Scalairen, vectoren en tensoren

[HansH]

Mijn tekst gaat dus niet zozeer over ART maar wel over de wiskundige grondslagen van tensoren. In het laatste deel zal het gaan over welke bijkomende eisen ART het tensorrekenen oplegt. De metriek speelt hierin een sleutelrol of beter gezegd een dubbelrol.

Voor mij is het nooit zo nuttig als iets besproken wordt om het 'iets' als op zich staand. Tensoren zijn er neem ik aan niet voor zichzelf maar omdat ze elders belangrijk zijn. wiskunde zie ik vooral als gereedschap wat je bij bepaalde toepassingen handig kunt gebruiken. Dus ik ben blij dat ze hier nu door 2up1down in een belangrijke (misschien wel de belangrijkste) context uitgelegd worden van de ART. covariant en contravariant zal er ook niet voor niks zijn en allebij bepaalde interessante toepassingen hebben. Vooral wat het is en waarom dat in die vorm handig is om te gebruiken maakt de discussie erover voor mij waardevol.

[HansH]

PS. Niet om vervelend te doen, maar de eerste berichten zijn erg breed en bijna een algemene wiskunde/physics crash course in lineariteit, superpositie, invariantie, enz., voordat je bij ART en tensoren komt. Voor wie tensoren in GR wil begrijpen, voegt dit veel ballast toe.

We zouden een apart topic kunnen maken over ART uitleg, want bv over de gegeven uitleg kan ik me goed voorstellen dat mensen daar vragen over hebben (ik heb er zowiso al een paar). Alleen moet het dan wel zo zijn dat dat topic 'schoon' blijft dus niet vervuild wordt door allerlei neven discussies waardoor de rode draad zoek kan raken.

[wnvl1]

Bij het wielrennen in de tour de France hoor ik het ook altijd. ''we' hebben de etappe gewonnen, maar 'we' is dan dus maar 1 wielrenner (ok iets uit de wind gehouden door de anderen).

Dat is iets anders. Dat zeggen ze vanuit nationaal perspectief en om de luisteraar meer te betrekken. Het is veel levendiger dan het afstandelijke “hij heeft gewonnen”.

In Vlaanderen wordt het pluralis majestatis meer gebruikt dan in Nederland. Vroeger was het bvb verplicht om in een scriptie we te schrijven ipv ik. Maar nu is het in Vlaanderen ook aan het verdwijnen.

[wnvl1]

Tensoren zijn echt niet zo moeilijk, zeker puur wiskundig niet. Alleen de fysische betekenis van de geometrische tensoren in GR kan lastig zijn.

Dat denk ik ook zo. De theorie die je bouwt op die tensoren kan complex zijn, maar tensoren zijn eenvoudig. Je kan uitleggen wat het is op minder dan een A4.

Veel beginners denken, wel begrijpelijk, dat de metriek “het zwaartekrachtsveld” is, maar dat is niet juist.
De metrische tensor is een wiskundig object, geen natuurkundig bestaand iets. Wat fysisch is, is de ruimtetijd (de manifold + geometrische structuur).

Als de metriek een zwaartekrachtveld voorstelt, kan hetzelfde zwaartekrachtsveld via verschillende zwaartekrachtsvelden worden beschreven, dat slaat nergens op.

Ik ben sterk geneigd om de metriek wel als iets fysiek te beschouwen. Ik denk dat er een sterke parallel is tussen de metriek en de elektromagnetische veldtensor. Die laatste beschouw je vermoedelijk ook wel als fysiek. Maar je kan erover discussiëren.

[Professor Puntje]

Het woord "we" wordt in wetenschappelijke verhandelingen vaak gebruikt omdat in dergelijke geschriften "ik" te subjectief en eigengereid aandoet. De schrijver van een wetenschappelijke tekst probeert de lezer op basis van (min of meer) objectieve feiten en argumenten mee te voeren in zijn onderzoek en/of redenering wat een gezamenlijk project van schrijver en lezer is.

[Professor Puntje]

Tensoren zijn oorspronkelijk door wiskundigen bedacht. Maar hun gebruik heeft pas een grote vlucht genomen toen Einstein ze in de ART ging toepassen, daarbij geholpen door wiskundigen. Wiskunde is (vroeger of later) vaak bruikbaar, maar dat is niet haar reden van bestaan. De insteek om tensoren wiskundig te willen begrijpen is dan ook volkomen legitiem. En dat gaat veel verder dan er praktisch mee kunnen rekenen.

[vijv]

In Vlaanderen wordt het pluralis majestatis meer gebruikt dan in Nederland. Vroeger was het bvb verplicht om in een scriptie we te schrijven ipv ik. Maar nu is het in Vlaanderen ook aan het verdwijnen.

Klopt en voor mij voelt het nog steeds aanmatigend aan als ik in een tekst ik schrijf ipv wij

[HansH]

Tensoren zijn oorspronkelijk door wiskundigen bedacht.

Wat was dan de reden om tensoren zo te defnineren als ze gedefinieerd zijn als er nog helemaal geen toepassing voor was? bij alles wat je doet of bedenkt moet immers op zijn minst toch een bepaalde gedachtengang achter zitten waarom je het op die manier doet.

[vijv]

Een korte beschrijving van de geschiedenis van tensoren vind je hier https://math.stackexchange.com/question ... erm-tensor

[wnvl1]

Cauchy had al tensoren in de eerste helft van de negentiende eeuw in het kader van de spanningstensor in de sterkteleer. Ik vind dat ook niet zo verwonderlijk. Tensoren zijn op zich niet zo complex. Je moet nog een onderscheid maken tussen het begrip tensoren en de Riemann meetkunde. Dat laatste is complexer. Voor ART heb je ook de Riemann meetkunde nodig, met inbegrip van de bijdragen van Christoffel, Ricck en Levi-Civita. Dat zijn allemaal namen die terugkomen in de ART.


-------------------
1789--1857: Augustin-Louis Cauchy
Werkte aan mechanica en continuümmechanica. Introduceerde de Cauchy-spanningsmatrix, een vroege vorm van een 2e-orde tensor in de fysica.

1854: Bernhard Riemann
Introduceerde Riemann-meetkunde, die de basis legde voor gekromde ruimten. Legde de conceptuele basis voor tensoranalyse in differentiaalmeetkunde.

1860--1870: Elwin Christoffel
Introduceerde de Christoffelsymbolen, essentieel voor covariante afgeleiden van tensors.

1880--1900: Gregorio Ricci-Curbastro en Tullio Levi-Civita
Ontwikkelden de moderne tensorrekening. Publiceerden in 1900 de belangrijke verhandeling: ``Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications''. Bieden een algemeen wiskundig kader om tensoren in verschillende dimensies en coördinatenstelsels te gebruiken.

1915: Albert Einstein
Gebruikt tensors in de ART om zwaartekracht in gekromde ruimtetijd te beschrijven.

[Gast]

De "we" in de tekst is het majesteitsmeervoud en komt voort uit mijn(misplaatst) superioriteitsgevoel

Oh zo! Excuses, uwe majesteit.


Wat mij nog niet helemaal duidelijk is: wat wil je precies bereiken of leren via dit topic? Omdat de vraag of opzet zo breed is, weet ik niet goed waar je eigen focus ligt en wat je concreet wilt onderzoeken of begrijpen. Als je dat even kort en concreter kunt aangeven, kunnen ik en vooral anderen het hopelijk beter plaatsen en begrijpen wat voor jou van belang is.

Al denk ik eerlijk gezegd dat dit hier op het forum niet gaat lukken, vanwege bovenstaande. Waarschijnlijk zul je je gehele tekst (waarvan je voor deel 1 nu een conceptuele samenvatting geschreven hebt (wat je wilt bespreken?)) zelf moeten uitwerken.

Het beste is om thuis de tekst te schrijven en notaties te maken, en op fora alleen concrete vragen te stellen over waar je op vastloopt.


@wnvl1
De metrische tensor heeft uiteraard een fysische betekenis: het is een onderdeel van de ART, en dus natuurkunde, geen zuivere wiskunde.

Maar in de context waarin ik het gebruikte, is de metriek niets fysisch, laat staan iets tastbaar of direct detecteerbaars zoals de componenten van de elektromagnetische veldtensor dat zijn. Daar kun je concrete effecten van meten (E- en B-velden, krachten op ladingen), terwijl verschillende metrieken dezelfde ruimtetijd kunnen beschrijven. En dat is niet te detecteren.

Zeggen dat de metriek een zwaartekrachtveld ís, is hetzelfde als zeggen dat een wereldkaart de aarde zelf is: er bestaan allerlei verschillende kaarten, maar er is maar één Aarde. Op dezelfde manier kunnen verschillende metrieken dezelfde ruimtetijd beschrijven. Zo bedoel ik.

Soms denken mensen dat ruimtetijd zelf een quantumveld is oid, iets tastbaars, maar er is geen theorie die dit ondersteunt. Een quantumfoam is iets heel anders.

Maar goed, dit is dus eigenlijk weer een zijspoor.


@PP

De insteek om tensoren wiskundig te willen begrijpen is volkomen legitiem. En dat gaat verder dan praktisch kunnen rekenen.

Het eerste klopt natuurlijk; anders kun je er niets mee. Het tweede zie ik niet. In mijn (veel te lange) reactie gebruikte ik de metrische tensor als een vrij eenvoudige manier om met tensoren te beginnen. En waarom niet gelijk één uit de ART, wat het uiteindelijke doel lijkt te zijn(?).

Er komt ook veel meer bij kijken met de metrische tensor dan het kleine beetje dat ik had geschreven: het komt neer op een drietal notaties ("matrixnotatie", lijn-element ds², en Einstein notatie) die ik zeer "kort" heb laten zien.

Over het algemeen denk ik dat de meeste mensen wiskunde het makkelijkst begrijpen als er iets natuurkundigs bij betrokken is. Dus net als bij zoveel wiskundige notaties kan een natuurkundige context helpen bij het leren van tensoren.

[HansH]

Als je dat even kort en concreter kunt aangeven, kunnen ik en vooral anderen het hopelijk beter plaatsen en begrijpen wat voor jou van belang is.

Voor mij is dat bv viewtopic.php?p=1270880#p1270880

hoe het ruimtetijd interval ontstaat in SRT is me wel duidelijk. Maar waarom zich dat dan vertaalt in het product van die 3 factoren 'horizontale vector' * matrix * 'vertikale vector' en waarom die kruistermen er dan in komen voor gekromde ruimtetijd zoals via die 3 factoren direct wel volgt, maar waarvan ik dus de onderliggende gedachte/fundamenten niet kan volgen is dus bv zo'n vraag. (evt te beantwoorden in het vandaag geopende vervolg topic over ART)

[wnvl1]

Er is een zeker verschil tussen de metriek en de elektromagnetische veldtensor. Dat ga ik niet ontkennen. De metriek heeft redundante vrijheidsgraden net zoals de electromagnetische potentiaal A waarvan de electromagnetische veldtensor afgeleid is. Je kan dat gebruiken om iets al dan niet fysiek te noemen. Ik heb aan AI eens gevraagd om beiden te vergelijken.

[Professor Puntje]

@PP

De insteek om tensoren wiskundig te willen begrijpen is volkomen legitiem. En dat gaat verder dan praktisch kunnen rekenen.

Het eerste klopt natuurlijk; anders kun je er niets mee. Het tweede zie ik niet. In mijn (veel te lange) reactie gebruikte ik de metrische tensor als een vrij eenvoudige manier om met tensoren te beginnen. En waarom niet gelijk één uit de ART, wat het uiteindelijke doel lijkt te zijn(?).

Er komt ook veel meer bij kijken met de metrische tensor dan het kleine beetje dat ik had geschreven: het komt neer op een drietal notaties ("matrixnotatie", lijn-element ds², en Einstein notatie) die ik zeer "kort" heb laten zien.

Over het algemeen denk ik dat de meeste mensen wiskunde het makkelijkst begrijpen als er iets natuurkundigs bij betrokken is. Dus net als bij zoveel wiskundige notaties kan een natuurkundige context helpen bij het leren van tensoren.

Het is heel goed mogelijk om te werken met zaken waarvan men niet begrijpt wat er "onder de motorkap" gebeurt, en waarom die zaken moeten worden gebruikt op de manier die men geleerd heeft. In de wereld van vandaag doen we niet anders. En voor praktisch gerichte personen volstaat een dergelijke aanpak. Op die manier leren technici en natuurkundigen ook vaak te werken met reële getallen, complexe getallen, de Dirac deltafunctie, tensoren, etc. Dus zonder inzicht in de wiskundige onderbouwing. Wiskundig begrip komt aan een dergelijke praktijkgerichte "Monkey see, monkey do" aanpak niet of nauwelijks te pas. Om te begrijpen wat genoemde dingen als wiskundig objecten voorstellen moet je diep in de wiskundige onderbouwing duiken, want dan wordt het ook pas duidelijk dat de eigenschappen van die zaken logisch volgen uit wat die dingen zijn. Een techneut interesseert dat allemaal niet, die leert eenvoudig wat nieuwe kunstjes en is blij als hij dat dan ook in de praktijk kan toepassen.

Ik stel het enigszins gechargeerd om mijn punt duidelijk te maken. Er zijn ook wel meer geavanceerde leerboeken die de zaken wiskundig beter onderbouwen. Waar het mij om gaat is dat praktische vaardigheid weinig of niets zegt over een al dan niet aanwezig begrip van de wiskundige grondslagen.

[Gast]

Hah. Ja, dat slaat natuurlijk nergens op.

Bij tensoren bestaat er geen zinvol onderscheid tussen “praktisch kunnen rekenen” en “wiskundig begrijpen”. Zonder begrip van wat een tensor is, hoe hij transformeert, wat co- en contravariant betekent, wat invariantie inhoudt, kun je er immers niet eens correct mee werken. Dan ben je geen tensoren aan het gebruiken, maar symbolen aan het manipuleren zonder betekenis. Dat lijkt jouw unieke hobby soms wat te zijn. Naast het zoeken naar iets wat niet bestaat, uit onbegrip.

In mijn voorbeeld heb ik bewust maar een heel klein deel laten zien. Er komt uiteraard veel meer bij kijken: transformatie-eigenschappen, indexgedrag, duale vectorruimten, tensorproducten, covariante afgeleiden, enz. Dat is precies die wiskunde “onder de motorkap” waar je niet omheen kunt als je de tensoren echt wilt begrijpen of gebruiken.

Het beeld dat technische- of theoretische natuurkundigen tensoren zouden toepassen zonder inzicht in die wiskundige grondslagen is simpelweg onjuist. In de natuurkunde leer je die wiskunde juist via een fysische context; dat maakt het niet minder wiskundig, maar juist concreter en inzichtelijker. Bij GR of moderne fysica of überhaupt een exacte wetenschap wat wiskunde gebruikt zit er juist meer "onder die motorkop" wat zoals gezegd dan soms juist pas lastig kan worden. (Denk jij dat je daar, voor wiskunde alleen, dan nog van alles zult aantreffen of ontdekken? Of dat de motor dan nog een keer moet worden onderzocht?)

Voor jou is die motor nog steeds een compleet raadsel: na herhaalde pogingen heb je nog steeds geen helder beeld van wat een tensor is. En dan ontstaat er op den duur of misschien al snel bij jou, geen idee, een vertekend beeld, zowel van tensoren als van wat theoretische natuurkunde inhoudt.

Die hele reactie is niets anders dan een rationalisatie van chronisch vastlopen in elk wiskundig en natuurkundig studieboek.

Het is ook geen inhoudelijk argument, maar sociale ruis. Het breekt discussies af zonder iets op te lossen. En ja, dat is vermoeiend, zeker als je zelf wél probeert helderheid te brengen.

"Ik stel het natuurlijk enigszins gechargeerd om mijn punt duidelijk te maken . Er bestaan vast ook meer geavanceerde leerboeken die de zaken wiskundig beter onderbouwen. Maar zoals altijd geldt: praktische vaardigheid zegt vaak net zo veel (of net zo weinig) over een daadwerkelijk begrip van de wiskundige grondslagen als het aantal boeken dat je in je kast hebt staan."

Sorry hoor, maar een aantal van jouw reacties hier alleen alweer:

Ik heb dat boek wel al in de kast staan maar nog niet gelezen. Hoe geslaagd het is weet ik niet.

Wat die tensor zelf dan wel is blijft bij de beruchte circulaire definitie dan ook volstrekt onduidelijk. Het heeft mij een jaren om niet te zeggen decennia lange zoektocht in steeds geavanceerder wiskundeboeken gekost om er achter te komen wat een tensor dan wel is.

En vooral hier:

viewtopic.php?p=1270738#p1270738

Dan doe je natuurlijk iets niet helemaal goed.

Maar zulke discussies hebben we al eerder gehad, dus hier laat ik het even bij. Dit is vijv's topic.

Speciaal voor jou, de lege motor/kale tensor nogmaals:

Een rank 3 tensor op \(\mathbb{R}^3\) kan je zien als een array \(T_{ijk}\) met \(i,j,k = 1,2,3\). Dat geeft 27 componenten.

Een voorbeeld met willekeurige getallen:

\( T_{ijk} =
\begin{cases}
T_{111} = 1, & T_{112} = 0, & T_{113} = 2, \\
T_{121} = -1, & T_{122} = 3, & T_{123} = 1, \\
T_{131} = 0, & T_{132} = -2, & T_{133} = 1, \\
T_{211} = 2, & T_{212} = 1, & T_{213} = 0, \\
T_{221} = 0, & T_{222} = 1, & T_{223} = -1, \\
T_{231} = 1, & T_{232} = 0, & T_{233} = 2, \\
T_{311} = -1, & T_{312} = 2, & T_{313} = 0, \\
T_{321} = 1, & T_{322} = -1, & T_{323} = 3, \\
T_{331} = 0, & T_{332} = 2, & T_{333} = 1
\end{cases} \)

Rank 3 betekent 3 indices: \(i,j,k\).

Kan symmetrisch of antisymmetrisch zijn in sommige of alle indices, maar hier geen specifieke symmetrie.

Je kunt allerlei operaties doen: contracties (\(T^i{}_{ik}\)), tensormultiplicaties, transformaties onder een lineaire verandering van basis.

Wiskundig: puur een array van getallen die transformeert volgens de tensorregel.

Fysisch: nog geen betekenis; fysiek gebruik vereist context (zoals in GR of continuummechanica = de benzine ).

Voor een rank 3 tensor kun je duidelijk aangeven welke indices covariant en contravariant zijn. Bijvoorbeeld:

Puur covariant: \(T_{ijk}\)

Puur contravariant: \(T^{ijk}\)

Gemengd: bijvoorbeeld \(T^i{}_{jk}\) of \(T^{ij}{}_k\)

Covariantie/contravariantie bepaalt hoe de componenten transformeren bij een verandering van basis: covariante indices transformeren met de inverse van de basisverandering, contravariante indices met de basisverandering zelf.

Dit is puur wiskundig: je kunt ermee werken, eigenschappen bestuderen (determinant, eigenwaarden, diagonaalvorm), transformaties toepassen (change of basis), alles zonder enige fysische interpretatie.

En zoals wnvl1 zei: op een A4, kan het al redelijk volledig.