Zin en onzin van de reële snelheid

[wnvl1]

Alle testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. komen dan op een later tijdstip t_α, t_β, etc. bij B aan. De eenrichtingssnelheden van de testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. zullen dan respectievelijk g(t_α-T), g(t_β-T), etc. moeten zijn, waarin g een strikt dalende (en vermoedelijk continue) functie is. Ten slotte moet g(0) de lichtsnelheid van A naar B zijn, en moet g(∞)=0.

T is op zich ook al synchronisatie afhankelijk. De synchronisatie zit dus niet alleen in g.

[Professor Puntje]

Alle testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. komen dan op een later tijdstip t_α, t_β, etc. bij B aan. De eenrichtingssnelheden van de testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. zullen dan respectievelijk g(t_α-T), g(t_β-T), etc. moeten zijn, waarin g een strikt dalende (en vermoedelijk continue) functie is. Ten slotte moet g(0) de lichtsnelheid van A naar B zijn, en moet g(∞)=0.

T is op zich ook al synchronisatie afhankelijk. De synchronisatie zit dus niet alleen in g.

Ik kies voor de Einstein-synchronisatie (en voor de afstand AB kun je bijvoorbeeld 1 km of 1 lichtjaar nemen). Kan dat de intuïtieve evidentie van de gevonden volgorde in de grootte van de eenrichtingssnelheden van de testvoorwerpen bederven? Zie ik nog iets over het hoofd?

[Professor Puntje]

Vereenvoudigde versie:

Laat A en B twee vaste punten zijn met een vaste onderlinge afstand van (bijvoorbeeld) 1 km. Als je twee testvoorwerpen \( \alpha \) en \( \beta \) tegelijk vanaf A in rechte lijn en met constante snelheid naar punt B laat bewegen dan kun je in B vaststellen of \( \alpha \) daar eerder, later of tegelijkertijd als \( \beta \) aankomt. In die beperkte zin is de eenrichtingssnelheid dus in elk geval al meetbaar. Verder is het meetbaar of een testvoorwerp helemaal niet vanaf A vertrekt waar we dan de snelheid nul aan zullen toeschrijven. En om niet met de relativiteitstheorie te botsen zal bovendien geen enkel testvoorwerp eerder dan een vanaf A verzonden lichtpuls in B mogen aankomen. Dus de eenrichtingssnelheden in de richting van A naar B (als zulke eenrichtingssnelheden objectief bestaan) liggen tussen nul en de (onbekende) lichtsnelheid van A naar B. Welke volgorde in grootte de eenrichtingssnelheden van A naar B binnen het interval tussen nul en de lichtsnelheid van A naar B hebben kan dus gemeten worden.

Dus nogmaals: Laat alle testvoorwerpen en een lichtpuls op het zelfde moment bij A met hun eigen constante snelheid richting B vertrekken. Dan zal de lichtpuls op zeker moment bij B aankomen. Zet nu de klok K bij B bij de aankomst van de lichtpuls op nul. De testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. komen dan volgens de klok K op de respectieve latere en positief tijdstippen _α, t_β, etc. bij B aan. De eenrichtingssnelheden van de testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. zullen dan respectievelijk g(t_α), g(t_β), etc. moeten zijn, waarin g een strikt dalende (en vermoedelijk continue) functie is. Ten slotte moet g(0) de lichtsnelheid van A naar B zijn, en moet g(∞)=0.

Daarmee liggen de eenrichtingssnelheden niet volledig vast (want we weten g niet precies), maar er valt wel iets meer over te zeggen dan dat eenrichtingssnelheden volstrekt onmeetbaar zouden zijn.

[Professor Puntje]

Twee vragen nu:
1. Klopt de in het vorige berichtje geschetste opzet?
2. Zijn er nog meer eigenschappen van de functie g af te leiden?

[wnvl1]

Als ik de tekst juist begrijp dan is het zo dat als je later aankomt in B,dat je snelheid lager is. Als je ogenblikkelijk aankomt dan is je snelheid oneindig. Lijkt mij logisch, maar niets speciaals.

[Professor Puntje]

Ik vind het zelf intuïtief ook vanzelfsprekend, maar het staat haaks op de gedachte dat er aan een eenrichtingssnelheid los van een gekozen synchronisatieconventie niets te meten zou zijn. En wellicht valt de functie g ook nog ietsjes verder aan te scherpen, maar daar ben ik nog niet uit...

[Professor Puntje]

Leg de x-as door A en B met x_A = -s en x_B = 0. (Dus: s = 1 km.) Verder gaan we ervan uit dat de klokken op het traject AB alle even snel lopen zodat ze enkel nog gesynchroniseerd hoeven te worden. Noem de tijd die de klok bij A aanwijst wanneer de lichtpuls daar met snelheid c_AB vertrekt -T_o. Dan hebben we:

\( c_{AB} = \frac{ 0 - (-s) }{ 0 - (-T_o) }\)
\( c_{AB} = \frac{s}{T_o}\)
\( T_o = \frac{s}{c_{AB}}\)

Laat \( v_i \) de snelheid zijn van een willekeurig deeltje i dat op de tijd -T_o (als gemeten op de klok bij A) bij A vertrekt en dat op de tijd t_i (als gemeten op de klok bij B) bij B aankomt. Zodat:

\( v_i = \frac{ 0 - (-s) }{ t_i - (-T_o) }\)
\( v_i = \frac{s}{ t_i + T_o}\)
\( v_i = \frac{\frac{s}{T_o}}{ \frac{t_i}{T_o} + 1}\)
\( v_i = \frac{c_{AB}}{ 1 + \frac{c_{AB} }{ s } t_i}\)

[Professor Puntje]

We zien dat op het traject van A naar B eenrichtingssnelheden v_i kleiner dan c_AB te meten zijn als c_AB bekend is.

[vijv]

Als je twee voorwerpen \( \alpha \) en \( \beta \) tegelijk vanaf een vast punt A in rechte lijn en met constante snelheid naar een ander vast punt B laat bewegen dan kun je in B vaststellen of \( \alpha \) daar eerder, later of tegelijkertijd als \( \beta \) aankomt. In die beperkte zin is de eenrichtingssnelheid dus in elk geval al meetbaar.

Het is enkel snelheid van het licht waar je geen enkelrichting kan meten. Eens de synchronisatie opgezet kan je éénrichtingssnelheden van voorwerpen meten.

Verder is het meetbaar of een voorwerp helemaal niet vanaf A vertrekt waar we dan de snelheid nul aan zullen toeschrijven. En om niet met de relativiteitstheorie te botsen zal bovendien geen enkel testvoorwerp eerder dan een vanaf A verzonden lichtpuls in B mogen aankomen. Dus de eenrichtingssnelheden in de richting van A naar B (als zulke eenrichtingssnelheden objectief bestaan) liggen tussen nul en de (onbekende) lichtsnelheid van A naar B. Welke volgorde in grootte de eenrichtingssnelheden van A naar B binnen het interval tussen nul en de lichtsnelheid van A naar B hebben kan dus gemeten worden.

Dit ligt in lijn met mijn eerste opmerking. Eens de synchronisatie opgezet kun je alle snelheden meten die lager liggen dan c

Kies nu een zekere afstand tussen de vaste punten A en B; gebruik de Einstein-synchronisatie; en laat alle testvoorwerpen op tijdstip t=0 bij A richting B vertrekken. Dan zal een op t=0 bij A vertrekkende lichtpuls op een zekere tijd T bij B aankomen. Alle testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. komen dan op een later tijdstip t_α, t_β, etc. bij B aan. De eenrichtingssnelheden van de testvoorwerpen \( \alpha \), \( \beta \), etc. zullen dan respectievelijk g(t_α-T), g(t_β-T), etc. moeten zijn, waarin g een strikt dalende (en vermoedelijk continue) functie is. Ten slotte moet g(0) de lichtsnelheid van A naar B zijn, en moet g(∞)=0.

Daarmee liggen de eenrichtingssnelheden niet volledig vast (want we weten g niet precies), maar er valt wel iets meer over te zeggen dan dat eenrichtingssnelheden volstrekt onmeetbaar zouden zijn.

Ja, maar niet die van C

[Professor Puntje]

Ja, maar niet die van C

Daar ben ik nog over aan het brainstormen, en die laatste stap zal me vermoedelijk ook niet lukken.

Toch ben ik al redelijk tevreden met het resultaat tot nog toe, want de legitimiteit van eenrichtingssnelheden kleiner dan de lichtsnelheid is zo al een heel eind heen gered. Het probleem met specifiek de lichtsnelheid is dat die ook in de synchronisatie gebruikt wordt wat tot een akelige vicieuse cirkel leidt.

[vijv]

Toch ben ik al redelijk tevreden met het resultaat tot nog toe, want de legitimiteit van eenrichtingssnelheden kleiner dan de lichtsnelheid is zo al een heel eind heen gered.

Die heeft nooit op de helling gestaan.

[Professor Puntje]

\( v_i = \frac{c_{AB}}{ 1 + \frac{c_{AB} }{ s } t_i}\)

Wat ook kan worden geschreven als:

\( \frac{v_i}{ c_{AB} } = \frac{1}{ 1 + \frac{c_{AB} }{ s } t_i}\)

\( \frac{v_i}{ c_{AB} } = \frac{1}{ 1 + \frac{t_i}{T_o}}\)

Wat de rol van de kloksynchronisatie nog duidelijker maakt.