Vragen over 'A First Course in General Relativity' van Bernard Schutz

[Professor Puntje]

15.(d)

Laat:

\( \left (\begin{array}{cccc} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ) \)

Dan hebben we: \( \gamma = 2 \). Dus: v_x = v_y = v_z = 1/2 ( = c/2).

[Professor Puntje]

Laat een deeltje in frame \( \overline{O} \) een 3-snelheid W = (w_x,w_y,w_z)^T hebben. Voor de overeenkomstige viersnelheid in geometrische eenheden krijgen we dan:

\( \left (\begin{array}{cccc} W^0 \\ W^1 \\ W^2 \\ W^3 \end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma w_x \\ \gamma w_y \\ \gamma w_z \end{array} \right ) \)

Laat het frame \( \overline{O} \) vanuit \( O \) bezien met een 3-snelheid \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)^T \) bewegen. Dan beweegt \( O \) ten opzichte van \( \overline{O} \) met een 3-snelheid van \( -\mathbf{v} = (-v_x, -v_y, -v_z)^T \).

Dit is de uitgebreide lorentztransformetie:


(Wiki, https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation)


Moeten we hier nu echt die verschrikkelijke matrix gaan gebruiken om de componenten in O van de viervector W uit te rekenen? Of is er een snellere weg...?

[wnvl1]

Een Lorentztransformatie correspondeert met een lineaire transformatie van de ruimte-tijdcoördinaten, dus met een matrixvermenigvuldiging. Heel veel valt er dus niet te winnen in het algemeen, lijkt mij.

[Professor Puntje]

Dan laat ik die opgave maar schieten, ik zie niet wat het voor zin heeft dat allemaal te gaan uitschrijven.

[wnvl1]

Heeft inderdaad niet veel nut.

[flappelap]

Aan de andere kant: als je dit al veel gereken vindt staat je nog wel wat te wachten

Character-building

[Professor Puntje]

Het probleem is dat ik de zin er niet van inzie. Wanneer ik gemotiveerd ben heb ik geen problemen met lange afleidingen en berekeningen. Daar zijn er van mijn hand genoeg van op deze site en zijn voorganger te vinden. Allemaal zonder hulp van ChatGTP. Maar dit soort opgaven heeft meer weg van boekhouden, waar ik een gruwelijke hekel aan heb. Dit leidt niet tot inzicht. En om dat laatste is het mij te doen. Bij een kreet als "Shut up and calculate!" draait mijn maag om.

[Professor Puntje]

OK - hiermee verder:

[Professor Puntje]

17.(a) Laat de viervector \( \vec{U} \) voldoen aan:

i. \( \vec{U} \) is timelike.
ii. \( U^0 > 0 \).
iii. \( \vec{U} \cdot \vec{U} = -1 \) .

Voor punten op de wereldlijn van een deeltje met 3-snelheid 0 in een frame O hebben we \( \gamma = 1 \) en \( v_x = v_y = v_z = 0 \) met de bijbehorende viersnelheid \( \vec{V} \) waarvoor:

\( \vec{V} = (\gamma , \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z)^T \)

\( \vec{V} = (1 , 0, 0, 0)^T \)

Deze viersnelheid \( \vec{V} \) voldoet aan i., ii. en iii. .

[Professor Puntje]

Mag je in 17.(b) ook gebruiken dat:

i. \( \vec{V} \) is timelike.
ii. \( V^0 > 0 \).
iii. \( \vec{V} \cdot \vec{V} = -1 \) .

[wnvl1]

Ik denk dat voor 17.(a) gewoon

$$
x^\mu(\tau)=x_0^\mu+U^\mu\tau
$$

het antwoord is.

Voor (b) kan je normaliseren en dan (a) toepassen.

[Professor Puntje]

Is je antwoord op (a) de viervector-variant van x(t) = x₀ + vt ? En zo ja - moet dat dan niet nog bewezen worden dat dat voor viervectoren zo geldt?

[wnvl1]

Is je antwoord op (a) de viervector-variant van x(t) = x₀ + vt ?

ja

Is je antwoord op (a) de viervector-variant van x(t) = x₀ + vt ? En zo ja - moet dat dan niet nog bewezen worden dat dat voor viervectoren zo geldt?

Dat geldt voor vier vectoren. Ik weet eerlijk gezegd niet wat je zou willen bewijzen. Het lijkt mij triviaal.

[Professor Puntje]

Voor mij is niets aangaande viervectoren triviaal, ze komen op mij als uiterst gekunsteld over. Maar ik wil de ART begrijpen dus ik zal me erin moeten verdiepen.

[wnvl1]

Je werkt in een vlakke ruimte, dus je kan gewoon afleiden en integreren zoals in de euclidische ruimte.