Collatz Algebra?

[vijv]

- De interessantere bewerkingen zijn de functiecompositie en iteratie.
- De samenstelling vereist min of meer dat je \( \mathbb{Z} \) als domein kiest want anders moet je steeds weer controleren of een zekere samenstelling wel mogelijk is.

De samenstelling kan volgens mij beter als volgt gedefinieerd worden van C₀ x C₀ --> C₀
Mijn voorstel van neutraal element is dan wel correct

laat maar de samenstelling is niet gesloten in C₀

[Professor Puntje]

- De interessantere bewerkingen zijn de functiecompositie en iteratie.
- De samenstelling vereist min of meer dat je \( \mathbb{Z} \) als domein kiest want anders moet je steeds weer controleren of een zekere samenstelling wel mogelijk is.

De samenstelling kan volgens mij beter als volgt gedefinieerd worden van C₀ x C₀ --> C₀
Mijn voorstel van neutraal element is dan wel correct

laat maar de samenstelling is niet gesloten in C₀

Dat wordt inderdaad de volgende stap: wat is de minimaal noodzakelijke uitbreiding van \( \mathcal{C} \! o \) zodanig dat alle optellingen, vermenigvuldigingen en (functie)composities binnen die uitbreiding wel weer mogelijk zijn? En is er een canonieke vorm waarin die nieuwe elementen geschreven kunnen worden?

[R_Bena]

Opmerking moderator

Topic op verzoek verplaatst naar theorieontwikkeling

[Professor Puntje]

Een uitbreiding van \( \mathcal{C} \! o \) zodanig dat alle optellingen, vermenigvuldigingen en (functie)composities binnen die uitbreiding weer wel mogelijk zijn is lastig. De vermenigvuldiging zoals die nu gedefinieerd is laat zich niet generaliseren, ik zal daar een andere vorm voor moeten vinden die voor de collials hetzelfde product oplevert maar die ook voor niet-collials nog zin heeft...

[vijv]

een eigenschap van de collials is dat voor alle a>1 het herhaald toepassen van het algoritme alle getallen naar oneindig stuurt.
Dus niet zo'n interessante elementen.

[Professor Puntje]

Heb je daar een bewijs voor? Let op dat a, b en c gehele getallen zijn.

[vijv]

Oh, a moet toch een natuurlijk getal zijn, anders krijgen we negatieve getallen en ik dacht da het uitgangspunt was dat n een natuurlijk getal moest zijn.

[Professor Puntje]

Het is een nuttig voorstel om \( \mathcal{C} \! o \) kleiner te maken zodat oninteressante algoritmen niet mee doen. Maar ik wil wel graag de ringstructuur en een zekere elegantie in de definities behouden. Ik overzie op het moment nog even niet wat er in die richting mogelijk is...

[Professor Puntje]

Ik zou a helemaal weg kunnen laten...

[Professor Puntje]

Ik zal eens uitproberen of dit werkt:
a=1
b,c > 0

[vijv]

Volgens mij moeten ben c zo zijn dat ze altijd een even getal opleveren en c kun je voor de algemeenheid ook negatief laten worden, zij het onder voorwaarden

[Professor Puntje]

Volgens mij moeten b en c zo zijn dat ze altijd een even getal opleveren (...)

Dus allebei even of allebei oneven?