Deeltjes en antideeltjes

[Professor Puntje]

Mij lijkt die herinterpretatie gewoon onzin. Men weet met genoemde uitkomst geen raad en dan verzint men maar een herinterpretatie waarbij negatieve energie toch als positieve energie gezien mag worden. Het lijkt me wel zo eerlijk om gewoon te zeggen dat de negatieve energie-oplossing niet voldoet. Het komt immers wel vaker voor dat niet alle wiskundig correcte oplossingen van een fysica-vergelijking ook een fysische betekenis hebben.

In de natuurkunde komt het vaak voor dat een differentiaalvergelijking wiskundig geldige oplossingen heeft die fysisch geen betekenis krijgen. In dat licht lijkt het redelijk om te stellen dat de negatieve-energie-oplossingen eenvoudigweg niet aanvaard hoeven te worden, in plaats van ze te “redden” via een herinterpretatie.

Het punt waarop je kritiek echter vastloopt, is dat de negatieve-energie-oplossingen van de Diracvergelijking niet optioneel zijn. Zij kunnen niet consistent uit de theorie worden verwijderd zonder essentiële structurele eigenschappen van de vergelijking te vernietigen. De Diracvergelijking is geconstrueerd om Lorentzinvariant te zijn en om een volledige set oplossingen te bezitten. Positieve en negatieve energie-oplossingen vormen samen zo’n volledige basis. Wanneer men de negatieve-energie-oplossingen uitsluit, gaat die volledigheid verloren en kan men geen Lorentzinvariante tijdsevolutie meer definiëren. Bovendien mengen Lorentztransformaties de verschillende oplossingen, zodat een scheiding tussen “fysische” en “niet-fysische” oplossingen niet invariant kan worden gemaakt.

Daar komt bij dat het probleem niet louter interpretatief is, maar dynamisch. Indien men de negatieve-energie-oplossingen letterlijk neemt binnen een één-deeltjesinterpretatie, ontstaat een theorie zonder stabiele grondtoestand. Een elektron zou dan onbeperkt energie kunnen verliezen door over te gaan naar toestanden met steeds lagere energie. Een dergelijke instabiliteit is fysisch onaanvaardbaar, omdat zij het bestaan van stabiele materie uitsluit. Dit probleem kan niet worden opgelost door randvoorwaarden of door een selectieve keuze van oplossingen.

De herinterpretatie die Dirac en later anderen introduceerden, bestaat dan ook niet uit het simpelweg heretiketteren van negatieve energie als positieve energie. Wat fundamenteel verandert, is de interpretatie van de golfvergelijking zelf. De Diracvergelijking blijkt geen consistente relativistische één-deeltjesvergelijking te zijn, maar moet worden opgevat als een veldvergelijking. In dat kader wordt de Dirac-spinor geen golfamplitude van één deeltje, maar een veldoperator die de creatie en annihilatie van deeltjes beschrijft. De negatieve-energie-oplossingen corresponderen dan niet aan elektronen met negatieve energie, maar aan creatie-operatoren voor antideeltjes met positieve energie. De energie blijft daarbij altijd positief; wat verandert is de identificatie van de fysische objecten.

Dat deze interpretatie niet louter een kunstmatige reddingsoperatie is, blijkt uit het feit dat zij concrete en toetsbare voorspellingen opleverde. De herinterpretatie leidde tot de voorspelling van het positron, met precies dezelfde massa en spin als het elektron maar met tegengestelde lading. De experimentele ontdekking van het positron bevestigde dat de negatieve-energie-oplossingen een reële fysieke betekenis hebben binnen het juiste theoretische kader.

Achteraf bezien ligt het oorspronkelijke probleem dus niet in de Diracvergelijking zelf, maar in de veronderstelling dat relativistische kwantummechanica kan worden geformuleerd als een theorie van een vast aantal deeltjes. Die veronderstelling blijkt onhoudbaar. Relativistische consistentie vereist de mogelijkheid van deeltjescreatie en -annihilatie, en daarmee een veldtheoretische beschrijving. Binnen die beschrijving zijn negatieve frequenties en bijbehorende oplossingen geen pathologie, maar een noodzakelijke structuur.

Dat er een positron zou kunnen bestaan is uit symmetrieoverwegingen al aannemelijk, dat zou ik niet als een specifieke bevestiging van de Diracvergelijking beschouwen. En over een herinterpretatie binnen het kader van een kwantumveldentheorie heb ik geen oordeel, dat gaat mij ver boven de pet.

Maar als ik het goed begrijp is mijn idee om de 4x4 matrices door speciale tweedimensionale niet-commutatieve getallen te vervangen zelfs als dat zou lukken onwenselijk omdat de relativistische invariantie van de Diracvergelijking dan verloren gaat...

[wnvl1]

Dit is dus de kern van de antideeltjes.

De vrije Diracvergelijking luidt
\[
(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi(x) = 0 .
\]

Men zoekt vlakke-golfoplossingen van de vorm
\[
\psi(x) = u(p)\, e^{-ip\cdot x}
\quad \text{en} \quad
\psi(x) = v(p)\, e^{+ip\cdot x}.
\]

Invullen levert de algebraïsche vergelijkingen
\[
(\gamma^\mu p_\mu - m)u(p) = 0,
\qquad
(\gamma^\mu p_\mu + m)v(p) = 0 .
\]

Niet-triviale oplossingen bestaan alleen indien
\[
p^\mu p_\mu = m^2,
\]
wat leidt tot het energiespectrum
\[
E = \pm \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}.
\]

De positieve- en negatieve-energieoplossingen vormen samen een volledige basis. Dit wordt uitgedrukt door de volledigheidsrelatie
\[
\sum_s \left(
u_s(p)\bar u_s(p) - v_s(p)\bar v_s(p)
\right)
= \gamma^\mu p_\mu + m .
\]

Zonder de \(v\)-oplossingen kan deze identiteit niet gelden en kan men geen Lorentzinvariante propagator construeren.

Bij kwantisatie wordt \(\psi(x)\) een veldoperator die voldoet aan anticommutatierelaties
\[
\{\psi_\alpha(x),\psi_\beta^\dagger(y)\}
= \delta_{\alpha\beta}\delta^{(3)}(x-y).
\]

Het veld wordt ontwikkeld in Fouriermodi als
\[
\psi(x)=
\sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}
\frac{1}{\sqrt{2E_p}}
\left[
a_s(p)u_s(p)e^{-ip\cdot x}
+
b_s^\dagger(p)v_s(p)e^{+ip\cdot x}
\right].
\]

Hier zijn \(a_s(p)\) annihilatie-operatoren voor deeltjes en
\(b_s^\dagger(p)\) creatie-operatoren voor antideeltjes.

De Hamiltoniaan krijgt dan de vorm
\[
H =
\sum_s \int d^3p\,
E_p
\left[
a_s^\dagger(p)a_s(p)
+
b_s^\dagger(p)b_s(p)
\right]
+ \text{constante}.
\]

Alle excitatie-energieën zijn nu positief, \(E_p>0\), en het vacuüm is stabiel.

De wiskundige kern van de herinterpretatie is dat de term
\[
v_s(p)e^{+ip\cdot x}
\]
niet wordt opgevat als een toestand met negatieve energie, maar als de creatie van een antideeltje met positieve energie.

Dit hangt samen met het feit dat
\[
e^{+ip\cdot x} = e^{-i(-p)\cdot x},
\]
en met ladingconjugatie van het Diracveld,
\[
\psi^C = C\,\bar\psi^{\,T}.
\]

[wnvl1]

Bij mij zit de moeilijkheid nog altijd op het einde.

De wiskundige kern van de herinterpretatie van negatieve energieën in de Diracvergelijking is het volgende. In de Fourier-expansie van het vrije Diracveldoperator

\[
\psi(x) = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \Big[ a_s(p) u_s(p) e^{-ip\cdot x} + b_s^\dagger(p) v_s(p) e^{+ip\cdot x} \Big]
\]

zijn er twee soorten termen. De eerste term, \(a_s(p) u_s(p) e^{-ip\cdot x}\), correspondeert met de annihilatie van een elektron met positieve energie. De tweede term, \(b_s^\dagger(p) v_s(p) e^{+ip\cdot x}\), zou zonder herinterpretatie een elektron met negatieve energie beschrijven. Dit zou fysisch problematisch zijn, omdat de negatieve energieën geen ondergrens hebben en het vacuüm instabiel zou maken.

Het exponentiële \(e^{+ip\cdot x}\) in de negatieve energie-term kan wiskundig herschreven worden als

\[
e^{+ip\cdot x} = e^{-i(-p)\cdot x}.
\]

Hierbij is \(-p = (-E, -\mathbf{p})\). Hierdoor ziet de negatieve energie-exponent er uit als een positieve energie-exponent, maar met omgekeerde kwantumgetallen. Dit suggereert dat een negatieve energie-toestand kan worden geïnterpreteerd als een positieve energie-excitatie van een ander deeltje met tegengestelde lading en andere interne kwantumgetallen.

Deze herinterpretatie wordt exact geformaliseerd door de ladingconjugatie van het Diracveld:

\[
\psi^C = C\, \bar\psi^{\,T},
\]

waar \(\bar\psi = \psi^\dagger \gamma^0\) de Dirac-conjugaat is en \(T\) transpositie betekent. Het veld \(\psi^C\) creëert een antideeltje in plaats van een deeltje. Daardoor wordt de negatieve energie-oplossing \(v_s(p)e^{+ip\cdot x}\) geïnterpreteerd als de creatie van een antideeltje met positieve energie, bijvoorbeeld een positron.

Op deze manier worden negatieve energieën niet fysisch als energieën kleiner dan nul beschouwd, maar krijgen ze een betekenis binnen de operatorstructuur van het veld. Het vacuüm wordt stabiel, alle fysische toestanden hebben positieve energie, en de negatieve energie verschijnt alleen in de wiskundige constructie van het veld. Dit mechanisme is niet een kunstgreep, maar volgt noodzakelijk uit de Fourier-expansie, de volledigheidsrelatie en de ladingconjugatie van de Diracvergelijking.

[wnvl1]

Hierbij is \(-p = (-E, -\mathbf{p})\). Hierdoor ziet de negatieve energie-exponent er uit als een positieve energie-exponent, maar met omgekeerde kwantumgetallen.

Heel specifiek zit het probleem voor mij hier. Die -E is toch negatief? Het probleem is dus toch niet opgelost?

[wnvl1]

Via gemini vind ik de volgende uitleg bij de Feynman-Stueckelberg Interpretatie.

Hoewel de Dirac-zee een briljant concept was, bleef het theoretisch problematisch vanwege de implicatie van een oneindige lading en massa in het vacuüm. De moderne kwantumveldentheorie (QFT) maakt daarom gebruik van de interpretatie die is ontwikkeld door Richard Feynman en Ernst Stueckelberg.

Binnen dit kader wordt gebruikgemaakt van het concept van tijdsreductie, waarbij een negatieve energietoestand die zich voorwaarts in de tijd beweegt, wiskundig gezien exact hetzelfde is als een positieve energietoestand die zich achterwaarts in de tijd beweegt. In plaats van uit te gaan van een zee vol bezette toestanden, luidt de moderne conclusie simpelweg dat antimaterie beschouwd kan worden als materie die zich wiskundig gezien achterwaarts door de tijd begeeft.

Deze benadering lost het probleem van de negatieve energie op een elegante manier op. Door de wiskundige operator zodanig te herdefiniëren, meten we in experimenten altijd een positieve energie, ongeacht of het een regulier deeltje betreft dat vooruit gaat of een antideeltje dat zich formeel achteruit in de tijd beweegt.

Hier ligt de klemtoon op het achterwaarts bewegen in de tijd. Die interpretatie snap ik wel. Maar de eerdere interpretatie die van chatgpt kwam, die snap ik nog altijd niet.

[flappelap]

Leuk topic met mooie vragen. Ik zal even kijken wanneer ik hier in kan duiken, want het is voor mij ook alweer een tijdje geleden

[HansH]

\[
\psi(x) = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \Big[ a_s(p) u_s(p) e^{-ip\cdot x} + b_s^\dagger(p) v_s(p) e^{+ip\cdot x} \Big]
\]

zijn er twee soorten termen. De eerste term, \(a_s(p) u_s(p) e^{-ip\cdot x}\), correspondeert met de annihilatie van een elektron met positieve energie. De tweede term, \(b_s^\dagger(p) v_s(p) e^{+ip\cdot x}\), zou zonder herinterpretatie een elektron met negatieve energie beschrijven. Dit zou fysisch problematisch zijn, omdat de negatieve energieën geen ondergrens hebben en het vacuüm instabiel zou maken.

Complexe e machten met positief of negatief teken relateren bij mij gelijk aan lopende golven naar links of naar rechts zoals bv bij de theorie van lange leidingen voor komt. Beide golven heben dan natuurlijk energie en die is altijd positief. dus ik zie nog niet zo waarom er uverhaupt over negatieve energie gesproken wordt.

[HansH]

\[
\psi(x) = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \Big[ a_s(p) u_s(p) e^{-ip\cdot x} + b_s^\dagger(p) v_s(p) e^{+ip\cdot x} \Big]
\]

zijn er twee soorten termen. De eerste term, \(a_s(p) u_s(p) e^{-ip\cdot x}\), correspondeert met de annihilatie van een elektron met positieve energie. De tweede term, \(b_s^\dagger(p) v_s(p) e^{+ip\cdot x}\), zou zonder herinterpretatie een elektron met negatieve energie beschrijven. Dit zou fysisch problematisch zijn, omdat de negatieve energieën geen ondergrens hebben en het vacuüm instabiel zou maken.

Complexe e machten met positief of negatief teken relateren bij mij gelijk aan lopende golven naar links of naar rechts zoals bv bij de theorie van lange leidingen voor komt. Beide golven heben dan natuurlijk energie en die is altijd positief. dus ik zie nog niet zo waarom er uverhaupt over negatieve energie gesproken wordt.

[HansH]

Er zit blijkbaar ergens een bug in het forum waardoor soms berichten 2x geplaatst lijken te worden. Eentje kan dus weg.

[wnvl1]

Complexe e machten met positief of negatief teken relateren bij mij gelijk aan lopende golven naar links of naar rechts zoals bv bij de theorie van lange leidingen voor komt. Beide golven heben dan natuurlijk energie en die is altijd positief. dus ik zie nog niet zo waarom er uverhaupt over negatieve energie gesproken wordt.

Het punt is dat het teken in de exponent van de vlakke golven in de Dirac-veldontwikkeling niet dezelfde fysische betekenis heeft als bij klassieke lopende golven. In de relativistische kwantumveldentheorie is het teken in de tijdsafhankelijkheid rechtstreeks gekoppeld aan het teken van de energie, en niet aan de voortplantingsrichting.

De Dirac-vergelijking heeft vlakke-golfoplossingen van de vorm
\[
\psi(x) \sim u_s(p) e^{-ip \cdot x}
\quad \text{en} \quad
v_s(p) e^{+ip \cdot x},
\]
waarbij
\[
p \cdot x = E t - \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}.
\]

Voor positieve energie \(E > 0\) geldt dat
\[
e^{-ip \cdot x} = e^{-i(Et - \mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
\]
een positieve frequentie-oplossing is, terwijl
\[
e^{+ip \cdot x} = e^{+i(Et - \mathbf{p}\cdot\mathbf{x})}
\]
een negatieve frequentie-oplossing is. In een relativistische theorie betekent het teken van de frequentie ook het teken van de energie, omdat energie wordt gedefinieerd als de eigenwaarde van de Hamiltoniaanoperator
\[
H |E\rangle = E |E\rangle.
\]

Bij klassieke golven, zoals lopende golven op een transmissielijn, is de energie altijd positief omdat zij kwadratisch afhangt van de veldamplitude, en er geen operator bestaat waarvan de eigenwaarde de energie is. Daarom kunnen klassieke golven met \(e^{\pm i(kx - \omega t)}\) beide positieve energie dragen, onafhankelijk van het teken in de exponent.

[Professor Puntje]

Heb je die Diracvergelijking in de QFT nog wel nodig? Zo niet dan kun je die vergelijking gewoon als een gebrekkig opstapje naar "het echte werk" (= QFT) beschouwen, en dan doet het probleem van de negatieve energie er niet meer toe. Eerste pogingen hebben immers bijna per definitie nog kinderziektes. En die hoeven ook niet meer verholpen te worden zodra je al iets beters (= QFT) hebt.

[wnvl1]

Leuk topic met mooie vragen. Ik zal even kijken wanneer ik hier in kan duiken, want het is voor mij ook alweer een tijdje geleden

Het is sowieso verwarrend. Op het einde van het hoofdstuk 'Quantising the Dirac Field' schrijft Zee dan ook

Poetic but confusing metaphors
In closing this chapter let me ask you some rhetorical questions. Did I speak of an electron going backward in time? Did I mumble something about a sea of negative energy electrons? This metaphorical language, when used by brilliant minds, the likes of Dirac
and Feynman, was evocative and inspirational, but unfortunately confused generations of physics students and physicists. The presentation given here is in the modern spirit, which seeks to avoid these potentially confusing metaphors.

Het is volgens mij wel zo dat zelfs als je de interpretatie niet volledig begrijpt, je de formele vervolgstappen nog steeds kan volgen: het opstellen van het Dirac-veld als operator, de introductie van creatie- en annihilatie-operatoren, het afleiden van de anticommutatierelaties, en het construeren van de Fock-ruimte. Ook berekeningen van propagatoren, verstrooiingsamplitudes en Feynmandiagrammen blijven dan technisch begrijpelijk, omdat ze steunen op de wiskundige structuur en niet op de interpretatie.

[wnvl1]

Heb je die Diracvergelijking in de QFT nog wel nodig? Zo niet dan kun je die vergelijking gewoon als een gebrekkig opstapje naar "het echte werk" (= QFT) beschouwen, en dan doet het probleem van de negatieve energie er niet meer toe. Eerste pogingen hebben immers bijna per definitie nog kinderziektes. En die hoeven ook niet meer verholpen te worden zodra je al iets beters (= QFT) hebt.

Je kan de Diracvergelijking niet zomaar weggooien. De Diracvergelijking blijft een fundamenteel element van de QFT. Je kan wel stellen dat haar interpretatie wezenlijk anders is ten opzichte van de relativistische quantummechanica van één deeltje. In QFT beschrijft de Diracvergelijking niet langer de golffunctie van een enkel deeltje, maar de dynamica van een fermionveld.

De Diracvergelijking luidt
\[
(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0,
\]
waarbij \( \psi \) een spinorveld is en de matrices \( \gamma^\mu \) de Lorentzstructuur van het veld vastleggen. Deze vergelijking vormt de basis voor de beschrijving van elektronen, quarks en andere fermionen in het standaardmodel. Zonder de Diracvergelijking zouden de propagatoren, spinoren en interactietermen in QFT niet gedefinieerd kunnen worden.

Het probleem van de negatieve energie-oplossingen ontstaat wanneer men de Diracvergelijking interpreteert als een relativistische Schrödingervergelijking voor één deeltje. In dat kader leiden de oplossingen met negatieve energie tot conceptuele moeilijkheden. In de quantumveldentheorie verdwijnt dit probleem echter volledig, omdat het veld \( \psi \) daar wordt gekwantiseerd en een operator wordt in plaats van een golffunctie.

De negatieve energie-oplossingen worden in QFT hergeïnterpreteerd als creatie-operatoren voor antipartikels. Fysische toestanden in de Hilbertruimte hebben altijd positieve energie, terwijl antimaterie op natuurlijke wijze uit de theorie volgt.

Je zou misschien direct kunnen vertrekken van de QFT interpretatie met antideeltjes, dan is er misschien minder een probleem. Je zou dan de Diracvergelijking als een klassieke veldvergelijking kunnen zien die pas na kwantisatie haar volledige fysische betekenis krijgt. Zo kan je misschien het probleem uit de weg gaan.

[Professor Puntje]

Je zou misschien direct kunnen vertrekken van de QFT interpretatie met antideeltjes, dan is er misschien minder een probleem. Je zou dan de Diracvergelijking als een klassieke veldvergelijking kunnen zien die pas na kwantisatie haar volledige fysische betekenis krijgt. Zo kan je misschien het probleem uit de weg gaan.

Als dat kan zijn er vast ook leerboeken die het zo doen, en daarin zou het probleem van de negatieve energie dan ook niet optreden. Een vergelijking binnen de fysica is meer dan een rijtje tekens, de interpretatie die je daaraan geeft is essentieel voor het begrip van wat er staat. Dus heb je dan feitelijk twee Diracvergelijkingen waarvan alleen de oorspronkelijke Diracvergelijking het probleem van de negatieve energie kent.

[flappelap]

Blijkbaar had ikzelf bijna 10 jaar geleden soortgelijke verwarring die ik op PF heb gezet:

https://www.physicsforums.com/threads/a ... on.881520/

Ben alleen ff de clou vergeten