2. Een andere formalisering van tensoren zoeken waardoor de huidige praktijk van de tensorrekening wel tot in detail wordt gedekt.
 
Aangezien de mate van gestrengheid die ik nastreef kennelijk veel verder gaat dan de meeste wiskundigen nodig vinden, lijkt optie 1. geboden wil ik in de studie van de tensorrekening en de ART noemenswaardige voortgang kunnen boeken.

Ik vat wiskunde op als een taal met een zeer hoog ontwikkelde syntax. Voor mij is dat een heel bevredigende kijk op de wiskunde.

Maar dat wordt wat offtopic, vrees ik

[Professor Puntje]

@ Math-E-Mad-X
 
Die categorieën theorie fascineert mij ook dus misschien komt dat later nog, want zoals je al zegt raakt de ART dan wel heel ver uit beeld. Bij speuren op internet kwam ik overigens een boek over mathematische fysica op basis van categorieën theorie tegen:

https://books.google.nl/books?id=FvdJCgAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false

Is dat wat?

Wat de opbouw van het getallensysteem betreft zie ik dat zo:

Er zijn vele manieren om de reële (en complexe) getallen stapsgewijze en verzamelingstheoretisch correct te construeren. Zodra men dat langs één weg voor elkaar gekregen heeft is daarmee aangetoond dat er objecten bestaan die aan de axioma's van de reële getallen voldoen. Vervolgens kan men dan vanuit de axioma's van de reële getallen verder werken, die axioma's gelden dan op de wijze van de abstracte algebra voor alle verzamelingen objecten (met bijbehorende bewerkingen) die daaraan voldoen. Je stopt de hele formele machinerie van de reële getallen dan als het ware verder "onder de motorkap" en gaat verder met de axioma's. De gaandeweg opgebouwde formele inwendige structuur van de reële getallen doet er dan verder niet meer toe. Vervolgens is er ook niets problematisch meer aan om deelverzamelingen van R te vormen. Voor rationale, gehele, etc. getallen als reële getallen heb je dan ook geen aparte notatie meer nodig. Eventueel kun je tijdens de opbouw van het getallensysteem wel aparte notaties en benamingen gebruiken om verwarring met de latere deelverzamelingen van R te voorkomen.

Zo zou ik ook tevreden zijn wanneer ik een rijtje axioma's had met een bijpassend model waarin V = V** als identiteit (in plaats van slechts een isomorfisme) geldt. Of waarin T, A en B (uit berichtje #27) ook echt hetzelfde object zijn. Dat is dan mijn oplossing 2.

[mathfreak]

 Bij speuren op internet kwam ik overigens een boek over mathematische fysica op basis van categorieën theorie tegen:

https://books.google...epage&q&f=false

Is dat wat?

Ah, een oude bekende.  Die heb ik hierboven in mijn boekenkast staan

[Professor Puntje]

Ah, een oude bekende.  Die heb ik hierboven in mijn boekenkast staan

 
Heel mooi - dan ben ik ook benieuwd wat je ervan vindt!

[Professor Puntje]

Nog even over V en V**. Laat (V, +, . ) een eindigdimensionale vectorruimte zijn. Dan kunnen we van V de duale vectorruimte vormen, van die duale vectorruimte weer de duale vectorruimte, etc. Alle vectorruimten die je zo verkrijgt stoppen we in de verzameling W. Dan kun je in W equivalentieklassen van onderling isomorfe vectorruimten vormen. Daardoor wordt W dan opgedeeld in twee equivalentieklassen die ik W₀ en W₁ zal noemen:
 
W₀ bevat precies de vectorruimten V, V**, V****, etc.
 
W₁ bevat precies de vectorruimten V*, V***, V*****, etc.
 
(Klopt dit?)
 
Uitspraken over en operaties op representanten van de equivalentieklassen W₀ en W₁ kunnen dan (voor zover het aan hun bestaan als vectorruimten gerelateerde zaken betreft) worden geïnterpreteerd als uitspraken over en operaties op de equivalentieklassen W₀ en W₁ zelf (of als betrekking hebbende op alle vectorruimten tegelijk in de betreffende equivalentieklasse). De vectorruimten V en V** worden daarmee nog niet identiek, maar zij representeren dan wel dezelfde equivalentieklasse W₀.

[Math-E-Mad-X]

@Professor Puntje: Ja, dat is inderdaad ook een valide methode om er tegenaan te kijken.

[Professor Puntje]

Mede in verband met de opmerking van flappelap over coördinaattransformaties vraag ik mij het volgende af: zijn coördinatenstelsels noodzakelijk aan een waarnemer verbonden? Het lijkt mij namelijk van niet: je legt een net van coördinaten over (een deel van) de ruimtetijd dat aan zekere continuïteits-eisen moet voldoen, maar dat verder volstrekt willekeurig is. Of zich al dan niet op vaste ruimtelijke coördinaten in die coördinatenstelsels waarnemers bevinden lijkt mij daarbij irrelevant. Het wiskundige verband tussen die coördinaatstelsels heeft dan ook niets met de aan- of afwezigheid van waarnemers te maken.

Het onderscheid tussen actieve en passieve transformaties tussen coördinaatstelsels berust - als ik het goed begrijp - daarop dat men bij actieve transformaties coördinatenstelsels beschouwt waarbij zich in minstens één van die coördinatenstelsels op vaste ruimtelijke coördinaten een waarnemer bevindt. Maar maakt dat zo'n actieve transformatie dan wezenlijk anders dan een passieve transformatie?

 

[flappelap]

In de alg.rel.theorie karakteriseer je een waarnemer met een coördinatenstelsel. Maar niet elk coördinatenstelsel hoeft een waarnemer te beschrijven. Een voorbeeld daarvan zijn zgn. lichtkegelcoördinaten.

Het verschil tussen passieve en actieve coördinatentransformaties is er verder ook zonder waarnemers aan de stelsels te hangen. Het komt neer op de vraag of je je (1) punten transformeert en je coördinatenstelsel ongemoeid laat, of (2) je punten ongemoeid laat en je coördinatenstelsel transformeert. Optie (1) wordt door wiskundigen een "diffeomorfisme" genoemd. Natuurkundigen zijn daar vaak wat slordiger in. Als je b.v. Zee zijn boek leest over alg.relativiteit (een aanrader!), dan lees je

"Our good friend the Jargon Guy has been lobbying us to use the word diffeomorphism. “How can you write a book on general relativity without saying diffeomorphism?” Fine. We will say it,9 here being as good a place as anywhere."

Het "wezenlijke verschil" is conceptueel. Stel, je stelt je object voor als een schilderij en je coordinatenstelsel als de muur. Dan zit er een wezenlijk verschil tussen een schilderij dat scheef aan de muur hangt, of een schilderij dat aan een scheve muur hangt. Als in het ene geval b.v. het schilderij 20 graden met de klok uit het lood staat en in het andere geval de muur 20 graden tegen de klok in uit het lood staat, dan is de oriëntatie van het schilderij aan de muur in beide gevallen hetzelfde. Maar dat er een wezenlijk verschil tussen beide gevallen is, zul je met me eens zijn.

In veel tekstboeken zul je dan ook weinig aandacht zien voor dit verschil, maar het is naar mijn idee uitermate subtiel.

[Professor Puntje]

Het "wezenlijke verschil" is conceptueel. Stel, je stelt je object voor als een schilderij en je coordinatenstelsel als de muur. Dan zit er een wezenlijk verschil tussen een schilderij dat scheef aan de muur hangt, of een schilderij dat aan een scheve muur hangt. Als in het ene geval b.v. het schilderij 20 graden met de klok uit het lood staat en in het andere geval de muur 20 graden tegen de klok in uit het lood staat, dan is de oriëntatie van het schilderij aan de muur in beide gevallen hetzelfde. Maar dat er een wezenlijk verschil tussen beide gevallen is, zul je met me eens zijn.

 
Je lijkt door een aardse situatie met een boven en beneden te nemen (onbewust?) een soort van absoluut referentiekader te veronderstellen. Ik kan mij dat bij ether theorieën wel voorstellen maar volgens mij is zoiets binnen de ART niet de bedoeling. Omdat ik nu de ART probeer te begrijpen conformeer ik mij daar ook aan. Binnen de ART bestaan volgens mij geen scheve of rechte muren en/of schilderijen. Maar ze kunnen wel ten opzichte van elkaar al dan niet scheef staan of hangen.
 
Verder is het verplaatsen of roteren van een object nog wel voorstelbaar, maar geldt dat niet voor een gebeurtenis. Neem het afsteken van rotje. Je kunt in principe zelf kiezen waar en wanneer je dat rotje gaat afsteken. Maar wat je ook kiest, het afsteken van dat rotje zal zich dan slechts op de gekozen plaats en tijd voltrekken. Er kan aan die gebeurtenis niets meer verplaatst worden. Je kunt in gedachten dat rotje op allerlei tijden en plaatsen afsteken, en in die zin kun je die gedachte gebeurtenis verplaatsen, maar het feitelijke afsteken vindt enkel plaats waar en wanneer je dat doet. Ik zie niet hoe je een feitelijke gebeurtenis binnen de ruimtetijd (wat iets anders is dan een coördinatenstelsel) kunt verplaatsen. Eenzelfde gebeurtenis zou dan gedurende haar verplaatsing ook meerdere punten binnen de ruimtetijd moeten kunnen aandoen wat de zaak er niet eenvoudiger op maakt.

[mathfreak]

 
Heel mooi - dan ben ik ook benieuwd wat je ervan vindt!

Het is een boek dat ik, als ik les zou geven in mathematische fysica, zeker zou gebruiken en ook aan geïnteresseerde studenten zou aanbevelen.

[flappelap]

Je lijkt door een aardse situatie met een boven en beneden te nemen (onbewust?) een soort van absoluut referentiekader te veronderstellen.

Nee, geen absoluut referentiekader, maar een coördinatensysteem.

[Professor Puntje]

Nee, geen absoluut referentiekader, maar een coördinatensysteem.

 
Maar leg je dat coördinatensysteem ook over (een deel van) de ruimtetijd, of slechts over (een deel van) de ruimte?

[flappelap]

Maar leg je dat coördinatensysteem ook over (een deel van) de ruimtetijd, of slechts over (een deel van) de ruimte?

Ik gebruik de muur als referentiekader voor het schilderij, dus als (deel van) een coordinatenstelsel voor R2.

[Professor Puntje]

Ik gebruik de muur als referentiekader voor het schilderij, dus als (deel van) een coordinatenstelsel voor R2.

 
Uiteraard maakt het veel verschil of je een schilderij scheef hangt of een muur scheef zet, en net zo is er een verschil tussen het verplaatsen van een object over een eenmaal gekozen coördinatenstelsel dat je over (een deel van) de ruimte legt, en het verplaatsen van het coördinatenstelsel terwijl je het object ongemoeid laat. Daar is ook een fysisch meetbaar verschil tussen want verplaatsing van het object brengt voor dat object meetbare versnellingen met zich mee die bij het verplaatsen van het coördinatenstelsel uitblijven.

Punt is alleen dat je het coördinatenstelsel in dat geval alleen over de ruimte legt waardoor je de handen vrij houdt om het object op verschillende tijdstippen verschillende plaatsen te laten innemen. Als je het coördinatenstelsel over (een deel van) de ruimtetijd legt corresponderen de punten niet meer met objecten (of massapunten) maar met gebeurtenissen, en gebeurtenissen kun je niet verplaatsen. Een buiten het coördinatenstelsel vallende tijd is bij gebruik van een ruimtetijdelijk coördinatenstelsel immers niet meer beschikbaar. Ik zie althans niet hoe je concrete gebeurtenissen ten opzichte van coördinaten over de ruimtetijd zou kunnen verplaatsen. Daarom lijkt mij het beeld van een ten opzichte van ruimtelijke coördinaten verplaatsend object geen geschikte analogie om transformaties tussen coördinatenstelsels die over (een deel van) de ruimtetijd liggen mee te vergelijken.

Maar we kunnen die kwestie in dit topic als je wilt ook verder laten rusten: als het voor de wiskunde van de ART toch niets uitmaakt kan ieder daarover denken wat die wil.

[Professor Puntje]

Het is een boek dat ik, als ik les zou geven in mathematische fysica, zeker zou gebruiken en ook aan geïnteresseerde studenten zou aanbevelen.

 
Heb je toevallig ook het boek General Relativity from A to B van Geroch gelezen? Op basis van hetgeen ik daarover op internet lees twijfel ik of het voor mij interessant is om dat nog aan te schaffen: enerzijds lijkt het zeer diepgravend maar anderzijds ook enigszins triviaal voor wie de allereerste stappen op weg naar de ART al gezet heeft?